Categoria: Relações trigonométricas

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Resolução de exercícios de trigonometria.

Exercícios propostos para treino no post anterior

Triângulos isósceles equiláteros justapostos, formando losango.

01. Se um triângulo isósceles tem o ângulo oposto à base, medindo $\alpha = 60^{0}$, determine o seno e o cosseno do ângulo resultante da justaposição de dois desses triângulos, como mostra a figura.

Sendo um triângulo isósceles e um de seus ângulos mede $\alpha = 60^{0}$, é fácil deduzir que se trata de um triângulo equilátero e os outros dois ângulos têm a mesma medida. Assim, na justaposição como mostra a figura, o que está sendo pedido é $sen{(\alpha + \alpha)}$ e $cos{(\alpha + \alpha)}$. Em outras palavras temos um ângulo duplo.

Indo até a tabela das igualdades ou relações trigonométricas, encontraremos:

$\color{navy}{sen{(2\alpha)} = 2sen\alpha\cdot cos\alpha}$

$\color{navy}{cos{(2\alpha)} = cos^2\alpha – sen^2\alpha}$

Sabemos que $sen{60^{0}} = {\sqrt{3}\over 2}$ e que $cos{60}={1\over2}$, podemos substituir e obter o resultado.

$sen{(2\cdot {60^{0}})} = 2\cdot sen{60^{0}}\cdot cos{60^{0}}$

$sen{(120{0})} = 2\cdot {\sqrt{3}\over 2}\cdot{1\over 2}$

$sen{(120{0})} = 2\cdot{\sqrt{3}\over4} = {\sqrt{3}\over2} $

$\color{maroon}{sen{(120^{0})} = {\sqrt{3}\over 2}}$

$cos{(2\cdot{60º})} = cos^2{60^{0}} – sen^2{60^{0}}$=${{\left(1\over2\right)^2} – {\left(\sqrt{3}\over2\right)^2}}$

$cos{(120^{0})} = {1\over4} – {3\over 4} = -{\not{2}\over\not{4}}$

$\color{maroon}{cos{(120^{0})} = -{1\over 2}}$

02. Sabendo que um ângulo $\beta$ mede mede $30^{0}$ e o outro $\alpha$ mede $45^{0}$. Determine a tangente e cotangente da soma desses dois ângulos.

Consultando a tabela das igualdades, encontraremos que:

$\color{navy}{tg{(\alpha\pm \beta)}={{1+ tg\beta\cdot ctg\alpha}\over{ctg\alpha \mp tg\beta}}}$

$\color{navy}{ctg{(\alpha \pm \beta)}={{ctg\alpha\mp tg\beta}\over{1\pm tg\beta\cdot ctg\alpha}}}$

Precisamos então saber os valores da tangente e cotangente dos dois ângulos. Podemos ver na tabela, vista anteriormente e encontraremos:

$tg\alpha = 1$; $ctg\alpha = 1$

$tg\beta = {\sqrt{3}\over 2}$; $ctg\beta = \sqrt{3}$

Então:

$tg{(30^{0} + 45^{0})}={{1+{1}\cdot\sqrt{3}}\over{\sqrt{3} – 1}}$

$tg{(75^{0})} = {{1 +\sqrt{3}}\over {\sqrt{3}-1}}$=${{(1 +\sqrt{3})}\cdot{(\sqrt{3} + 1)}}\over{{(\sqrt{3} -1)}\cdot{\sqrt{3} + 1}}$

$tg{(75^{0})} = {{1 +2\sqrt{3} +\sqrt{3}^2}\over{\sqrt{3}^2 – 1^2}}$=${{\not{4} +\not{2}\sqrt{3}}\over\not{4}}$

$\color{maroon}{tg(75{0}) = 2 + \sqrt{3}}$

Agora a cotangente

$ctg{(45º + 30º)}={{ctg(30º) – tg(45º)}\over{1 + tg(45º)\cdot ctg(30º)}}$=${{\sqrt{3} – 1}\over{1+1\cdot\sqrt{3}}}$

