Multiplicação de expressões algébricas

Resolução de exercícios do post anterior.

Adicionar e depois subtrair as expressões polinomiais, ordenando os resultados em ordem crescente dos expoentes da variável comum a todos os termos.

a) $$5ay–3b{y}^5–2y^2+a{y}^3$$ $$2a{y}^3+3b{y}^5–2ay$$

Adição: $$(5ay–2ay)+(-3b{y}^5+3b{y}^5)–2y^2+(a{y}^3+2a{y}^3)$$

$$3ay–2y^2+3a{y}^3$$

Já está em ordem crescente dos expoentes de y.

Subtração: $$(5ay–3b{y}^5–2y^2+a{y}^3)–(2a{y}^3+3b{y}^5–2ay)$$

Eliminando os parênteses, ficamos com:

$$5ay–3b{y}^5–2y^2+a{y}^3–2a{y}^3–3b{y}^5+2ay$$

Agrupando os termos semelhantes:

$$(5ay+2ay)+(-3b{y}^5–3b{y}^5)–2y^2+(a{y}^3–2a{y}^3)$$

$$7ay–6b{y}^5-2b{y}^2–a{y}^3$$

Ordenando os expoentes de y em ordem crescente.

$$7ay-2b{y}^2-a{y}^3-6b{y}^5$$

b) $$7b{x}^2–3cx+4a{x}^4$$

$$3cx+4a{x}^4–2d{x}^3$$

Adição: $$(7b{x}^2–3cx+4a{x}^4)+(+3cx+4a{x}^4–2d{x}^3)$$

$$7b{x}^2+(-3cx+3cx)+(4a{x}^4+4a{x}^4)–2d{x}^3$$

$$7b{x}^2+8a{x}^4–2d{x}^3$$

Em ordem crescente: $$7b{x}^2–2d{x}^3+8a{x}^4$$

Subtração: $$(+7b{x}^2–3cx+4a{x}^4)–(+3cx+4a{x}^4–2d{x}^3)$$

$$+7b{x}^2–3cx+4a{x}^4–3cx–4a{x}^4+2d{x}^3$$

$$7b{x}^2+(–3cx–3cx)+(4a{x}^4–4a{x}^4)+2d{x}^3$$

$$7b{x}^2-6cx+2d{x}^3$$

Em ordem crescente: $$-6cx+7b{x}^2+2d{x}^3$$

c) $$m{z}^3+3nz–5z^2$$ $$4m{z}^3–5z^2+4nz$$

Adição: $$(m{z}^3+3nz–5z^2)+(+4m{z}^3–5z^2+4nz)$$

$$(+m{z}^3+4m{z}^3)+(3nz+4nz)+(-5z^2–5z^2)$$

$$5m{z}^3+7nz–10z^2$$ $$7nz–10z^2+5m{z}^3$$

Subtração: $$(m{z}^3+3nz–5z^2)–(+4m{z}^3–5z^2+4nz)$$

$$m{z}^3+3nz–5z^2–4m{z}^3+5z^2–4nz$$

$$(m{z}^3–4m{z}^3)+(+3nz–4nz)+(-5z^2+5z^2)$$

$$–3m{z}^3–nz$$ $$–nz–3m{z}^3$$

d)$$13x^4+9x–6x^3$$

$$8x+3x^3–5x^4$$

Adição: $$(+13x^4+9x–6x^3)+(+8x+3x^3–5x^4)$$

$$+13x^4+9x–6x^3+8x+3x^3–5x^4$$

$$(+13x^4–5x^4)+(+9x+8x)+(-6x^3+3x^3)$$

$$8x^4+17x–3x^3$$

$$17x–3x^3+8x^4$$

Subtração: $$(13x^4+9x–6x^3)–(+8x+3x^3–5x^4)$$

$$13x^4+9x-6x^3–8x–3x^3+5x^4$$

$$(13x^4+5x^4)+(+9x–8x)+(-6x^3–3x^3)$$

$$18x^4+x–9x^3$$

$$x–9x^3+18x^4$$

e)$$x^2{y}^3+2x{y}^2–xy$$

$$4xy–5x^2{y}^3+x{y}^2-4$$

Adição: $$x^2{y}^3+2x{y}^2–xy+4xy–5x^2{y}^3+x{y}^2–4$$

$$x^2{y}^3+2x{y}^2–xy+4xy–5x^2{y}^3+x{y}^2–4$$

$$x^2{y}^3–5x^2{y}^3+2x{y}^2+x{y}^2–xy+4xy-4$$

$$-4x^2{y}^3+3x{y}^2+3xy–4$$

Subtração: $$x^2{y}^3+2x{y}^2–xy–4xy–5x^2{y}^3+x{y}^2–4$$

