Categoria: Multiplicação

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009.1 – Matemática, aritmética, operações com naturais. Propriedades da adição.

Propriedades das quatro operações básicas.

 

O termo propriedade aqui não é usado no sentido de posse, como quando adquirimos um bem. Ele passa a ser nossa propriedade. Tem aqui o significado de alguma coisa que lhe é característica, própria, que faz parte. Lembro de ouvir muitas vezes os alunos perguntarem:

  • Para que serve isso, professor?

Nem sempre é fácil explicar, assim na hora, como se diz, “na lata” ou “na bucha”, para que serve determinado conteúdo. Mas, com certeza, ele será útil em um momento futuro e, quando for hora de usar, pode faltar tempo para voltar atrás e aprender. Por isso, esse assunto, aparentemente sem “razão de ser”, ou seja, inútil, é muito importante no desenvolvimento de conteúdos posteriores. Apenas para adiantar, é fundamental no aprendizado da álgebra. No momento oportuno vou mostrar como.

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006.3 – Matemática, aritmética, operações com naturais. Multiplicação III.

Multiplicação com múltiplos algarismos

 

Agora iremos ter os dois fatores com mais de um algarismo. Estaremos dando mais um passo no rumo dos níveis mais altos da matemática. Agora teremos mais de uma linha abaixo do traço horizontal e teremos necessidade de adicionar as colunas conforme a posição de cada algarismo. Vejamos:

  •  ${12\cdot 78 = ?}$
    • 78
  • X    12

    Começamos multiplicando ${2\cdot 8 = 16}$. O 6, algarismo das unidades será escrito sob a coluna das unidades e 1, algarismo das dezenas, fica reservado para adicionar no próximo passo. Vamos multiplicar ${2\cdot 7 = 14}$ e adicionamos ${1}$ que é a dezena reservada  ${14 + 1 = 15}$. Este número ${15}$ irá para a esquerda do ${6}$, formando na primeira linha o número ${156}$.

    • 78

X    12

156

Agora iremos multiplicar ${10\cdot 78}$. Multiplicar por ${10}$, resulta o  número ${780}$, que será colocado sob a primeira linha.78

X     12

156    (primeira linha)

780     (segunda linha)

936  – resultou: novecentos e trinta e seis.

Nas unidades temos o ${6}$ na primeira linha. Na coluna das dezenas ${5 + 8 = 13}$. O ${3}$ é colocado na coluna, reservando ${1}$ centena para adicionar na coluna própria. Nas centenas temos então ${1 + 1 + 7 = 9}$, completando assim o produto de ${12\cdot 78}$.

Vamos a mais um exemplo.

  • ${35\cdot 136 = ?}$
    • 136

X     35

Temos ${5\cdot 6 = 30}$

${5\cdot 3 = 15}$ ⇔ ${ 15 + 3 = 18}$ ⇒${10 + 8}$

${5\cdot 1 = 5}$ ⇒ ${5 + 1 = 6}$

Teremos na primeira linha o número 680.

Na segunda linha ${3\cdot 6 = 18}$ ⇒ ${10 + 8}$.

${3\cdot 3 = 9}$ ⇒ ${1 + 9 = 10}$ ⇒ ${10 + 0}$.

         ${3\cdot 1 = 3}$⇒ ${1 + 3 = 4}$

Na segunda linha formamos o número 408, que escrevemos abaixo da primeira linha, deixando a coluna das unidades vaga ou a completamos com um 0 (zero).

136

X        35

680

4080

4760 (quatro mil setecentos e sessenta) é o produto resultante.

Hora de exercitar novamente.

  • Efetue as multiplicações indicadas abaixo.
    • ${24\cdot 169 = ?}$
    • ${19\cdot 324 = ?}$
    • ${42\cdot 275 = ?}$
    • ${32\cdot 538 = ?}$
    • ${65\cdot 417 = ?}$
    • ${71\cdot 814 = ?}$
    • ${84\cdot 742 = ?}$
    •  ${54\cdot 249 = ?}$
    •  ${66\cdot 461 = ?}$
    •  ${84\cdot 569 = ?}$
    •  ${32\cdot 803 = ?}$

Com estes exemplos resolvidos, você tem condições de se orientar em outras multiplicações semelhantes, bastará escolher números quaisquer e aplicar o mesmo raciocínio.