$ctg(75^{0}) = {{{(\sqrt{3} -1)}\cdot{(1 -\sqrt{3})}}\over{{(1+\sqrt{3})}\cdot{(1-\sqrt{3})}}}$=${{2\sqrt{3} -3 -1}\over{1 – 3}}$ = ${{\not{2}\sqrt{3} -\not{4}}\over{-2}}$

$\color{maroon}{ctg(75^{0})= 2 -\sqrt{3}}$

03. Se a secante de um ângulo é $\color{green}{sec\alpha = 3}$, determine: a) $cos\alpha$; b) $sen\alpha$; c)$cos{2\alpha}$; d)$sen{2\alpha}$.

É fornecido que $\color{green}{sec\alpha = 3}$ e pede-se:

a)$cos\alpha$

Por definição $sec\alpha = {1\over cos\alpha}$

Daí tiramos que: $cos\alpha = {1\over sec\alpha}$

Substituímos: $cos\alpha = {1\over 3}$

$\color{maroon}{cos\alpha = {1\over3}}$

b) $sen\alpha$ ?

A relação fundamental da trigonometria nos diz que:

$sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1$

$sen^2\alpha + {\left(1\over 3\right)^2} = 1$=$sen^2\alpha = 1 -{1\over 9}$=${{9 – 1}\over9}$

$\sqrt{sen^2\alpha} = \sqrt{8\over9}$ = ${\sqrt{2\cdot 2}\over\sqrt{9}}$

$\color{maroon}{sen\alpha = {2\sqrt{2}\over 3}}$

c)Na tabela de igualdades encontramos que:

$\color{navy}{cos{2\alpha} = cos^2\alpha – sen^2\alpha}$

Substituindo os valores acima, temos:

$cos{(2\alpha)}= {\left(1\over3\right)^2} – {\left(2\sqrt{2}\over 3\right)}^2$=${{1\over 9} – {{2^2\cdot 2}\over 9}}$

$cos{(2\alpha)} = {{1 – 8}\over 9}$=$-{7\over9}$

$\color{maroon}{cos{(2\alpha)} = -{7\over 9}}$

d)Voltando à tabela de igualdades:

$\color{navy}{sen{(2\alpha)} = 2sen\alpha\cdot cos\alpha}$

Substituindo: $sen{(2\alpha)}={2\cdot {2\sqrt{2}\over3}\cdot{1\over3}}$

$\color{maroon}{sen{(2\alpha)} = {4\sqrt{2}\over9}}$

Triângulos contíguos, com um vértice comum.

04. Dois triângulos são colocados lado a lado, de modo a fazer coincidir um de seus vértices da base. O primeiro é equilátero e o segundo isósceles, onde o ângulo do vértice superior mede $45^{0}$. Determine: a) o seno do ângulo entre os lados dos dois triângulos $\color{red}{\alpha}$; b) o cosseno da soma do ângulo interno do equilátero e o lado do isósceles$\color{red}{(\alpha + \gamma)}$; c) o seno do ângulo formado entre a base do isósceles e o lado do equilátero$\color{red}{(\alpha + \beta)}$.

Os dois triângulos formam o ângulo $\alpha$. Sendo um deles equilátero, seus ângulos são iguais e medem $(60^{0})$. O outro é isósceles e se um de seus ângulos agudos mede $(45^{0})$, não resta dúvida sobre a medida do outro ângulo, que é igual a este. A figura mostra os triângulos colocados de modo que os vértices coincidem. Os ângulos somados totalizam $(180^{0})$, isto é, um ângulo raso.

