As raízes das equações e os coeficientes numéricos
Nós já vimos a influência dos coeficientes na existência ou não de raízes nas equações do segundo grau, calculando o coeficiente numérico. Agora nós iremos analisar o que tem a ver a soma e o produto das raízes, com os coeficientes numéricos da equação. Partimos outra vez da fórmula de Bhaskara.
$$\color{Indigo}{ x = {{- b \pm\sqrt{b² – 4ac}}\over 2a}} $$
Podemos obter as raízes separadamente, pela soma e subtração da raiz quadrada do discriminante.
$ x’ = {{-b +\sqrt{b² – 4ac}}\over 2a }$
$x” = {{-b – \sqrt{b² – 4ac}}\over 2a} $
Eu disse acima que iríamos ver a soma e o produto das raízes x’ e x”. Então vejamos como fica essa questão.
A soma fica:
$ {x’ + x”} = {{- b +\sqrt{b² – 4ac}}\over 2a} + {{-b – \sqrt{b² – 4ac}}\over 2a}$
As duas frações têm o mesmo denominador, portanto podemos adicionar os numeradores, conservando o denominador.
${x’ + x”} = {{ – b + \sqrt{b² – 4ac} – b – \sqrt{b² – 4ac}}\over 2a} $
$ {x’ + x”} = {-2b\over 2a} $
${x’ + x”} = {- b\over {a}} $
A multiplicação fica assim:
${x’\cdot x”} = ({{-b + \sqrt{b² – 4ac}}\over 2a})\times ({{- b – \sqrt{b² – 4ac}}\over 2a}) $
Multiplicação de frações, multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores também. Podemos notar que os numeradores são respectivamente a soma e a diferença entre dois números. Então seu produto é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
${x’\cdot x”} = {{(-b)² – [\sqrt{b² -4ac}]²}\over {4a²}} $
Um radical elevado a um expoente igual ao índice, elimina o radical e resta o radicando. Assim ficamos com:
${x’\cdot x”} = {{ b² – [b² – 4ac]}\over 4a²} = {{b² – b² + 4ac}\over 4a²} $
${x’\cdot x”} = {4ac\over 4a²} = {c\over a} $
Podemos então resumir a questão:
$\color{Brown}{{x’ + x”} = {- b\over a}} $
$\color{Brown}{{x’\cdot x”} = {c\over a}} $
Toda operação matemática, tem seu processo inverso, ou seja a operação inversa. Partimos da forma geral da equação do segundo grau e chegamos à Fórmula de Bhaskara, que nos dá as raízes da equação. Fizemos outras análises com essa fórmula e agora vamos tentar voltar da fórmula para a forma geral da equação. Vimos que a fórmula resulta em duas raízes, com o uso dos sinais (+) e (-), no meio dela. Isso nos permite escrever as duas igualdades de modo a igualá-las a zero (0).
$ x = {{-b +\sqrt{b² – 4ac}}\over 2a} $
$ { x – {- b+\sqrt{b² – 4ac}\over 2a} = 0} $
$ x = {{ -b – \sqrt{b² – 4ac}}\over 2a} $
${x – { -b -\sqrt{b² – 4ac}\over 2a} = 0 }$
Temos então, duas equações do primeiro grau, cujas raízes ou soluções são respectivamente as duas raízes da equação do segundo grau. Por isso podemos multiplicar membro a membro e vejamos o que resulta.
${[ x – ({{-b + \sqrt{b² – 4ac}}]\over 2a})\cdot[x – ({{-b – \sqrt{b² – 4ac}}\over2a})] =0} $
Nas duas equações temos um termo fracionário e podemos reduzir os dois termos ao mesmo denominador, multiplicando o $x$ pelo denominador. Assim:
${[{2ax- (-b+\sqrt{b² – 4ac})}]\over 2a}\cdot{[{2ax – (-b-\sqrt{b² – 4ac})}]\over 2a} = 0 $
Vamos eliminar os parênteses, não esquecendo de trocar os sinais dos termos em seu interior, por causa do sinal (-) que os precede. Equivale a multiplicar por (-1).
${[2ax + b – \sqrt{b² – 4ac}]\over 2a}\cdot{[2ax+b +\sqrt{b²-4ac}]\over 2a} = 0 $
Agrupando os termos que estão fora do radical, obtemos no numerador da expressão um produto notável, ou seja, produto da soma pela diferença de dois números, que resulta na diferença entre seus quadrados.
${[(2ax + b) – \sqrt{b² -4ac}]\over 2a}\cdot{[(2ax + b) + \sqrt{b² -4ac}]\over 2a} = 0$
Efetuando o produto da soma pela diferença teremos:
${[(2ax + b)² – (\sqrt{b²-4ac})²]\over 4a²} = 0 $
Elevando o binômio ${(2ax + b)²} $ ao quadrado e simplificando o índice do radical com o expoente, teremos:
${[(4a²x² + 4abx +b²) – (b² – 4ac)]\over 4a²} = 0 $
Se multiplicarmos ambos os termos por 4a², teremos como resultado zero (0) no segundo membro e eliminamos o denominador do primeiro membro.
$\{{[(4a²x² + 4abx + b²) – (b² -4ac)]\over 4a²}\}\cdot {4a²} = 0\cdot {4a²} $
${4a²x² + 4abx + b² – b² + 4ac } = 0 $
${4a²x² + 4abx + 4ac = 0} $
Colocando em evidência os fatores comuns a todos os termos $ 4a $, ficamos com:
$ {4a( ax² + bx + c) = 0 } $
Para que um produto seja igual a zero (0), é necessário que um dos fatores seja nulo. Logo:
$ 4a = 0 $
$ ax² + bx + c = 0 $
Colocando em evidência os fatores comuns a todos os termos $ 4a $, ficamos com:
$ {4a( ax² + bx + c) = 0 } $
Para que um produto seja igual a zero (0), é necessário que um dos fatores seja nulo. Logo:
$ 4a = 0 $
$ ax² + bx + c = 0 $
Vejamos um exemplo. Se as raízes de uma equação do segundo grau são respectivamente $\{- 6, +3\}$, vamos escrever a equação correspondente.
$ x = – 6 $
$ x = +3 $
Daí teremos:
$ x + 6 = 0$
$x – 3 = 0$
$ {(x + 6 )\cdot(x – 3)} = 0 $
Efetuando a multiplicação dos binômios
$ x² – 3x + 6x – 18 = 0 $
$ x² + 3x – 18 = 0$
Vamos escrever as equações do segundo grau, cujas raízes são os pares de números abaixo.
a) $V = \{ + 4, + 6\}$ b)$V = \{-1, +5\}$ c)$ V = \{+ 3, -2\}$ d) $V = \{- 2, – 1\}$
e) $V = \{ + 5, + 8\}$ f)$ V = \{ – 6, -4\}$ g) $V = \{-3, +5\}$ h) $V = \{+9, -6\}$
i)$ V =\{5,-7\}$ j)$V = \{-9, -2\}$ k} $V =\{8,3\}$ l}$ V = \{-7, -2\}$
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Curitiba, 09 de maio de 2016. Republicado em 22 de dezembro de 2017.
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