Divisão – Propriedades

A divisão, de modo semelhante à multiplicação, da qual é a operação inversa, poderia ser representada como uma subtração sucessiva de termos. Por exemplo:

$30 : 6 = 5$
$30 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 = 0$

Subtraímos do dividendo $30$ (trinta) cinco vezes o divisor $6$ e sobrou $0$ (zero). Isso por ser uma divisão exata. O número de subtrações sucessivas é igual ao quociente. Se a divisão não for exata, iremos ter no final um resto menor que o divisor. Vejamos.

$47 : 7 = 6$ , sobrando resto $5$ .
$47 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 = 5$ $\Leftrightarrow$ $(7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 5 = 47)$

Subtraímos seis vezes o divisor $7$ do dividendo $47$ e na última subtração, ficou sobrando o resto $5$ . Para obter novamente o dividendo, somamos seis parcelas iguais a $7$ e no final também o resto $5$ .

Podemos facilmente deduzir que a divisão não goza de todas as propriedades da multiplicação, assim como a subtração não goza das propriedades da adição. O que foi dito acima, vale para as divisões exatas, como vimos. Se sobrar resto, não obtemos um resultado inteiro. Esse assunto será estudado ao abordar o conjunto dos números racionais (fracionários).

Propriedade distributiva: Vejamos a seguinte situação.
$(15 + 18) \div 3 = 33 \div 3 = 11$
$(15 \div 3) + (18 \div 3) = 5 + 6 = 11$
Neste caso, fizemos uma distribuição do divisor pelos termos da adição que forma o dividendo.
$(55 - 33) \div 11 = 22 \div 11 = 2$
$(55 \div 11) - (33 \div 11) = 5 - 3 = 2$
Fizemos o mesmo com a subtração e podemos dizer que o divisor é distributivo em relação aos termos da soma ou subtração.
Se colocarmos na ordem inversa, como por exemplo $64 \div (12 + 4) = 64 \div 16 = 4$ . Não podemos fazer a distribuição do dividendo pelos dois termos do divisor. $(64 \div 12) + (64 \div 4) = \frac{64}{12} + 16 \neq 4$ .
Isso nos mostra que a propriedade distributiva na divisão, se aplica ao divisor que pode dividir os termos da adição ou subtração, sem alterar o resultado. Já com o dividendo não acontece o mesmo. Por isso não posso afirmar que a divisão goza da propriedade distributiva em relação à adição e subtração, como acontece na multiplicação.
Elemento neutro – outro dia uma leitora dessa matéria me perguntou por que eu considerei que a divisão não goza do elemento neutro e afirmou que ela o considerava como sendo o número $1$ . Analisei e foi preciso dar razão a ela, mas fazendo a ressalva, como aliás já fiz também para a multiplicação, de que isso só vale com o número natural $1$ , quando ele é o divisor. O que só vem confirmar a afirmação de que esta propriedade não se aplica na divisão.

Resumo das propriedades:

Adição:

Comutativa – a ordem das parcelas não altera a soma.
Associativa – podemos substituir duas ou mais parcelas pela sua soma (associação), sem alterar a soma final.
Elemento Neutro – adicionar uma parcela igual a zero a uma soma, não altera o resultado. Zero é o Elemento neutro da adição.
Propriedade do fechamento – a adição sempre é possível no conjunto dos números naturais. A soma de dois números naturais, é igual a outro número natural.

Multiplicação:

Comutativa – a ordem dos fatores não altera o produto.
Associativa – podemos substituir dois ou mais fatores pelo seu produto (associação), sem alterar o produto final.
Elemento Neutro – multiplicar por 1(hum) não altera o produto. O número 1(hum) é o elemento neutro da multiplicação.
Distributiva em relação a adição e subtração – a multiplicação de um fator por uma soma ou subtração, pode ser feita distribuindo o fator por cada um dos termos e depois realizar a adição ou subtração entre os resultados. O produto final será o mesmo.
Fechamento: Vimos que a multiplicação de dois números naturais é sempre possível, ou seja, um número natural multiplicado por outro, resulta num produto que é um número natural.

Subtração: Não goza das propriedades comutativa, associativa,elemento neutro e fechamento no conjunto dos números naturais.

Divisão: Não goza das propriedades comutativa, associativa. O elemento neutro é o número natural $1$ quando colocado como divisor, jamais como dividendo. Isso equivale a dizer que a propriedade não se aplica. A propriedade distributiva em relação a adição e subtração, funciona apenas com o divisor. Com o dividendo não funciona. Na prática não devemos usar essa propriedade para a divisão.

Curitiba, 19 de outubro de 2018

Décio Adams

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