Temos pois: $\gamma = 60^{0}$ e $\beta = 45^{0}$.

a) $\gamma + \alpha + \beta = 180^{0}$

$(60^{0}) + \alpha + (45^{0}) = (180^{0})$$\Leftrightarrow$$\alpha = (180^{0}) – (105^{0}) = (75^{0})$

b)$\color{navy}{cos{(\gamma + \alpha)} = {cos\gamma\cdot cos\alpha – sen\alpha\cdot sen\gamma}}$

$cos{(60^{0}+ 75^{0})}={cos(60^{0})\cdot cos(75^{0}) – sen(75^{0})\cdot sen(60{0})}$ (I)

É necessário determinar os valores do seno e do cosseno de $75^{0}$. Sabemos que $45^{0}+ 30^{0} = 75^{0}$. Logo:

$sen{(45^{0} + 30^{0})}={sen^(45{0})\cdot cos(30^{0}) + sen(30^{0})\cdot cos(45^{0})}$

$sen(75^{0}) = {{\sqrt{2}\over2}\cdot{\sqrt{3}\over2} + {1\over2}\cdot{\sqrt{2}\over 2}}$=${\sqrt{6}\over 4} + {\sqrt{2}\over 4}$

$\color{maroon}{sen(75^{0})={{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\over 4}}$ (II)

$cos(45^{0}+30^{0})={cos(45^{0})\cdot cos(30^{0}) – sen(45^{0})\cdot sen(30^{0})}$

$cos(75^{0})={{\sqrt{2}\over2}\cdot{\sqrt{3}\over 2} – {\sqrt{2}\over 2}\cdot{1\over2}}$=${{\sqrt{6}\over 4} – {\sqrt{2}\over 4}}$

$\color{maroon}{cos(75^{0})={{\sqrt{6} -\sqrt{2}}\over4}}$ (III)

Substituindo (II) e (III) em (I), teremos:

$cos(60^{0} + 75^{0})={{1\over 2}\cdot {{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\over4} – {{\sqrt{3}\over 2}\cdot{\sqrt{6} +\sqrt{2}\over 4}}}$

$cos(60^{0}+75^{0})={{\sqrt{6} -\sqrt{2}}\over 8} -{{\sqrt{18} +\sqrt{6}}\over 8}$=${{\sqrt{6} -\sqrt{2} -3\sqrt{2} -\sqrt{6}}\over 8}$

$cos(135^{0}) = {{\sqrt{6}-\sqrt{6} – \not{4}\sqrt{2}}\over\not{8}}$=$ -{\sqrt{2}\over 2}$

$\color{maroon}{cos(135^{0}) =-{\sqrt{2}\over2}}$

c)$sen(45^{0} + 75^{0})={sen(45^{0})\cdot cos(75^{0}) + sen(75^{0})\cdot cos(45^{0})}$

$sen{120^{0}) = {\sqrt{2}\over2}\cdot{{\sqrt{6} -\sqrt{2}}\over 4} +{{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\over 4}\cdot{\sqrt{2}\over2}}$=${{\sqrt{12}-\sqrt{4}}\over 8} + {{\sqrt{12} + \sqrt{4}}\over 8}$

$sen(120^{0}) = {{2\sqrt{3}- 2}\over 8} + {{2\sqrt{3} + 2}\over 8}$=${4\sqrt{3}\over 8}$=${\sqrt{3}\over2}$

$\color{maroon}{sen(120^{0})= {\sqrt{3}\over 2}}$

05. Sendo os ângulos $\color{Red}{\alpha = 60^{0}}$ e $\color{Red}{\beta = 45^{0}}$, determine: a) $cos{(\alpha – \beta)}$; b)$sen{(\alpha – \beta)}$; c)$tg{(\alpha – \beta)}$.