$$x^2{y}^3+2x{y}^2–xy–4xy+5x^2{y}^3–x{y}^2+4$$

$$x^2{y}^3+5x^2{y}^3+2x{y}^2-x{y}^2-xy–4xy+4$$

$$6x^2{y}^3+x{y}^2–5xy+4$$

f)$$-m{n}^5+2m^{3}n–6mn$$ $$5mn–m{n}^5–6m^{3}n$$

Adição:

$$-m{n}^5+2m^{3}n–6mn+5mn–m{n}^5–6m^{3}n$$

$$-m{n}^5+2m^{3}n–6mn+5mn–m{n}^5–6m^{3}n$$

$$-m{n}^5–m{n}^5+2m^{3}n–6m^{3}n–6mn+5mn$$

$$-2m{n}^5–4m^{3}n–mn$$

Subtração:

$$-m{n}^5+2m^{3}n–6mn–5mn–m{n}^5–6m^{3}n$$

$$-m{n}^5+2m^{3}n–6mn-5mn+m{n}^5+6m^{3}n$$

$$-m{n}^5+m{n}^5+2m^{3}n–6m^{3}n–6mn–5mn$$

$$–4m^{3}n–11mn$$

Multiplicação

Agora vamos ver como se faz para multiplicar. Começamos com a multiplicação de termos algébricos por números e por outros termos.

Exemplo. $$5\cdot 2a{x}^2$$

Basta multiplicar o coeficiente pelo fator 5 e teremos: $$10a{x}^2$$

Outro exemplo: $$2x\cdot 3y$$ Resulta: $$2\cdot 3\cdot x\cdot y$$ $$6xy$$

Se houver fatores literais de mesma espécie nos termos multiplicados, vamos aplicar a propriedade comutativa da multiplicação (lembrar das propriedades das quatro operações básicas).

$$(5a{x}^3)\cdot (4ax)$$

Colocamos os fatores da mesma espécie juntos.

$$5\cdot 4\cdot a\cdot a\cdot x^3\cdot x$$ $$20\cdot a^{(1+1)}\cdot x^{(3+1)}$$ $$20a^2{x}^4$$

Multiplicamos os coeficientes numéricos e as letras tem seus expoentes somados, para resultar o termo final.

E se a multiplicação for de um termo por um polinômio?

Neste caso aplicamos a propriedade distributiva  da multiplicação em relação à adição e subtração. Isto quer dizer que multiplicamos cada termo do polinômio pelo termo que está multiplicando. Para terminar, aplicamos os procedimentos vistos para os termos algébricos.

$$2xy\cdot (3x+4y)$$

$$2xy\cdot 3x+2xy\cdot 4y$$

Efetuando as operações teremos: $$6x^{2}y+8x{y}^2$$

Outro exemplo.

$$a{x}^3\cdot (2a+3bx–5x)$$

$$a{x}^3\cdot 2a+a{x}^3\cdot 3bx+a{x}^3\cdot (-5x)$$

$$2a^2{x}^3+3ab{x}^4-5a{x}^4$$

Exercitar é preciso

Efetue as multiplicações de termos e expressões algébricas listadas abaixo.

a) $4a^3\cdot 2a{b}^3$

b) $5x^{3}y\cdot 2x{y}^4$

c) $3m{n}^2\cdot (2m^2–5m^3{n}^2+m^3{n}^2)$

d) $2x^2{z}^3\cdot (x{z}^4+x^3{y}^2–3x^2{z}^2)$

e) $ab{x}^3\cdot (a^{2}b{x}^2–3a^{3}bx+a{x}^3)$

Curitiba, 30 de março de 2016. Republicado em 13 de dezembro de 2017.

Décio Adams

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