Até aqui fizemos multiplicação, adição, subtração e divisão de polinômios. O que faremos agora é transformar um polinômio numa multiplicação de um termo algébrico por um polinômio, ou um polinômio por outro.
Começaremos pelo caso mais simples. Um polinômio em que todos os termos possuem um fator comum. Colocaremos este fator em “evidência” e multiplicado pelo que resta do polinômio.
Vejamos um exemplo:
\begin{align}\color{Red}{3ax^5 – 6a^2x^3y^2 + 15a^3x^2}\end{align}
Analisando os três termos do polinômio, observamos que todos eles tem em comum:
- O fator numérico $3$.
- Os fatores literais $ax^2$.
Para obtermos a fatoração do polinômio, iremos multiplicar o mesmo pelos fatores comuns $3ax^2$ e dividir todos os termos pelos mesmos. Vejamos como fica isso;
\begin{align}{3ax^2}\times\frac{3ax^5 – 6a^2x^3y^2 + 15ax^3}{3ax^3}\end{align}
\begin{align}{3ax^2}\times\left({\frac{3ax^5}{3ax^2} – \frac{6a^2x^3y^2}{3ax^2} +\frac{15ax^3}{3ax^2}}\right)\end{align}
\begin{align}\color{NavyBlue}{{3ax^2}\times\left({x^3 – 2axy^2 + 5x}\right)}\end{align}
Vejamos outro exemplo:
\begin{align}{6x^3 + 9x^2y}\end{align}
Fator comum: $3x^2$
Colocando em evidência: \begin{align}{3x^2}\times\left(\frac{6x^3 + 9x^2y}{3x^2}\right)\end{align}
\begin{align}{3x^2}\times\left({\frac{6x^3}{3x^2} + \frac{9x^2y}{3x^2}}\right)\end{align}
\begin{align}\color{NavyBlue}{{3x^2}\left({2x + 3y}\right)}\end{align}
Exercícios de aprendizagem
Fatore as expressões abaixo, colocando em evidência o fator comum a todos os termos.
a)${8m^2 – 10mn^21 + 2m^3}$
b)${7x^3y + 21x^2y^3}$
c)${a^2bx^3 – a^2x^2 + ab^2x}$
d)${6u^5v^3 – 15u^3v^2 – 3u^4v}$
e)${15p^2 + 10p^3r + 5pr^2}$
f)${\frac{10}{3}q^3 – \frac{7}{3}p^2q + 3pq^2}$
g)${16a^2 – 24ab}$
h)${13m^4 – 39m^2n + 26mn^2}$
Fatorando polinômios em produtos notáveis
Vejamos o exemplo.
\begin{align}\color{Sepia}{16 + 8x + x^2}\end{align}
Note que se trata de um trinômio onde há dois termos que são quadrados: $16 $ e $x^2$. O termo do meio é igual ao produto das raízes dos outros dois termos, multiplicado por $2$. Então podemos fatorar esse trinômio em um produto notável que é o quadrado da soma das raízes dos dois termos quadrados.
$\sqrt{16} = 4$ e $\sqrt{x^2} = x$
$$\color{NavyBlue}{{16 + 8x + x^2} = {(4 + x)}^2}$$
Vejamos outro exemplo:
\begin{align}\color{Sepia}{9x^2 – 30xy + 25y^2}\end{align}
Temos o primeiro termo $9x^2$ e o terceiro $25y^2$. O termo do meio é o dobro do produto das raízes quadradas dos outros dois termos, precedido do sinal (-). Logo, a expressão dada pode ser fatorada no quadrado da diferença entre essas raízes. Fica assim:
\begin{align}\color{NavyBlue}{{9x^2 – 30xy + 25y^2} = {(3x – 5y)}^2}\end{align}
Antes de fazer exercícios, vejamos mais um exemplo.
\begin{align}\color{Sepia}{4x^2 – 9}\end{align}
Temos um binômio que representa a diferença entre dois quadrados. Como vimos isso permite que podemos fazer o caminho inverso e escrever na forma de um produto da soma pela diferença.
\begin{align}\color{NavyBlue}{{(2x + 3)}\times{(2x – 3)}}\end{align}
Fatorar em produtos notáveis os trinômios e binômios que seguem.
a)${36 – 36x + 9x^2}$
b)${1 + 10y + 25y^2}$
c)${49z^2 – 64x^2}$
d)${9m^2 – 30m + 25}$
e)${4u^2 + 4\sqrt{5}uv + 5v^2}$
f)${81 – 9v^2}$
g)${3x^2 + 2\sqrt{3}xy + y^2}$
h)${25p^2 + 30pq + 9q^2}$
i}${144 – 24r + r^2}$
j)${121y^2 – 88yz + 16z^2}$
k)${256 – 169w^2}$
Fatoração de polinômios cubos perfeitos.
