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Continue lendo “01.046 – Matemática – Álgebra, Produtos notáveis. Exercícios resolvidos.”
Para sanar as dúvidas, vamos verificar se esses polinômios estão realmente corretos e isso podemos fazer, substituindo as letras por valores. Se efetuarmos as operações, seguindo os dois caminhos, os resultados devem ser obrigatoriamente iguais, do contrário há algo errado no polinômio, ou então a regra é furada. Vamos tirar essa dúvida.
Escolhendo dois números, que iremos substituir por x e y, podemos verificar as regras uma por uma. Vamos atribuir o valor 7 à letra x e o valor 3 à letra y.
Agora vamos tomar os produtos notáveis, na ordem em que os estudamos.
Quadrado da soma:
$$\color{Sepia}{{ (x + y) }^2 }$$
$\color{Blue}{ x^2 + 2xy + y^2 }$
Vamos substituir as letras x e y, pelos valores 7 e 3, efetuando os cálculos.
${( 7 + 3)}^2$
${(10)}^2 $
Que resulta no número $\color{Red}{100}$.
${(7)^2 + 2\cdot 7\cdot 3 + (3)^2 }$
$ { 49 + 42 + 9}$
$ {91 + 9} $
$$\color{Red}{100}$$
Também resulta no número 100. Isso nos mostra que a regra do quadrado da soma está correta, pois tanto a substituição direta no binômio soma e sua elevação ao quadrado, quanto a substituição no trinômio quadrado perfeito, resultaram no mesmo valor, ou seja 100.
E o quadrado da diferença?
$$\color{Sepia}{ (x – y)}^2$$
$\color{Blue}{x^2 – 2xy + y^2}$
Substituindo as letras pelos seus respectivos valores teremos:
${(7 – 3)}^2$
$ {4}^2 $
$\color{Red}{ 16} $
${(7)^2 – 2\cdot 7\cdot 3 + (3)^2} $
$ {49 – 42 + 9} $
${ 7 + 9} $
$\color{Red}{ 16} $
Novamente, os resultados deram iguais. O que nos demonstra que a regra do quadrado da soma também é válida.
Produto da soma, pela diferença.
$$\color{Sepia}{{(x + y )}{( x- y)}}$$
$\color{Blue}{ x^2 – y^2} $
Fazendo a substituição teremos:
${ (7 + 3)} {(7 – 3)} $
$\color{Red}{{10 \cdot 4} = {40}}$
${7^2 – 3^2} $
${49 – 9}$
$\color{Red}{40}$
Mas não é que deu igual! A regra do produto da soma pela diferença, também está verificada. Interessante não é?! A matemática é uma maravilha e não morde. Basta prestar atenção e começar a entender desde a base. O resto é mera consequência.
Mas ainda falta verificar mais coisas. Como fica o cubo da soma?
$$\color{Sepia}{{(x + y)}^3}$$
$\color{Blue}{x^3 +3 x^{2}y + 3xy^{2}+ y^3} $
${(7 +3)}^3 $
${(10)}^3$
$\color{Red}{ 1000} $
${7^3 + 3\cdot{7}^2\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot {3}^2 + 3^3} $
$ {343 + 3\cdot 49\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot {3}^2 + 3^3}$
${343 + 441 + 189 + 27 } $
$\color{Red}{1000} $
Maravilha. O cubo da soma também está corretíssimo. Isso é bom, não acha?
O cubo da diferença, parece que nem precisa verificar, mas vamos tirar a prova assim mesmo.
$$\color{Sepia}{{(x – y )}^3}$$
$\color{Blue} {x^3 – 3x^{2}y + 3xy^{2} – y^3}$
Substituindo as letras pelos números, temos;
${( 7 – 3)}^3 $
$ {4}^3 $
$\color{Reed} {64}$
${7^3 – 3\cdot {7}^2\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot{3}^2 – 3^3 }$
${343 – 3\cdot 49\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot 9 – 27}$
${ 343 – 441 + 189 – 27} $
${532 – 468} $
$\color{Red}{64}$
Uau! Também deu certo. Não vejo a hora de verificar o resto.
Produto do quadrado da soma, pela diferença.
$$\color{Sepia}{{(x + y)}^2\cdot{(x – y)}}$$
$\color{Blue}{x^3 +x^{2}y – xy^{2} – y^3} $
Vamos substituir os números agora.
${( 7 + 3)}^2\cdot {(7 -3)} $
${(10)}^{2}\cdot 4 $
$ {100\cdot 4}$
$\color{Red}{ 400} $
${(7^3 + 7^2\cdot 3 – 7\cdot 3^2 – 3^3} $
$ {343 + 49\cdot 3 – 7\cdot 9 – 27}$
${ 343 + 147 – 63 – 27} $
$ {490 – 90} $
$\color{Red}{400} $
Não resta dúvida. Deu certo mais uma vez.
Produto do quadrado da diferença, pela soma dos dois números.
$$\color{Sepia}{{(x – y)}^{2}\cdot{(x + y)}}$$
$\cpçpr{Blue}{x^3 – x^{2} y – xy^{2} + y^3 } $
Na substituição ficamos com:
${( 7 – 3)}^2\cdot{(7 + 3)} $
$ {4}^2\cdot {(10)} $
$ 16\cdot 10 $
$\color{Red}{160} $
${7^3 – 7^{2}\cdot 3 – 7\cdot{3}^2 + 3^3} $
${ 343 – 147 – 63 + 27}$
$ {370 – 210} $
$\color{Red}{160}$
Fechou de vez. Todas as regras vistas estão corretas e podem ser usadas sem problema. Não resta a menor dúvida.