Curitiba, 15 de outubro de 2017. Atualizado em 20 de julho de 2018.

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006.2 – Matemática, aritmética. Operações com naturais. Multiplicação.

Avançando com a multiplicação.

  • No post anterior, aprendemos a multiplicar os números com apenas um algarismo. Espero ter conseguido mostrar como se procede e que tenha dominado esse conteúdo. Havendo alguma dúvida, por favor, peça maiores explicações, fazendo um comentário expondo sua dificuldade. E quando os fatores forem números com mais de um algarismo, como iremos proceder? A operação é a mesma, apenas torna-se difícil fazer a representação concreta de conjuntos, depois contar os elementos para obter a resposta. Mas não se aflija. Novamente usaremos a escrita na forma de colunas e multiplicaremos todos os algarismos de um fator, por todos os algarismos do outro fator, escrevendo os resultados sob as colunas correspondentes. Se houver mais de uma linha, adicionaremos os valores de cada coluna, partindo da direita para a esquerda. A soma encontrada será o produto dos números. Nada melhor do que mostrar como se procede, com um bom exemplo resolvido.
  • ${18\cdot 4 = ?}$

18

X      4

Começamos da direita para esquerda, multiplicando ${4\cdot 8 = 32}$. O produto resultou em mais de uma dezena. Colocamos o algarismo das unidades (2), na direita, abaixo do quatro e reservamos as (3) dezenas para serem adicionadas ao resultado da multiplicação de ${4\cdot 1 = 4}$; adicionamos as dezenas reservadas ${4 + 3 = 7}$. Colocando o 7 à esquerda do dois, teremos o resultado da multiplicação.

18

x4

72 (setenta e dois é o produto: ${4\cdot 18 = 72}$).

Um outro exemplo: ${6\cdot 35 = ?}$

35

X                  6

Começando novamente da direita: ${6\cdot 5 = 30}$. O algarismo das unidades é (0) e reservamos três dezenas para o próximo passo. Fazendo ${6\cdot 3 = 18}$. Adicionamos as três dezenas e temos ${18 + 3 = 21}$, que será escrito à esquerda do (0) das unidades. Teremos:

35

X         6

       210 (duzentos e dez, será o produto)

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006.1 – Matemática, aritmética. Multiplicação.

Crescei e multiplicai-vos

É isso que o Criador disse aos primeiros homens a caminhar sobre a Terra. Mas a nossa multiplicação aqui é um pouco diferente. Vamos multiplicar números, começando por entender o que significa essa operação.  Observe o exemplo.

  •  {♦, ♦} + {♦, ♦} + {♦,♦} = {♦,♦,♦,♦,♦,♦} ⇒ ${{ 2 + 2 + 2} = 6}$

Note que o conjunto de dois elementos foi adicionado três vezes, ou seja, temos uma adição de parcelas iguais, onde cada parcela tem dois elementos. Sempre que surge a ocasião de simplificar a forma de escrever ou seja traduzir em palavras ou símbolos uma sentença matemática, nós o fazemos. Nesse caso, podemos fazer a multiplicação e fica assim:

  • ${3\cdot {♦,♦,} = {3\cdot 2} = 6}$

Lemos aqui: “Tres vezes dois é igual a seis”. Os dois números multiplicados recebem o nome de fatores.

A multiplicação na verdade é nada mais nada menos que uma adição de parcelas iguais.  É importante lembrar desse detalhe, pois  será muito útil em situações que virão pela frente.

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067.11 – Matemática, álgebra. Cologaritmo e antilogaritmo.

Logaritmos

Cologaritmo

Vimos que se ${0 < a ≠ 1}$ e ${b > 0}$, denominamos logaritmo de ${b}$ na base ${a}$ ao expoente de ${a}$ que resulta na potência igual a ${b}$.

Já o cologaritmo é o oposto ou simétrico do logaritmo. Assim: ${colog_a{b} = – log_a{b}}$

${colog_a{b} = (-1)\cdot{log_a{b}}} ⇔ {colog_a{b} = log_a{b}^{-1}}$

${colog_a{b} = log_a{1\over b}}$

Fica demonstrado que o cologaritmo de um número em determinada base é igual ao logaritmo de seu inverso na mesma base.

