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Há várias formas de equações envolvendo logaritmos. Vamos ver o primeiro deles.
I) Igualdade entre logaritmos de mesma base, como
${log_a{x} = log_a{y}} ⇔ { x = y}$
Exemplo.
${log_5\underbrace{{(2x + 4)}} = log_5\underbrace{{(3x + 1)}}}$
${2x + 4 = 3x + 1} ⇔ {2x – 3x = 1 – 4}$
${-x = -3} ⇔ {-x\cdot{(-1)} = -3\cdot{(-1)}}$
${x = 3} ⇔ {S = \{3\}}$
Continue lendo “067.10 – Matemática, álgebra. Equações logarítmicas”
Vimos no início do nosso estudo dos logaritmos que
${log_a{b} = x}$, tem como condição de existência que tenhamos:
${a > 0, a ≠ 1}$ ⇔ ${0 < a ≠ 1}$
${b > 0}$
Se estas condições não forem satisfeitas o logaritmo não existe. Isso nos leva a um tipo de expressão em que precisamos analisar uma ou mais situações e estabelecer a condição de existência daquele(s) logaritmo(s) especificamente.
Continue lendo “067.9 – Matemática, álgebra. Condições de existência dos logaritmos.”
a) ${log_a{({m\cdot n})^v}}$
O expoente do logaritmando, irá multiplicar o logaritmo
${log_a{({m\cdot n})^v}} = {v\cdot{log_a{({m\cdot n})}}}$
Aplicando a propriedade da multiplicação, transformamos o logaritmo da multiplicação e adição dos logarítmos.
${v\cdot({log_a{m} + log_a{n}})} = v\cdot{log_a{m}} + v\cdot {log_a{n}}$
b)${log_x{({{p}\cdot {q}\over {r}})^u}}$
O expoente do logaritmando colocamos novamente multiplicando o logaritmo.
${ u\cdot{log_x{({{p}\cdot{q}\over{r}})}}} = {u\cdot{[log_x{({p}\cdot{q}) – log_x{r}]}}} = {u\cdot{[log_x{p} + log_x{q} – log_x{r}]}}$
Continue lendo “067.8 – Matemática, álgebra. Expressões logarítmicas.”
São também denominados logaritmos naturais e se originaram dos trabalhos desenvolvidos e publicados por John Neper (Napier). Mais tarde a base desses logaritmos teve seu valor determinado por Euler, sendo usada largamente em diferentes áreas da atividade humana. Essa base é simbolizada pela letra:
${ e ≅ 2,71828183}$
Na prática usamos apenas a parte inteira e as duas primeiras casas decimais.
${ e ≅ 2,71}$
Continue lendo “067.7 – Logaritmos naturais ou neperianos; logaritmos decimais”
Ao longo dos estudos empregando logaritmos, nos deparamos com situações em que é necessário mudar a base. Como faremos isso?
Tomemos como exemplo o seguinte:
$ {log_8{1024}} $
Decompondo o logaritmando em fatores primos, encontraremos: $ {1024 = 2^{10}}$
Também sabemos que ${ 2^{3} = 8} $.
Assim podemos escrever: $ {log_8{(8^{3}\cdot 2)}} $
Daí podemos tirar que: ${log_8{8^3} + log_8{2}}$
Continuamos: $ {3\cdot {log_8{8}} + log_8{2}}$
$ {3\cdot {1} } + log_8{2} = 3 + log_8{2}$
Sabemos que: $ {2 = \sqrt[3]{8}}$
Logo: ${ 2 = 8^{{1}\over{3}}} $
Então podemos dizer: $ 3 + log_8{2} = 3 + log_8{8^{{1}\over{3}}} = {3 + {{1\over3}}\cdot {log_8{8}}}$
$ {3 + {{1}\over {3}}\cdot{1}} = {{{3\cdot 3} + 1}\over{3}}$
$ {{9 + 1} \over{3}} = {{10}\over{3}} $
Continue lendo “067.6 – Matemática, álgebra. Logaritmos. Mudança de base um logaritmo.”
Vamos recordar de uma transformação possível nos radicais. Vimos lá que:
$\sqrt[a]{b^n} = b^{{n}\over {a}}$
Obs.: Convertemos o radical em uma potência de expoente fracionário. O índice do radical é o denominador do expoente e o expoente do radicando é o numerador.
Isso nos permite aplicar esse recurso na logaritmação de radicais. Não esquecendo que o numerador da fração/expoente é o expoente do radicando e o denominador é o índice do radical. Assim teremos:
a) $ log_x{\sqrt[a]{b^n}} = log_x{b^{{n}\over {a}}} = {{n}\over {a}}\cdot log_x{b} $
b) $ log_x{\sqrt[u]{y}} = log_x{y^{{1}\over{u}}} = {{1}\over{u}}{log_x{y}} $
c) $ log_a{\sqrt[v]{z^u}} = log_a{z^{{v}\over{u}}} = {{v}\over{u}}{log_a{z}}$
d)$ log_3{\sqrt[5]{15^3}} $
$ log_3{15^{{5}\over{3}}} = {{3}\over{15}}{log_3{5}} = {{1}\over{5}}{log_3{5}}$
Chegou sua vez de exercitar, tomando os exemplos como base.
e)$ log_7{\sqrt[5]{7^4}}$
f) $log_{10}{\sqrt[6]{1000}}$
g)$ log_{12}{\sqrt[8]{{13}^6}} $
h) $ log_3{\sqrt[5]{9^2}}$
i) $ log_a{\sqrt[m]{b^n}} $
j) $ log_a{\sqrt[p]{c^{2p}}} $
l) $ log_h{\sqrt[w]{g^v}} $
m) $ log_4{\sqrt[3]{9^5}}$
Enquanto você resolve os exercícios, vou continuar a preparar mais um post, dando outro passo nesse assunto. Se tiver dúvidas, peça esclarecimentos por um dos canais abaixo.