Eu estou imaginando que alguém, neste momento, depois de ver a resolução de todas as regras, irá dizer: Mas por que vou usar tantos cálculos, se a forma direta é muito mais rápida e simples?
Sou levado a concordar com você. Realmente o cálculo feito com os números, sem todas as potências, sinais, multiplicações e tudo mais é bem mais curto e igualmente correto. Mas, no futuro, continuando os estudos, surgirão momentos, como por exemplo na fatoração, quando estas regras se tornarão extremamente úteis. Posso garantir, sem a menor dúvida, que você irá me agradecer, se conseguir lembrar ou encontrar um lugar qualquer em que isso esteja anotado para poder usar e facilitar sua vida, especialmente quem for continuar seus estudos em alguma área que utiliza matemática como ferramenta constante. Se você não for continuar nesse sentido, não fique triste, pois o conhecimento não ocupa espaço, o raciocínio se desenvolve e é aplicável em inúmeras situações, até mesmo onde você menos espera. Ao aprender estas coisas não estará gastando seu cérebro, que é como os músculos. Quanto mais usa, melhor eles funcionam. Sua memória e mesmo seu cérebro irão lhe agradecer muito pelos exercícios aos quais você os submete, pois isso os mantém ágeis e funcionando à perfeição. A memória é uma coisa natural de nosso cérebro. Ele registra e armazena tudo que vivemos em cada momento, do nascimento até o momento da morte. Pouco lhe importa se você quer ou não lembrar dos fatos. Eles ficam registrados. Por isso, quanto mais você a usar para armazenar coisas úteis, melhor para você mesmo, para sua saúde física e mental. Tudo isso pode até ajudar a retardar o eventual aparecimento de doenças como Alzheimer, Parkinson. Não que isso seja um remédio para evitar esses males, mas que ajuda e muito, disso não resta dúvida.
Curitiba, 16 de abril de 2016. Republicado em 17 de dezembro de 2017.
Décio Adams
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Vamos avançar mais um pouco com os produtos notáveis. Nem todos os livros apresentam esses tópicos, mas vale a pena conhecer, se você deseja ir um pouco mais longe, desenvolver mais suas aptidões.
Os dois números, serão novamente representados por duas letras. Para manter a sequência adotada nos primeiros três casos, vamos usar novamente as letras $\color{Red}a$ e $\color{Red}b$ para isso.
$$\color{Brown}{{( a + b)}^3}$$
Podemos separar a potência de expoente 3 em um produto de potências de mesma base, com uma com expoente 2 e outra com expoente 1. Assim:
$$\color{Sepia}{{{( a + b)}^2}{(a + b)}}$$
Como já sabemos o resultado do quadrado da soma, podemos agora fazer a multiplicação do trinômio quadrado perfeito resultante, pela soma dos números $\color{Red}a$ e $\color{Red}b$.
$\color{Brown}{{(a^2 + 2ab + b^2)}{(a + b)}}$
${(a^2)}{a} + {(2ab)}{a} +{(b^2)}{a} + {(a^2)}{b} + {(2ab)}{b} + {(b^2)}{b}$
$a^3 + 2a^2b + b^2a + a^2b + 2ab^2+ b^3$
Temos agora um polinômio com seis termos, onde existem dois pares de termos semelhantes. Vamos agrupar estes termos e depois efetuar a adição de seus coeficientes numéricos.
$a^3 + 2a^2b + a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 $
$$\color{NavyBlue}{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}$$
O resultado é um polinômio de quatro termos e podemos enunciar a regra para sua obtenção da seguinte maneira:
Para lembrar mais facilmente.
Na parte literal a variável do primeiro termo tem o expoente 3 no primeiro termo, expoente 2 no segundo termo, expoente 1 no terceiro termo e expoente 0 no quarto termo. A variável do segundo termo segue o inverso, isto é, seus expoentes estão em ordem crescente.
Vejamos um outro exemplo para resolver, aplicando essa regra.
$$\color{Sepia}{{( 2x + 3y)}^3}$$
Para facilitar, vamos por partes. O primeiro termo é 2x e o seu cubo é
$$\color{Red}{{(2x)}^3}$$
$$\color{Red}{8 x^3}$$
O triplo do quadrado do primeiro, multiplicado pelo segundo termo será:
$ {3\cdot{(2^2x^2) (3y)}}$
$\color{Brown}{36 x^2y}$
O triplo do primeiro termo, multiplicado pelo quadrado do segundo será:
$ {3\cdot{2x}\cdot{(3^{2}y^{2})}}$
$\color{Brown}{54xy^{2}} $
O cubo do segundo termo será
${(3y)}^3$
$\color{Red}{27y^3}$
Falta apenas escrever os termos na ordem correta, para terminar:
$$\color{NavyBlue}{ 8x^3 + 36 x^{2}y + 54xy^{2} + 27y^3 }$$
Podemos dizer que esse polinômio de quatro termos é um cubo perfeito.
