Nos primórdios da matemática, surgiram primeiramente os números, hoje denominados Números Naturais, associados a quantidades de objetos. A necessidade de exprimir quantidades que não representam um número inteiro de objetos, fez surgir as divisões decimais. Os algarismos após a vírgula, mas exatos, ou as dízimas periódicas. Isso ampliou grandemente as opções de resolução de problemas. Persistia no entanto um problema. A subtração só era possível se o minuendo tivesse valor maior que o subtraendo. Isso deixava a operação de subtração impossível em muitas situações. Como a necessidade costuma resultar no surgimento de inovações, foi também aqui que surgiu o que hoje conhecemos como Conjunto de Números Inteiros Relativos e posteriormente, os Racionais Relativos.
Em artigos anteriores falamos de intersecção, reunião ou união, conjuntos disjuntos. Faltou apenas uma coisa. Diferença entre dois conjuntos A e B.
Denominamos diferença entre os conjuntos$\color{Navy}{A}$ e $\color{NavyBlue}{B}$, ao conjunto dos elementos pertencentes ao conjunto $\color{NavyBlue}{A}$ , que não pertencem ao conjunto $\color{NavyBlue}{B}$ . Um Diagrama de Venn pode nos mostrar graficamente como é.
$\color{Brown}{A = \{m, n, o, p, q\}}$
$\color{Brown}{B =\{p, q, r, s, t\}}$
$\color{OliveGreen}{A – B = \{m, n, o\}}$ ou $\color{OliveGreen}{A/B = \{m, n, o\}}$
$\color{OliveGreen}{B – A = \{r, s, t\}}$ ou $\color{OliveGreen}{B/A = \{r, s, t\}}$
Para dizer que um determinado elemento faz parte ou não de um conjunto, usamos as palavras pertence e não pertence. Simbolicamente, usamos $\in$ e $\notin$.
Assim, dado o conjunto das vogais:
$V = {a, e, i, o, u}$ podemos dizer que:
$a\in V$$\Rightarrow$ “a pertence ao conjunto V”;
$i\in V$$\Rightarrow$ “ i pertence ao conjunto V“;
$u\in V$$\Rightarrow$”u pertence ao conjunto V”;
$m\notin V$$\Rightarrow$ “m não pertence ao conjunto V”;
$r\notin V$$\Rightarrow$ “r não pertence ao conjunto V”;
e assim sucessivamente.
Subconjunto
Tomemos por exemplo o conjunto das vogais.
$\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{ A = \{a, e, i, o, u\}}} $
Denominamos sub-conjunto de um conjunto dado, a todo conjunto cujos elementos pertençam a este conjunto. No exemplo acima, conjunto das vogais, temos 5 (cinco) elementos. Vimos que existe o conjunto vazio, que não tem nenhum elemento; conjunto unitário com um elemento apenas e assim por diante. Iremos formar um conjunto de subconjuntos do conjunto $\color{Navy}{A}$, também denominado conjunto das partes. Vejamos detalhadamente.
Creio que não haverá dificuldades em entender o que é um conjunto. Na sua casa, deve haver vários conjuntos. Por exemplo: um conjunto de pratos, um conjunto de copos, um conjunto de xícaras, um conjunto de cadeiras, um conjunto de móveis, um ou vários conjuntos de brinquedos, seus e seus irmãos ou irmãs. Poderíamos citar mais uma porção de outros.
O que fica claro é que são coisas ou objetos que fazem parte de um grupo. Podemos estender esse conceito um pouco mais e teremos o que em matemática se chama conjunto. Podemos ter um conjunto de símbolos, letras, estrela, círculos, números e assim por diante. Da mesma forma como nossos pais quando nascemos, nos batizaram e fizeram nosso registro de nascimento identificando-nos por um nome, os nossos conjuntos em matemática, receberão um nome. Melhor dizendo, serão identificados por uma letra maiúscula: A, B, C, D, etc. Sempre que nos referirmos a um conjunto usaremos uma letra para identificar esse conjunto.