Vejamos esse exemplo:
\begin{align}\color{Sepia}{27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3}\end{align}
Podemos observar dois termos com expoente $3$. Extraindo a raiz cúbica teremos:
$\sqrt[3]{27x^3} = 3x$ e $\sqrt[3]{y^3} = y$
Lembrando do desenvolvimento do cubo da soma e diferença temos:
$3\times{(3x)}^2\times y = 27x^2y$
$3\times{3x}\times y^2 = 9xy^2$
Resultaram os dois termos intermediários do polinômio e podemos fatorar esse no cubo da soma das raízes dos termos extremos.
\begin{align}\color{NavyBlue}{{27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3} = {(3x + y)}^3}\end{align}
Vejamos mais um exemplo na mesma linha.
\begin{align}\color{Sepia}{8a^3 – 36a^2b + 54ab^2 – 27b^3}\end{align}
Novamente temos dois termos que são cubos perfeitos:
$\sqrt[3]{8a^3} = 2a$ e $\sqrt[3]{27b^3} = 3b$
Lembrando do cubo da diferença:
$-3\times{(2a)}^2\times{(3b)} = -36a^2b$
$ 3\times 2a (3b)^2 = 54ab^2$
Obtivemos os termos intermediários do polinômio e podemos fatorar o mesmo em:
\begin{align}\color{NavyBlue}{{8a^3 – 36a2b + 54ab^2 – 27b^3} = {(2a – 3b)}^3}\end{align}
Um polinômio de quatro termos, sendo dois termos cubos perfeitos.
\begin{align}\color{Sepia}{8x^3 – 4x^2y – 2xy^2 + y^3}\end{align}
$\sqrt[3]{8x^3} = 2x$ e $\sqrt[3]{y^3} = y$
Lembrando do produto da soma de dois números pelo quadrado de sua diferença.
${- 1\times {(2x)}^2\times y = -4x^2y}$
${-1\times {2x}\times y^2 = -2xy^2}$
Estes resultados mostram que o polinômio é o produto da soma de dois termos pelo quadrado de sua diferença.
\begin{align}\color{NavyBlue}{{8x^3 – 4x^2y – 2xy^2 + y^3}={(2x + y)}{(2x – y)}^2}\end{align}
Para completar, vejamos mais um exemplo.
\begin{align}\color{Sepia}{27m^3 + 18m^2n – 12mn^2 – 8n^3}\end{align}
Também aqui podemos tirar a raiz cúbica dos dois termos das extremidades.
$\sqrt[3]{27m^3}=3m$
$\sqrt[3]{ 8n^3} = \pm 2n$
${1\times {(3m)}^2\times 2n = 18m^2n}$
${- 1\times 3m\times {(2n)}^2 = – 12mn^2}$
Lembrando dos produtos notáveis, estamos diante do produto da diferença entre dois termos pelo quadrado de sua soma. O que nos dá o que segue:
\begin{align}\color{NavyBlue}{27m^3 + 18m^2n – 12mn^2 – 8n^3 = {(3m – 2n)}{(3m + 2n)}^2}\end{align}
Mais exercícios sobre esse assunto
Fatore os polinômios em cubos da soma e diferença, bem como produto do quadrado da soma pela diferença e quadrado da diferença pela soma.