Para manter a continuidade, vamos considerar os mesmos números (letras) e desenvolver o produto.
$$\color{Brown}{{( a – b )}^3}$$
Novamente desmembramos numa multiplicação de potências de mesma base.
$\color{Sepia}{{( a – b )}^{2} {(a – b)}}$
$ {(a^2 – 2ab + b^2)}{( a – b )} $
$ a^{2}{a} – 2a{a}b + a{b^{2}} + a^{2}{(-b)} – 2ab{(-b)} + b^{2}{(-b)} $
$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b +2ab^{2} – b^{3} $
Agrupando os termos semelhantes e somando os coeficientes:
$ a^{3} – 2a^{2} b – a^{2}b + ab^{2} + 2ab^{2} – b^{3} $
$$\color{NavyBlue}{ a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3}} $$
Se compararmos esse polinômio com o que foi obtido no caso do cubo da soma de dois números, veremos que eles são exatamente iguais, exceto dois sinais (-) no segundo e quarto termos. Assim, podemos escrever a regra.
Para lembrar mais facilmente.
A ordem dos expoentes nas variáveis segue a mesma sequência do cubo da soma, apenas os termos pares (segundo e quarto), tem um sinal (-) negativo.
Para aplicar a regra, vamos a um exemplo.
$$\color{Brown}{{( ax – by)}^{3}}$$
O primeiro termo é ax e o segundo termo é by. Vamos agora aplicar a regra.
O cubo do primeiro termo é
${(ax)}^{3} $
$\color{Sepia} {a^{3}x^{3}} $
O triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo termo é
$ {3{(ax)}^{2}{(by)}}$
$\color{Sepia}{{3a^{2}bx^{2}y }}$
O triplo do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo é
$ {3ab^{2}xy{2} }$
O cubo do segundo termo é
$ {(by)} ^{3} $
$b^{3}y^{3} $
Escrevendo na ordem correta e aplicando os sinais teremos
$$\color{NavyBlue}{{ a^{3}x^{3} – 3 a^{2}bx^{2}y + 3ab^{2}xy^{2} – b^{3}y^{3} }}$$
$$\color{Brown}{{( a + b)}^{2}\times {(a – b)}}$$
Já sabemos que o quadrado da soma é um trinômio quadrado perfeito (trinômio soma). Podemos usar o resultado imediatamente.
${( a^{2} + 2ab + b^{2})} {(a – b)} $
$ {a}{a^{2}} + {a}{(2ab)} + {a}{b^{2}} +{(-b)}{a^{2}} + {(-b)}{(2ab)} + {(-b)}{b^{2}} $
$ a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b – 2ab^{2} – b^{3} $
$ a^{3} + 2a^{2}b – a^{2}b + ab^{2} – 2ab^{2} – b^{3} $
$$\color{NavyBlue}{a^{3} + a^{2}b -ab^{2} – b^{3}} $$
Podemos enunciar a regra para obter o produto do quadrado de dois números pela sua diferença, como segue.
Vamos tentar por em prática? Seja:
$$\color{Sepia}{{(2x + y)}^{2}\cdot{(2x – y)}}$$
${(4x^{2} + 4xy + y^{2})}{(2x – y)} $
$ {(2x)}^{3} + {(2x)}^{2}{y} – 2x{y^{2}} – {y^{3}} $
$$\color{Orchid}{ {8x^3 + 4x^{2}y – 2xy^2 – y^3 }}$$
$$\color{Brown}{{( a – b )}^{2}\cdot{(a + b)}}$$
O procedimento é semelhante ao anterior.
${( a^{2} – 2ab + b^{2})} {(a + b)} $
$ a^{2}a + {(- 2ab)}{(a)} + ab^{2} + a^{2}b + {(- 2ab)}{(b)} + {(b^{2})}{b} $
$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b – 2ab^{2} + b^{3} $
$ a^{3} -2a^{2}b + a^{2}b + ab^{2} -2ab^{2} + b^{3} $
$ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3}$
$$\color{Indigo}{ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3} }$$
Obs.: Para memorizar, fica bastante fácil. Basta observar que os termos são obtidos de mesmo modo, apenas há a diferença entre os sinais dos termos. Se conseguir criar um mecanismo que permita recordar essas sequências, terá meio caminho andado para lembrar dos enunciados.
Vamos por em prática.
$ {( ma + n)} {(ma – n)}^{2} $
${( ma + n)}{[(ma)^{2} – 2mna + n^{2}]} $
$\color{Orchid}{ m^{3}a^{3} – m^{2}na^{2} – mn^{2}a + n^{3}}$$
Vamos deixar os exercícios para um momento próximo. Esses são trabalhosos, mas em momentos de aplicação, ajudam a economizar um bocado de tempo no desenvolvimento de expressões maiores. Sem esquecer de um assunto que vem pouco à frente, que é a fatoração, onde fazemos o processo inverso do que fazemos aqui.
Curitiba, 15 de abril de 2016. Republicado em 17 de dezembro de 2017. Atualizado em 07 de junho de 2018.
Décio Adams
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Tudo que tem uma característica que chama atenção, tem algo além do comum, pode ser apontado como algo notável. Então, a expressão Produtos notáveis tem algo de importante e com aplicações relevantes em algum assunto mais adiante. Vejamos quais são esses casos.