Note que o radicando agora tem como expoente o número 4, produto dos expoentes interno e externo. Como o expoente é maior que o índice, podemos decompor o radicando em uma multiplicação de potências de modo que uma tenha expoente múltiplo do índice. Assim:
Portanto podemos fazer sempre a multiplicação entre os expoentes interno e externo.
Façamos alguns exercícios aplicando o que foi visto acima. Simplifique os radicais.
$\color{Brown}{(\root 2\of {3^3})^4 = ?}$
$\color{Brown}{(\root 5\of {7^4})^3 = ?}$
$\color{Brown}{(\root 6\of {4^3})^4 = ?}$
$\color{Brown}{(\root 3\of {5^4})^3 = ?}$
$\color{Brown}{(\root 9\of {7^3})^5 = ?}$
O mesmo raciocínio se aplica a um produto de radicais, elevado a uma potência. Bastará multiplicar cada um dos expoentes internos pelo externo, como no exemplo abaixo.
Trabalhar com os radicais, usando as propriedades adequadas, permite quase sempre chegar a expressões bem mais simplificadas do que se apresentam inicialmente.
Obs.:Em caso de dúvidas sobre o conteúdo ou exercícios, faça contato por meio de um dos canais abaixo. Estou aberto a quaisquer perguntas sobre o assunto. Disponha.
Curitiba, 04 de março de 2015 (Reformulado e melhorado em 16 de julho de 2016). Revisto e republicado em 03/11/2017.
Podemos notar que é possível resolver uma porção de operações com potências e raízes sem recorrer a nenhum cálculo pesado. Basta aplicar as propriedades que permitem fazer uma variedade de transformações. Dos exemplos deduzimos:
Uma multiplicação de radicais de mesmo índice é igual a um único radical, com o mesmo índice, cujo radicando é o produto dos radicandos fatores.
Assim como em outras situações, estamos vendo que, a cada nova operação matemática que aprendemos, logo depois aparece outra, que faz o caminho contrário. E não seria diferente com a potenciação.
Vamos pegar um número, potência de 3. Esse número vai ser 243. Vamos decompor em seus fatores, para sabermos qual é o expoente ao qual foi elevada a base 3, para encontrar 243.
Fizemos cinco divisões sucessivas por $3$, até resultar quociente $1$. Dessa forma temos que $\color{Blue}{3^5 = 243}$
Pesquisando na internet, descobri que nos últimos dias a procura pelo assunto potenciação, por parte dos internautas, aumentou quase 100%. Isso significa que estou atacando um dos assuntos procurados. Vamos seguir mais um pouco. Apresentar mais alguns detalhes sobre o assunto.
Vamos ver como se faz uma multiplicação de potências iguais.
Se observarmos bem, os expoentes na expressão $\color{Blue}{{[(3)^2]}^4}$, vemos que, se multiplicarmos os expoentes $\color{Blue}{2\times 4= 8}$ ou seja a soma dos expoentes das potências iguais.
Dessa forma pode-se afirmar que:
“Para elevar uma potência a outra potência, basta conservar a base e multiplicar os expoentes”.
Fica muito simples perceber que a operação potenciação apresenta bem mais possibilidades de aplicações úteis, do que meramente substituir uma multiplicação por uma expressão mais simples, mais curta. Começam a pintar várias novidades. O que vimos até aqui é apenas um pequeno vislumbre do que é possível. Mas vamos devagar. Um degrau de cada vez.
Vamos recordar o que já vimos até aqui?
Transformar potências em multiplicações de fatores iguais.