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067.10 – Matemática, álgebra. Equações logarítmicas

Equações logarítmicas

Há várias formas de equações envolvendo logaritmos. Vamos ver o primeiro deles.

I) Igualdade entre logaritmos de mesma base, como

${log_a{x} = log_a{y}}  ⇔ { x = y}$

Exemplo.

${log_5\underbrace{{(2x + 4)}} =  log_5\underbrace{{(3x + 1)}}}$

${2x + 4 = 3x + 1} ⇔ {2x – 3x = 1 – 4}$

${-x = -3} ⇔ {-x\cdot{(-1)} = -3\cdot{(-1)}}$

${x = 3} ⇔ {S = \{3\}}$

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067.9 – Matemática, álgebra. Condições de existência dos logaritmos.

Estudo da existência dos logaritmos.

 

Vimos no início do nosso estudo dos logaritmos que

${log_a{b} = x}$, tem como condição de existência que tenhamos:

${a > 0,  a ≠ 1}$ ⇔ ${0 < a ≠ 1}$

${b > 0}$

Se estas condições não forem satisfeitas o logaritmo não existe. Isso nos leva a um tipo de expressão em que precisamos analisar uma ou mais situações e estabelecer a condição de existência daquele(s) logaritmo(s) especificamente.

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067.8 – Matemática, álgebra. Expressões logarítmicas.

Expressões logarítmicas.

Vamos exercitar.

 Desenvolver as expressões logarítmicas.

a) ${log_a{({m\cdot n})^v}}$

O expoente do logaritmando, irá multiplicar o logaritmo

${log_a{({m\cdot n})^v}} = {v\cdot{log_a{({m\cdot n})}}}$

Aplicando a propriedade da multiplicação, transformamos o logaritmo da multiplicação e adição dos logarítmos.

${v\cdot({log_a{m} + log_a{n}})} = v\cdot{log_a{m}} + v\cdot {log_a{n}}$

b)${log_x{({{p}\cdot {q}\over {r}})^u}}$

O expoente do logaritmando colocamos novamente multiplicando o logaritmo.

${ u\cdot{log_x{({{p}\cdot{q}\over{r}})}}} = {u\cdot{[log_x{({p}\cdot{q}) – log_x{r}]}}} = {u\cdot{[log_x{p} + log_x{q} – log_x{r}]}}$

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067.7 – Logaritmos naturais ou neperianos; logaritmos decimais

Logaritmos

Logaritmos neperianos. 

São também denominados logaritmos naturais e se originaram dos trabalhos desenvolvidos e publicados por John Neper (Napier). Mais tarde a base desses logaritmos teve seu valor determinado por Euler, sendo usada largamente em diferentes áreas da atividade humana. Essa base é simbolizada pela letra:

${ e ≅ 2,71828183}$

Na prática usamos apenas a parte inteira e as duas primeiras casas decimais.

${ e ≅ 2,71}$

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067.6 – Matemática, álgebra. Logaritmos. Mudança de base um logaritmo.

Logaritmos com mudança de base

 

Ao longo dos estudos empregando logaritmos, nos deparamos com situações em que é necessário mudar a base. Como faremos isso?

Tomemos como exemplo o seguinte:

$ {log_8{1024}} $

Decompondo o logaritmando em fatores primos, encontraremos: $ {1024 = 2^{10}}$

Também sabemos que ${ 2^{3} = 8} $.

Assim podemos escrever: $ {log_8{(8^{3}\cdot 2)}} $

Daí podemos tirar que: ${log_8{8^3} + log_8{2}}$

Continuamos: $ {3\cdot {log_8{8}} + log_8{2}}$

$ {3\cdot {1} } + log_8{2} = 3 + log_8{2}$

Sabemos que: $ {2 = \sqrt[3]{8}}$

Logo: ${ 2 = 8^{{1}\over{3}}} $

Então podemos dizer: $ 3 + log_8{2} = 3 + log_8{8^{{1}\over{3}}} = {3 + {{1\over3}}\cdot {log_8{8}}}$

$ {3 + {{1}\over {3}}\cdot{1}} =  {{{3\cdot 3} + 1}\over{3}}$

$ {{9 + 1} \over{3}} = {{10}\over{3}} $

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