Você provavelmente irá pensar que é mais fácil efetuar a soma e depois calcular a potência, ou seja elevar ao quadrado. Mas, se os números estiverem representados por letras, ou letras e números, como fica? Vamos ver?
$$\color{BrickRed}{ a + b} $$
É a adição dos números representados por letras e fica indicada. Vamos elevar ao quadrado:
$$\color{OrangeRed}{{( a + b)}^2}$$
Temos a multiplicação de um binômio por ele mesmo, sendo a o primeiro termo e b o segundo.
${(a + b)}\cdot{(a + b)} $
$ {a}\cdot {a} + {a}\cdot{b} + {b}\cdot {a} + {b}\cdot{b}$
${ a^2 + ab + ba + b^2} $
Há dois termos semelhantes, embora estejam com a ordem das letras invertida, isso não significa nada. Podemos usar a propriedade comutativa da multiplicação e colocar ambos na mesma ordem. Aqui estamos vendo uma aplicação da propriedade vista no estudo das quatro operações. Lá ela não parecia ter importância, mas aqui já fica claro que para alguma coisa serve.
${ a^2 + ab + ab + b^2}$
$$\color{NavyBlue}{ a^2 + 2ab + b^2}$$
O resultado é um trinômio, cujo primeiro termo é o primeiro termo da soma elevado ao quadrado, o segundo termo é o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo e o terceiro termo é o quadrado do segundo termo da soma. Isso nos permite estabelecer a regra que pode ser usada em qualquer caso de uma soma de dois números, elevada ao quadrado.
“O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.
Bom para lembrar!
Se observar bem, verá que o primeiro termo da soma, aparece primeiro com o expoente 2, depois com o expoente 1 e por último com o expoente 0, o que o torna igual a 1 (unidade). Já o segundo termo tem os expoentes em ordem inversa: 0, 1 e por último 2.
Vamos aplicar isso em alguns exemplos:
a) $\color{Indigo}{{(2x + y)}^2}$
Primeiro termo é 2x o segundo termo é y.
${{(2x)}^2 + 2\cdot 2\cdot{x}{y} + y^2}$
${{(2^2)\cdot (x^2)}\cdot 2\cdot{x}{y} + (y^2)}$
$$\color{Purple}{4x^2 + 4xy + y^2}$$
b) $\color{Indigo}{{(3m + 5)}^2}$
O primeiro termo é 3m e o segundo termo é 5.
$ {{(3m)}^2 + 2\cdot 3\cdot {m}\cdot 5 + 5^2}$
$$\color{Purple}{9m^2 + 30m + 25}$$
c) $\color{Indigo}{{( 6 + 4xy)}^2}$
O primeiro termo é 6 e o segundo termo é 4xy.
${6^2 + 2\cdot 6\cdot {(4xy)} + {(4xy)}^2 }$
$$\color{Purple}{36 + 48xy + 16x^2y^2}$$
d) $\color{Indigo}{{( p + 3q)}^2}$
Primeiro termo é p o segundo termo é 3q.
$ p^2 + 2\cdot p\cdot 3q + {(3q)}^2 $
$$\color{Purple}{p^2 + 6pq + 9q^2}$$
Resolva aplicando a regra vista os quadrados da soma de dois números, na lista a seguir.
a)$\color{Orchid}{{(3ax + 2by)}^2}$
b)$\color{Orchid}{{(7n + 3m)}^2}$
c)$\color{Orchid}{{(2 + 8mx)}^2}$
d)$\color{Orchid}{{(5a + 3b)}^2}$
e)$\color{Orchid}{{(11 + 5mn)}^2}$
f)$\color{Orchid}{{(4mx + 7n)}^2}$
g)$\color{Orchid}{{(6xy^2 + 2x^2y)}^2}$
h)$\color{Orchid}{{(9pq + 13)}^2}$
A mesma coisa que acontece no caso da soma, também ocorre com a diferença. Os números são representados por letras, formando no final a multiplicação de dois binômios iguais. Seja o exemplo:
$$\color{BrickRed}{{( a – b)}^2}$$
A letra a é o primeiro termo e a letra b é o segundo termo da diferença.
$$\color{NavyBlue}{{( a – b)}{(a – b)}}$$
Cada termo do primeiro fator é multiplicado por todos os termos do segundo fator. O que resulta em:
${a}\cdot {a} + {a}\cdot {(-b) } + {(-b)}\cdot {a} + {-b}\cdot{b} $
$ a^{(1+ 1)} – ab – ba + b^{(1 + 1)} $
$$\color{Orchid}{ a^2 – 2ab + b^2}$$
Os dois termos (- ab) e (-ba), são semelhantes, pois a ordem dos fatores pode ser alterada sem causar problemas no resultado. Basta aplicar a propriedade comutativa da multiplicação. Assim passamos a ter que:
Bom para lembrar!
Também aqui os expoentes das partes literais seguem a mesma sequência como acontece no quadrado da soma. A única diferença é que os sinais que precedem os termos, são alternadamente +, – e +. Isso facilita a recordação do resultado de um produto notável desse tipo.
Vamos exercitar:
a) $\color{Indigo}{{(x – y)}^2}$
O primeiro termo é a letra x e o segundo termo é a letra y.