a)\begin{align}{27x^3 + 135x^2 + 225x + 125}\end{align}
b)\begin{align}{125-35x – 20x^2 + 8x^3}\end{align}
c)\begin{align}{8y^3 + 12y^2 – 6y – 27}\end{align}
d)\begin{align}{27m^3 + 18m^2n – 12m^2n^2 – 8n^3}\end{align}
e)\begin{align}{a^3 + 3a^2bx + 3ab^2x^2 + b^3x^3}\end{align}
f)\begin{align}{27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3}\end{align}
g}\begin{align}{8p^3 – 36p^2q + 54pq^2 – 27q3}\end{align}
h) \begin{align}{343a^3 – 294a^2b + 189ab^2 – 27b^3}\end{align}
i)\begin{align}{27a^3x^3 – 54a^2bx^3 + 36ab^2x^3 – 8b^3x^3}\end{align}
Fatoração de polinômios com fatores comuns
Fatoração por agrupamento
É muito utilizada a fatoração de polinômios que contenham fatores comuns em dois fatores, formando um produto de binômios ou binômio por trinômios. É denominada Fatoração por agrupamento. Fatoramos dois termos e depois os outros dois. Se for possível transformar o polinômio em um produto de binômios, deverão surgir dois fatores comuns entre as partes da primeira etapa. Colocamos em evidência e terminamos o processo.
\begin{align}\color{Brown}{10x + 6 – 15xy – 9y}\end{align}
Temos um fator comum entre os termos $10x + 6$, que é $2$. Também entre os termos $-15xy -9y$, o fator comum é $-3y$. Isso nos permite fatorar os termos dois a dois. Vejamos como fica:
\begin{align}{2\left(\frac{10x + 6}{2}\right) – 3y\left(\frac{-15xy – 9y}{-3y}\right)}\end{align}
\begin{align}{2{\left(\frac{10x}{2} + \frac{6}{2}\right)} – 3y{\left(\frac{-15xy}{-3y} +\frac{-9y}{-3y}\right)}}\end{align}
\begin{align}{2(5x + 3) -3y(5x + 3)}\end{align}
Temos agora dois produtos, onde há um fator comum, que é o binômio $5x + 3$. Podemos colocar esse binômio em evidência e teremos:
\begin{align}\color{NavyBlue}{{(5x + 3)}{(2 – 3y)}}\end{align}
Outro exemplo desse mesmo tipo.
\begin{align}{6axy + 10ax + 9bxy + 15bx}\end{align}
Podemos fatorar os termos aos pares novamente
\begin{align}{2ax\left(\frac{6axy + 10ax}{2ax}\right) + 3bx\left(\frac{9bxy + 15bx}{3bx}\right)}\end{align}
\begin{align}{2ax\left({\frac{6axy}{2ax} +\frac{10ax}{2ax}}\right) + 3bx\left({\frac{9bxy}{3bx} + \frac{15bx}{3bx}}\right)}\end{align}
\begin{align}{2ax(3y + 5) + 3bx(3y + 5)}\end{align}
Temos dois binômios comuns como fatores da expressão agora. Colocamos eles em evidência e ficamos com:
\begin{align}\color{NavyBlue}{{(3y + 5)}{(2ax +3bx)}}\end{align}
Vamos exercitar esse tipo de fatoração.
- \begin{align}{10y – 2 +35xy – 7x}\end{align}
- \begin{align}{15 – 21y – 20y + 28y^2}\end{align}
- \begin{align}{ 14m^2 + 35mn – 6mn -15m^2}\end{align}
- \begin{align}{3r + 6 + 15pr + 30p}\end{align}
- \begin{align}{20 + 35x – 12x – 21x^2}\end{align}
- \begin{align}{50x + 30 – 10x^2 – 6x}\end{align}
- \begin{align}{60x +84 + 15xy^2 + 21y^2}\end{align}
- \begin{align}{30ax – 6ay + 15bx – 3by}\end{align}
- \begin{align}{3ax^2 + 2axy^2 + 3bxy + 2by^3}\end{align}
- \begin{align}{16m + 14mn – 24n – 21 nr}\end{align}
- \begin{align}{27 + 18v + 15u + 10uv}\end{align}
- \begin{align}{55y + 22 – 15xy – 6x}\end{align}
- \begin{align}{13a – 78ab + 4b – 24b^2}\end{align}
- \begin{align}{15 – 9y – 35x + 21xy}\end{align}
- \begin{align}{12w + 8wv + 15v + 10v^2}\end{align}
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Curitiba, 29 de junho de 2020
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