Propriedade associativa da adição

Vamos olhar agora uma expressão com várias parcelas.

• $\color{navy}{12 + 8 + 25 + 15 = 25 + 12 + 15 + 8 = 60}$.

Nesse caso podemos fazer uma “associação”, como segue:

• $\color{navy}{(12 + 8) + (25 + 15) =  20  +  40  = 60}$

Nós substituímos, na segunda fase, as parcelas $12$ e $8$ por sua soma ou associação que é $20$, assim como $25$ e $15$, associados dão $40$. Observe que a soma deu o mesmo resultado. Poderíamos ter feito também a associação de forma diferente:

• $\color{navy}{(25 + 12) + (15 + 8) = 37 + 23   = 60}$ ou
• $\color{navy}{(12 + 8 + 25) + 15 = 45 + 15  = 60}$ ou ainda
• $\color{navy}{12 + (8 + 25 + 15) = 12 + 48 = 60}$

Essa propriedade é denominada

• Propriedade associativa: Numa soma de várias parcelas, podemos substituir duas ou mais parcelas pela sua soma (associação).

Vamos usar essa propriedade quando formos fazer uma coisa chamada “redução de termos semelhantes na álgebra”, e isso é sumamente importante. Aguarde para ver.

Que tal exercitar um pouco?

• $\color{brown}{32 + 15 + 24 = ( …+ …) +… = … + (…+ …) =…}$
• $\color{brown}{6 + 9 + 4 + 13 + 4 = (… +…+ …) + (…+…) =…}$
• aplique sucessivamente a propriedade associativa nas adições.
• $\color{brown}{15 + 9 + 27 +35} = ?$
• $\color{brown}{13 + 52 + 32 + 19 + 28} = ?$
• $\color{brown}{57 + 23 + 74 + 87 + 18} = ?$
• $\color{brown}{15 + 35 + 23 + 67} = ?$
• $\color{brown}{7 + 11 + 47 + 55} = ?$
• $\color{brown}{117 + 238 + 55 + 43} = ?$
• $\color{brown}{45 + 32 + 29 + 87} = ?$
• Crie seus próprios exercícios para fixar bem esse assunto.

• Temos mais uma propriedade na adição. Vamos ver qual é?

Se tivermos a adição:

• $\color{navy}{5 + 8 = 8 + 5 + 0 = 13}$
• $\color{navy}{9 + 3 + 6 = 3 + 9 + 6 + 0 = 18}$

Note que nos dois exemplos, inserimos uma nova parcela, sem alterar o resultado. Essa parcela foi o número “zero”. Isso nos mostra que, se adicionarmos o número “zero” a qualquer soma, o resultado não se altera. Por essa razão essa propriedade é denominada:

• Propriedade do Elemento neutro:

  o zero é o elemento neutro da adição.

Em qualquer soma, a presença de uma parcela igual a zero, o resultado não sofre alteração.

• Propriedade do fechamento:

• dizemos que uma operação é fechada em um determinado conjunto numérico, se ela é sempre possível de ser realizada nesse conjunto. 

• Ainda não falamos de outros conjuntos numéricos e portanto estamos operando, neste momento, no conjunto dos números naturais.
• $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{\{N = 0,1,2,3,3,4,6,…,\infty\}}}$
• Observamos nos exemplos vistos antes e podemos fazer muitos outros, verificando que a adição de dois números naturais, sempre resulta em um outro número natural. Isto significa que a adição é sempre possível no conjnto N. Por isso, podemos afirmar que:
• “A adição é fechada para o conjunto dos números naturais”. 

Curitiba, 22 de julho de 2018

Décio Adams

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