${(x – y )}{(x – y)}$
$$\color{Orchid}{x^2 – 2xy + y^2}$$
b) $\color{Indigo}{{(3x – 2y)}^2}$
O primeiro termo é 3x e o segundo termo é 2y.
${(3x)}^2 – 2\cdot {(3x)}{(2y)} +{(2y)}^2$
$$\color{Orchid}{9x^2 – 12xy + 4y^2}$$
c) $\color{Indigo}{{(ab – bc)}^2}$
O primeiro termo é ab e o segundo termo é bc.
${(ab – bc)} {(ab – bc)} $
${(ab)}^2 – 2\cdot{(ab)}{(bc)} + {(bc)}^2 $
$$\color{Indigo}{{a^2b^2 – 2ab^2c + b^2c^2}}$$
d) $\color{Indigo}{{(5 – 2a)}^2}$
$ {(5 – 2a)}{(5 – 2a)}$
$ {5^2 – 2\cdot 5\cdot{2a} + {(2a)}^2}$
$$\color{Orchid}{ 25 – 20a + 4a^2 }$$
Obs.: Note que tanto o quadrado da soma como da diferença, resulta sempre em um trinômio, onde há dois termos que são quadrados e um termo que representa o produto dos dois termos. Costumeiramente esses trinômios recebem o nome de Trinômio quadrado perfeito. Voltaremos a falar neles em outro momento, ou seja por ocasião da fatoração.
Resolva aplicando a regra acima, os quadrados das diferenças entre dois números da seguinte sequência.
a)$\color{Brown}{{(5ax – 3bx)}^2}$
b)$\color{Brown}{{(Axy – Byz)}^2}$
c)$\color{Brown}{{(4rp^2 – 3pq)}^2}$
d)$\color{Brown}{{(5xy^3 – 3xy^2)}^2}$
e)$\color{Brown}{{(mz – my)}^2}$
f)$\color{Brown}{{(2aj – 3bj)}^2}$
g)$\color{Brown}{{(6gx – 7gy)}^2}$
h)$\color{Brown}{{(3my – 4n)}^2}$
Sejam os números representados pelas letras a e b. A soma será (a + b) e a diferença será (a – b). Vamos multiplicar o binômio soma pelo binômio diferença.
$\color{Indigo}{(a + b)}\cdot\color{Orchid} {(a – b)}$
${a}{a} + {a}{(-b)} + {b}{a} + {b}{(-b)} $
${ a^2 – ab + ab – b^2}$
$$\color{Blue}{a^2 – b^2}$$
Notamos que os dois termos semelhantes, são simétricos e por isso sua soma é igual a zero, ou seja, se anulam. O resultado é um binômio diferença entre os quadrados dos dois números.
Vamos exercitar um pouco.
a) $\color{Sepia}{{(mn + n)}{(mn – n)}}$
$ {{(mn)}^2 – n^2 }$
$$\color{NavyBlue}{ m^2n^2 – n^2 }$$
b) $\color{Sepia}{{(7 – 3x)} {(7 + 3x)}}$
$ {{7}^2 – {(3x)}^2 }$
$$\color{NavyBlue}{ 49 – 9x^2 }$$
c) $\color{Sepia}{{(4x + 3z)}{(4x – 3z)}}$
${(4x)}^2 – {(3z)}^2 $
$$\color{NavyBlue}{16x^2 – 9z^2 }$$
d) $\color{Sepia}{{( 1 + ab)}{( 1 – ab)}}$
$ {1^2 -{(ab)}^2 }$
$\color{NavyBlue}{1 – a^2b^2 }$
Resolva os produtos das somas pelas respectivas diferenças entre dois números, aplicando a regra.
a)$\color{Sepia}{{(2a + 3b)}{(2a – 3b)}}$
b)$\color{Sepia}{{(mn – 5)} {(mn + 5)}}$
c)$\color{Sepia}{{(3ax + 2by)}{(3ax – 2by)}}$
d)$\color{Sepia}{{(mx + ny)}{(mx – ny)}}$
e)$\color{Sepia}{{(7 – 5b)}{(7 + 5b)}}$
f)$\color{Sepia}{{(6az + 3by)}{(6az – 3by)}}$
g)$\color{Sepia}{{(3bp + 5br)}{(3bp – 5br)}}$
h)$\color{Sepia}{{(5qp – 7rp)}{(5qp + 7rp)}}$
Curitiba, 09 de abril de 2016. Republicado em 17 de dezembro de 2017, junto com uma bateria de exercícios de aplicação. Revisto em 07 de junho de 2018.
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Vamos começar por resolver os exercícios que ficaram no último post, sobre esse assunto.
a) $\color{Sepia}{({7\over 5}{bx})}{({5\over 3}{cx^2})}$
Vamos agrupar os coeficientes e as partes literais, para facilitar a operação.
$({7\over 5})\cdot({5\over3})\cdot {(bx)}\cdot {(cx^2)}$
Entre as frações coeficientes, temos fatores comuns entre numerador e denominador, o que permite simplificar. As partes literais, tem os expoentes da mesma letra somados na multiplicação.