Curitiba, 02 de julho de 2018
Décio Adams
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Telefone: (41) 3019-4760
Celulares: (41) 99805-0732
Vejamos como fica essa questão:
${log_3{(5)^2}} = {log_3{(5)} + log_3{(5)}} $
$ 1\cdot{log_3{(5)}} + 1\cdot{log_3{(5)}} = {2\cdot {log_3{5}}}$
Isso nos leva à conclusão de que basta multiplicar o logaritmo pelo expoente do logaritmando. Assim:
${log_a{b^u}} = u\cdot {log_a{b}}$
Vamos exercitar um pouco.
a) ${log_m{({p\over q})^z}}$
${log_m{({p\over q})^z}} = z\cdot{log_m{({p\over q})}}$
$ z\cdot{(log_m{p} – log_m{q})}$
b) ${log_3{9^2}} $
${log_3{(3^2)^2}} = {log_3{3^{({2}\cdot{2})}}} = {log_3{3}^4}$
${log_3{9^2} = 4\cdot{log_3{3}} = 4\cdot 1 = 4}$
c)$ log_u{v^n} $
$ log_u{v^n} = n\cdot{log_u{v}}$
d) $ log_n{u^{3x}} $
$ log_n{u^{3x}} = 3x\cdot{log_n{u}}$
É a sua vez, prezado leitor. Resolva os logaritmos das expressões a seguir.
e) $ log_a{({{f}\over{g}})^v} $
f) $ log_3{({{14}\over {21}})^5}$
g) $ log_5{(25)^3} $
h) $ log_{10}{(100)^3}$
i) $ log_7{(ab)^v} $
j) $ log_2{(u)^7} $
l) $ log_3{({{p}\over{q}})^5} $
m) $ log_a{({c}\over{d})^3} $
n) $ log_y{({m}\over{n})^7} $
Obs.: Em caso de dúvida, peça auxílio por um dos canais abaixo listados.
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Desde que estudamos aritmética, vimos que a divisão é a operação inversa da multiplicação. Isso nos permite supor que com os logaritmos acontece a mesma coisa. Vamos confirmar isso.
${log_a{{b}\over{c}} = x} <=> {(a^x)} = {{b}\over {c}} $
Não esquecendo que devemos ter:
${a >0}$, ${a ≠ 1}$, ${b>0}$ e ${c > 0}$
Usando números
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${log_3{{243}\over{27}} = log_3{(3^5)\over(3^3)}}$
${log_3{3^{(5 – 3)} = log_3{3^2} = 2}}$
“O quociente de dois logaritmos de mesma base, é igual à diferença entre os logaritmos correspondentes.”
Obs.: Nunca se pode esquecer que a matemática é um grande edifício e cada pequena parte, é como se fosse um tijolo. Na multiplicação e divisão de potências de mesma base, valem as mesmas regras. Soma e subtração dos expoentes. Aqui são a soma e diferença dos logaritmos, mas que são os expoentes da base que reproduz o logaritmando.
Vejamos como se aplica isso.
a)${log_2{{64}\over{16}}}$
${log_2{{2^6}\over{2^4}} = {log_2{2^6} – log_2{2^4}}}$
${log_2{{64}\over{16}} = 6 – 4 = 2}$
b)$ {log_m{{a}\over {b}}} = {{log_m{a}} – {log_m{b}}}$
c)${log_5{{3125}\over{125}}} = {log_5{{5^5} – log_5{5^3}}}$
${log_5{{3125}\over{125}} = 5 – 3 = 2}$
Efetue as divisões de logaritmos de mesma base a seguir.
a)${log_7{{343}\over{7}}}$
b)${log_5{{625}\over{15625}}}$
c)${log_2{{512}\over{64}}}$
d)${log_{11}{{161051}\over{121}}}$
e)${log_y{{p}\over{q}}}$
f)${log_h{{f}\over{g}}}$
g)${log_{13}{{371293}\over{2197}}}$
Bons exercícios, vá com calma. Se sentir dificuldades, peça ajuda, que estarei pronto para esclarecer.
Curitiba, 30 de junho de 2018
Décio Adams
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Logaritmos de mesma base
Vejamos a expressão: ${log_a{b} = x}$
a => base
b => logaritmando
x => logaritmo
${ a > 0} $, $ {a ≠ 1} $ e $ {b > 0}$.
Como vimos no post anterior, isso nos permite escrever que:
${log_a{b} = x} <=> {a^x = b}$
Continue lendo “067.2 – Matemática, logaritmos. Operações com logarítmos”
No estudo das operações com potências, vemos que o produto de potências com mesma base, é resolvido pela adição dos seus expoentes, conservando-se a base. Assim:
${{(3^2)\cdot(3^5)} = {3^{2 + 5}} = 3^7}$
${{(x^3)\cdot(x^2)\cdot(x^1)} = {x^{3 + 2 + 1}} = x^6}$
Os logarítmos são um assunto ligado à potenciação e surgiram no início do século XVII, com os estudos de John Neper e a ajuda de Henry Briggs, depois da publicação do trabalho elaborado por Neper.
Vejamos: ${{a^x = b} <=> log_a{b} = x}$
Na primeira expressão, $a$ é a base, $x$ é o expoente e $b$ é a potência. Na forma logarítmica $a$ também é a base, $b$ é o logaritmando e $x$ é o logaritmo. Assim podemos definir:
“O logaritmo de um número b(logaritmando) em uma base a é o expoente (x) ao qual devemos elevar a base para obter o número.”
É condição essencial que: $a > 0$, $a ≠ 1 $ e $ b > 0 $