Trata-se agora de um expoente exponencial. Antes de elevarmos a base ao expoente, precisamos efetuar a potência desse expoente. Ou seja, precisamos efetuar o$\color{Brown}{3^2= 9}$ e depois elevar o 5 à nona potência. Teremos então: $\color{Brown}{5^9}$
Note que se multiplicássemos os expoentes ($\color{Brown}{3\times 2 =6}$, teríamos $\color{maroon}{5^{3\times 2} = 5^6}$, que é totalmente diferente. Notamos que a coisa fica um pouco mais complexa. Portanto cuidado. Potência de potência não é o mesmo que potência com expoente exponencial. Felizmente o uso dessa forma é menos comum, do que a primeira. Um pouco de exercício faz bem, né!
Efetue as potências indicadas.
$\color{Blue}{7^{5^2} = ?}$
$\color{Blue}{5^{3^1} = ?}$
$\color{Blue}{6^{4^3} = ?}$
$\color{Blue}{8^{3^4} = ?}$
$\color{Blue}{9^{2^3} = ?}$
Adendo: leitor me enviou a seguinte pergunta, ou melhor questão: Realizar a divisão que ele encontrou num livro ou apostila e não entendeu como resolver.
Exercício de divisão
A divisão apresentada é a divisão de duas potências. Seria assim:
Vemos uma sucessão de potências em número de 6 (seis). À primeira vista parece algo difícil de resolver. Se fôssemos desenvolver tudo, iriamos fazer uma montanha de cálculos desnecessários. Não podemos esquecer que a matemática tem alguns atalhos que nos levam à resposta num piscar de olhos. Aquele problema gigante, se resolve num clic.
Acompanhem o raciocínio. Na potência dividendo, temos no quarto expoente de cima para baixo o número 1(um). Isto significa que iremos elevar 1(um) ao expoente que existir acima dele e o resultado só pode ser 1(um). Continuando vamos ter:
$\color{Blue}{2^1 = 2}$
Para terminar temos $\color{Blue}{3^2 = 9}$
Reduzimos o dividendo à potência $\color{Blue}{2^9}$
No divisor vamos encontrar na terceira posição, do último expoente para baixo. Sabemos que qualquer expoente para 0(zero), resulta igual a 0(zero).
O próximo expoente é 8, e vamos ter $\color{Blue}{8^0 = 1}$
Na sequência temos o expoente 2 e fica $\color{Blue}{2^1 = 2}$
Terminamos com $\color{Blue}{2^2 = 4}$
Passamos a ter $\color{Blue}{4^4} = {(2^2)}^4 = {2^{2×4}} =2^8 $
Efetuando a divisão $\color{Blue}{{2^9}\div{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 = 2}$.
Este resultado comprova que a resposta indicada na figura é a correta.
Andamos mais um passo. Se você for um dos que procuraram pelo assunto potenciação na internet e tiver interesse em aprofundar o assunto, entre em contato comigo nos endereços que constam abaixo do artigo. Estou a disposição para orientar e tirar suas dúvidas. Legal?
Curitiba, 31 de janeiro de 2015. (Republicação em 02/11/2017).
Muito simples. Basta irmos multiplicando o três tantas vezes quantas estiver indicado. Mas será que não tem outro jeito? Há muito tempo, pesquisei e não encontrei quando isso aconteceu, alguém olhou para essas expressões e pensou em uma maneira de encurtar a “tripa”. Como?
Foi criada a Potenciação, também conhecida como Exponenciação ou forma exponencial. Basta escrever o número de fatores iguais, um pouco acima, do lado direito daquele número que é repetido. Então como fica a expressão aí de cima?
Muito simples. Basta irmos multiplicando o três tantas vezes quantas estiver indicado. Mas será que não tem outro jeito? Há muito tempo, pesquisei e não encontrei quando isso aconteceu, alguém olhou para essas expressões e pensou em uma maneira de encurtar a “tripa”. Como?
Foi criada a Potenciação, também conhecida como Exponenciação ou forma exponencial. Basta escrever o número de fatores iguais, um pouco acima, do lado direito daquele número que é repetido. Então como fica a expressão aí de cima?