${7\over \not{5}}\cdot{\not{5}\over 3}{bcx^{(1 +2)}} $
$$\color{NavyBlue}{{7\over 3}{bcx^3}}$$
b) $\color{Sepia}{{(2ay)}{(5ay)}}$
Agrupando os fatores
${2\cdot 5}\cdot{a\cdot a}\cdot{y\cdot y}$
$ {10\cdot {a^{(1 + 1)}}\cdot {y^{(1+1)}}}$
$$\color{NavyBlue}{10a^2y^2}$$
c) $\color{Sepia}{{(6 pr)}{({2\over3}{qr})}}$
Obs.: Qualquer número inteiro pode ser escrito na forma de uma fração, com o número por numerador e denominador igual a unidade. É o que iremos fazer neste exercício, para entender melhor a multiplicação dos coeficientes numéricos. Com a prática isso se torna dispensável.
$({6\over 1})\cdot({2\over 3})\cdot{(pr)}\cdot{(qr)}$
O numerador da primeira fração é divisível pelo denominador da segunda. Vamos simplificar, eliminando o denominador.
$({\not{6}\over 1})\cdot({2\over \not{3}}\cdot pr\cdot qr$
$ {(2\cdot 2)}\cdot pq\cdot r^{(1 + 1)}$
$$\color{NavyBlue} {4pqr^2}$$
d) $\color{Sepia}{{(3 i)}{(5ij)}}$
${3\cdot 5}\cdot{i\cdot i}\cdot {j}$
${15\cdot{i^{(1 + 1)}}\cdot {j}}$
$$\color{NavyBlue}{15i^2j}$$
e) $\color{Sepia}{{(4mn)}{(3n^3)}}$
${(4\cdot 3)}\cdot m\cdot{n^{(1+3)}}$
$$\color{NavyBlue}{12mn^4}$$
f) $\color{Sepia}{{(ax^2y)}{(bxy^3)}}$
${a\cdot b\cdot x^{(2 +1)}\cdot y^{(1 + 3)}}$
$$\color{NavyBlue}{abx^3y^4}$$
g)$\color{Sepia}{{(bx^3)}{(2cxy^2)}{(5bc^2)}}$
${b^{(1+1)}c^{(1+2)}x^{(3+1)}y^2}$
$$\color{NavyBlue}{b^2c^3x^4y^2}$$
h)$\color{Sepia}{{(3mn^2)}{(2m^3n)}{(-mn)}}$
${3\cdot 2\cdot (-1)\cdot m^{(1 + 3 + 1)}\cdot n^{(2 + 1 + 1)}}$
$\color{NavyBlue}{ -6m^5n^4}$$
2. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos pelos polinômios a seguir.
a) $\color{BrickRed}{{(3ab)}\cdot {(2a + 3b – 5c)}}$
${(3ab)}\cdot{(2a)} +{(3ab)}\cdot{(3b)} + {(3ab)}\cdot{(-5c)}$
${(3\cdot 2)\cdot a^{(1 + 1)}\cdot b} +{3\cdot 3\cdot ab^{(1+1)}} + {3\cdot{(-5)}\cdot abc}$
$$\color{NavyBlue} {6a^2b + 9ab^2 – 15abc}$$
b) $\color{BrickRed}{{(mx^2)}\cdot {(mx + n{x^2}y + mxy)}}$
${(mx^2)}\cdot{(mx)} +{(mx^2)}\cdot{(nx^{2} y)} + {(mx^2)}\cdot{(mxy)}$
${m^{(1 + 1)}{x^{(2 +1)}} +{mnx^{(2+2)} y} + {m^{(1+1)}x^{(2+1)}} y}$
$$\color{NavyBlue}{m^2x^3 + mnx^{4}y +m^{2}x^{3}y}$$
c) $\color{Sepia}{{(5u^2v)}{(2uv + 4u – 5v + u^2v^3)}}$
$ 5u^2v\cdot 2uv + 5u^2v\cdot 4u + 5u^2v\cdot{(-5v)} +5u^2v\cdot u^2v^3 $
$5\cdot 2\cdot u^2v\cdot uv +5\cdot 4\cdot u^2v\cdot u + 5\cdot{(-5)}u^2v\cdot v + 5\cdot u^2v\cdot u^2 v^3 $
$$\color{NavyBlue}{10u^3 v^2 + 20u^3v -25u^2v^2 + 5u^4v^4}$$
d) $\color{Sepia}{({2\over 3}{axy^3}){(6xy – 3ay^2 + 9a{x^2}y)}}$
$({2\over 3}{axy^3})\cdot{(6xy)} + ({2\over3}{axy^3})\cdot {(-3ay^2)} + ({2\over 3}{axy^3})\cdot{(9ax^{2}y)}$
${2\over 3}\cdot{6}\cdot{(axy^3)}\cdot{xy} + {2\over 3}\cdot {(-3)}\cdot {axy^3} \cdot{ay^2} + {2\over 3}\cdot 9\cdot{axy^3}\cdot{ax^{2}y} $
${4ax^{(1+1)}y^{(3+1)}} -2a^{(1+1)}xy^{(3+2)} + 6a^{(1 + 1)}x^{(1+2)}y^{(3 + 1)}$
$$\color{NavyBlue}{ 4ax^{2}y^{4} – 2a^{2}xy^{5} + 6a^{2}x^{3}y^{4}}$$
e)$\color{Sepia}{{(3px^2)}{(5px + 3pq – 4qx^3)}}$
${(3px^2)}{(5px)} + {(3px^2)}{(3pq)} + {(3px^2)}{(-4qx^3)}$
${(3\cdot 5\cdot p^{(1 + 1)}\cdot x^{(2 + 1)}} + {3\cdot 3\cdot p^{(1 + 1)}\cdot q \cdot x^2} + {3\cdot {(-4)}\cdot p\cdot q\cdot x^{(2 + 3)}}$
$$\color{NavyBlue}{{15p^2x^3 + 9p^2qx^2 – 12pqx^5}}$$
f)$\color{Sepia}{{(2mn^2 + 5mx – 3nx^3)}{(2mn)}}$
${(2mn^2\cdot 2mn)} + {(5mx\cdot 2mn)} + {(-3nx\cdot 2mn)}$
$$\color{NavyBlue}{{4m^2n^3 + 10m^2nx – 6mn^2x}}$$
g)$\color{Sepia}{{(3xz^3)}{(2xy – 4xy^3z + 6x – x^2yz)}}$
${(3xz^3)\cdot (2xy)} + {(3xz^3)\cdot(-4xy^3z)} + {(3xz^3)\cdot (6x)} + {(3xz^3) \cdot(-x^2yz)}$
$$\color{NavyBlue}{{6x^2yz^3 – 12x^2y^3z^2 + 18x^2z^3 – 3x^3yz^4}}$$
h)$\color{Sepia}{{Ax^2)}{(Ax^3 + Bxy – Cyz^2)}}$
${(Ax^2)\cdot(Ax^3)} + {(Ax^2)\cdot(Bxy)} + {(Ax^2)\cdot(-Cyz^2)}$
${A^2 x^{(2 + 3)} + ABx^{(2 + 1)}y – AC x^2yz^2}$
$$\color{NavyBlue}{{A^2 x^5 + ABx^3y – ACx^2yz^2}}$$
3. Efetuar a multiplicação dos polinômios propostos a seguir.
a)$\color{Indigo}{{( a + ab)}{(abx + x)}}$
Agora chegou a hora de multiplicar todos os termos do primeiro polinômio, por todos os do segundo. No final reduzir os termos semelhantes, se os houver. Assim:
${a}\cdot {abx} + {a}\cdot{x} + {ab}\cdot {abx} + {ab}\cdot {x} $
${a^{(1+1)}bx + ax + a^{(1+1)}b^{(1+1)}x + abx }$
$$\color{Purple}{{ a^{2}bx + ax + a^{2}b^{2}x + abx }}$$
b)$\color{Indigo}{{(pm – {p^2}n)}{(m^2 – pm^2 – pn)}}$
$ {pm}\cdot (m^2) + {pm}\cdot {(-pm^2)} + {pm}\cdot {-pn} + {(- p^2)}n\cdot {(m^2)} + {(-p^2)}n\cdot {(-pm^2)} + {(-p^2)}n\cdot{(-pn)} $
$ {pm^{(1 + 2)} – p^{(1 + 1)}m^{(1 +2)} – p^{(1 + 1)}mn – p^{2 }m^{2}n + p{(2+1)}m^{2}n + p^{(2+1)}n^{(1+1)}} $
$$\color{Purple}{pm^3 – p^2m^3 – p^2mn – p^2m^2n + p^3m^2n + p^3n^2}$$
Não há termos semelhantes, portanto a expressão final fica assim mesmo.
c)$\color{Indigo}{{(2x – 3 y)}{(5 + 2xy – 4 x^2 + 3xy^3)}}$
${2x}\cdot 5 + 2x\cdot {2xy} + 2x\cdot {(-4x^2)} + 2x\cdot {(3xy^3} + {(-3y)}\cdot 5 + {(-3y)}\cdot {(2xy)} +{(-3y)}\cdot {(3xy^3)} +{(-3y)}\cdot {(-4x^2)} $
$ 10x + 4x^{2}y – 8x^{(1+2)} +6x^{(1+1)}y^3 -15 y -6xy^{(1 +1)} – 9 xy^{(1 + 3)} +12x^{2}y $
$$\color{Purple}{{10x + 4x^{2} y – 8x^3 + 6x^{2}y^3 – 15 y – 6xy^2 – 9xy^4 + 12 x^{2}y}}$$
Não há termos semelhantes e o resultado fica assim mesmo.
d) $\color{Indigo}{{(3u + 5v)}{(6u^2 – 2 v + 7uv)}}$
$3u\cdot{(6u^2)} + 3u\cdot {(-2v)} + 3u\cdot{(7uv)} + 5v\cdot{(6u^{2})} + 5v\cdot{(- 2v)} + 5v\cdot{(7uv)} $
$$\color{Indigo}{18u^3 – 6uv + 21 u^{2}v + 30u^2v – 10v^2 + 35uv^{2}}$$
e)$\color{Indigo}{{(4m – 2n)}{(mn + m^2n – 3n^3)}}$
${(4m)\cdot(mn) + (4m)\cdot(m^2n) + (4m)\cdot(-3n^3) + (-2n)\cdot (mn) + (-2n)\cdot (m^2n) + (-2n)\cdot(-3n^3)}$
$\color{Purple}{{4m^2n + 4m^3n – 12mn^3 – 2mn^2 – 2m^2n^2 + 6n^4}}$$
Sem termos semelhantes, fica assim mesmo.
f)$\color{Indigo}{{(5 – 6x + 3xy + x^2y^3)}{(2 + 4xy)}}$
${(2\cdot 5) + 2\cdot (-6x) + 2\cdot(3xy) + 2\cdot(x^2y^3) + 4xy\cdot 5 + 4xy\cdot(-6x) + 4xy\cdot(3xy) + 4xy\cdot(x^2y^3)}$
$$\color{Indigo}{10 – 6x + 6xy + 2x^3y^4 + 20xy – 24x^2y + 12x^2y^2 +4x^3y^4}$$
Há dois pares determos semelhantes. Vamos agrupá-los e substituir pela soma algébrica dos mesmos.
${10 – 6x +(6xy + 20xy) + (2x^3y^4 + 4x^3y^4) + 24x^2y}$
${10 – 6x + 26xy + 6x^3y^4 + 24x^2y}$
Colocando os expoentes de x em ordem crescente ficamos com:
$$\color{Purple}{10 – 6x + 26xy + 24x^2y + 6x^3y^4}$$
g)$\color{Indigo}{{(4r^2 – 3pq)}{(5 + 3r – 2rq)}}$
${(4r^2)\cdot(5) + (4r^2)\cdot(3r) + (4r^2)\cdot((-2rq) +(-3pq)\cdot(5) + (-3pq)\cdot(3r) + (-3pq)\cdot(-2rq)}$
${20r^2 + 12r^3 – 8r^3q -15pq -9pqr +6pq^2r}$
Ordem crescente dos expoentes de r:
$$\color{Purple}{{-15pq – 9pqr + 6pq^2r + 20r^2 + 12r^3 – 8r^3q}}$$
h)$\color{Indigo}{{(2ny – 3mx)}{(4nm + 2mx – 5mnx)}}$
${(2ny)\cdot(4nm) + (2ny)\cdot (2mx) + (2ny)\cdot(-5mnx) + (-3mx)\cdot(4nm) + (-3mx)\cdot(2mx) + (-3mx)\cdot(-5mnx)}$
$\color{Purple}{8n^2my + 4mnxy -10mn^2xy – 12m^2nx – 6m^2x^2 – 15m^2nx^2}$$
Não há termos semelhantes a reduzir.
Curitiba, 09 de abril de 2016. Republicado em 16 de dezembro de 2017.
Décio Adams
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O que significa esse título?
Imagine uma expressão algébrica com vários termos, sendo alguns deles semelhantes. Já sabemos, nesta altura dos acontecimentos, que sempre devemos buscar a expressão mais simples que for possível estabelecer, para facilitar qualquer solução que tenhamos em mente.
Devemos ter em mente que, em uma mesma expressão, não é aceitável que uma mesma letra (símbolo) represente mais de um valor. Por exemplo se $$\begin{align}\color{Sepia}{{x} = 5}\end{align}$$ em um termo de uma expressão algébrica, em todos os lugares em que aparecer a letra $\color{Red}{x}$, ela terá sempre o valor $\color{Red}{5}$. Então, as partes literais de vários termos algébricos semelhantes, terão o mesmo valor. O que distingue os termos entre si, são seus coeficientes. Isto indica quantas parcelas iguais serão somadas ou subtraídas entre si nesta expressão. Desta forma nos é possível substituir vários termos semelhantes por um único termo, cujo coeficiente seja a soma dos coeficientes numéricos daqueles.
Continue lendo “01.038 – Matemática – Álgebra. Redução de termos semelhantes”
Traduzindo para uma linguagem comum e direta, consiste na substituição de números (algarismos) por letras ou outros símbolos. O uso das letras universalizou-se, uma vez que isso dispensa a criação de uma nova coleção de símbolos para representar números de qualquer valor. Usamos tanto o alfabeto latino, como o grego, além de alguns símbolos criados especialmente para indicar operações matemáticas. Poderia alguém perguntar:
Continue lendo “01.036 – Matemática – Álgebra, introdução e conceitos básicos.”
Resolvidos e comentados.
Uma pessoa, encontrou meus artigos sobre matemática (quatro operações, propriedades, potenciação e radiciação), que publiquei há um ano passado aproximadamente. Ali encontrou meus contatos e telefonou, para pedir ajuda. Trata-se de uma lista de exercícios sobre o assunto. Tentou me explicar por telefone e eu tentei lhe resolver, pela forma como entendi. Graças a Deus, eu tive a ideia de pedir que ele fizesse uma cópia (scanner) e me mandasse por e-mail, pois eu havia entendido erradamente e a resposta estaria errada. São ao todo 13 exercícios, alguns bastante simples de solucionar, outros exigem mais raciocínio, com aplicação de recursos aritméticos e algébricos.
Na verdade, o nome se deve ao fato de serem fornecidos três valores e existir um quarto valor desconhecido. São valores de duas grandezas que se correspondem. A existência de proporção entre esses valores, permite que seja determinado o quarto valor, através do conhecimento dos outros três.
Vamos ver um exemplo.
Continue lendo “01.033 – Matemática – Aritimética, razão, proporção. Regra de três simples”
OBS.: Se aplicarmos as propriedades dois e três ao mesmo tempo, equivale a aplicar uma quarta propriedade.
Tanto na primeira como na segunda proporção teremos:
Continue lendo “01.032 – Matemática, Aritimética. Fração, razão, proporção e suas propridades II”