Dados: $\alpha=60^{0}$ e $\beta=45^{0}$

$sen(60^{0})={\sqrt{3}\over2}$; $cos(60^{0})={1\over2}$

$sen(45^{0})={\sqrt{2}\over2}$; $cos(45^{0})={\sqrt{2}\over2}$

a)$\color{navy}{cos{(\alpha-\beta)}={cos\alpha\cdot cos\beta + sen\alpha\cdot sen\beta}}$

$cos(60^{0}-45^{0}) ={cos(60^{0})\cdot cos(45^{0}) + sen(60^{0})\cdot sen(45^{0})}$=${{1\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2} +{\sqrt{3}\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2}}$

$cos(15^{0}) = {\sqrt{2}\over4} + {\sqrt{6}\over4}$=${{\sqrt{2}+\sqrt{6}}\over4}$

$\color{maroon}{cos(15^{0})={{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\over4}}$

b)$\color{navy}{sen{(\alpha -\beta)}={sen(\alpha)\cdot cos(\beta)-sen(\beta)\cdot cos(\alpha)}}$

$sen(60^{0}-45^{0})={sen(60^{0})\cdot cos(45^{0})-sen(45^{0})\cdot cos(60^{0})}$

$sen(15^{0})={{\sqrt{3}\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2}-{\sqrt{2}\over2}\cdot{1\over2}}$=${{\sqrt{6}\over4}-{\sqrt{2}\over4}}$

$\color{maroon}{sen(15^{0})={{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\over4}}$

c)$\color{navy}{tg{(\alpha-\beta)}={{1-tg\beta\cdot ctg\alpha}\over{ctg\alpha + tg\beta}}}$

$tg(60^{0}-45^{0})={{1-tg(45^{0})\cdot ctg(60^{0})}\over{ctg(60^{0})+tg(45^{0})}}$

$tg(15)={{1-{1\cdot\sqrt{3}\over3}}\over{{\sqrt{3}\over 3}+ 1}}$

$tg(15^{0})={{{3 – \sqrt{3}}\over\not{3}}\over{{3 + \sqrt{3}}\over\not{3}}}$=${{(3 – \sqrt{3})}\cdot{(3-\sqrt{3})}\over{{(3+\sqrt{3})}\cdot{(3-\sqrt{3})}}}$

$tg(15^{0})={{3^2 -2\cdot\sqrt{3} + {\sqrt{3}}^2}\over{3^2-{\sqrt{3}}^2}}$=${{9 + 3 – 2\sqrt{3}}\over{9 – 3}}$

$tg(15^{0})={{12 – 2\sqrt{3}}\over6}$=${{6-\sqrt{3}}\over 3}$

$\color{Maroon}{tg(15^{0})={{6 – \sqrt{3}}\over3}}$

06. Calcular as demais razões trigonométricas sabendo que $\color{Red}{tg\alpha = {4\over 3}}$ α pertence ao primeiro quadrante($0^{0}<\alpha<90^{0}$.

Vimos em postagens anteriores que $tg\alpha ={
sen\alpha\over cos\alpha}$. Então podemos escrever:

$tg\alpha = {sen\alpha\over cos\alpha} = {4\over3}$

$sen\alpha = {4\over3}\cdot cos\alpha$ (I)

Da relação fundamental temos:

$sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ (II)

Substituimos (I) em (II):

$\left({{4\over3}\cdot cos\alpha}\right)^2+cos^2\alpha =1$

${{16}\over9}\cdot cos^2\alpha + cos^2\alpha = 1$$\Leftrightarrow$${{16 + 9}\over9}\cdot cos^2\alpha =1$

${{25}\over9}\cdot cos^2\alpha =1$$\Leftrightarrow$$cos^2\alpha= {9\over{25}}$

$\sqrt{cos^2\alpha} = \sqrt{9\over{25}}$$\Leftrightarrow$$cos\alpha = {3\over5}$

$\color{Maroon}{cos\alpha = {3\over5}}$

Substituindo em $sen\alpha = {4\over3}\cdot cos\alpha$

$sen\alpha = {4\over\not{3}}{\not{3}\over5} = {4\over5}$

$\color{maroon}{sen\alpha = {4\over5}}$

$\color{navy}{ctg\alpha = {1\over tg\alpha}}$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha={1\over{4\over3}} = {3\over4}$

$\color{maroon}{ctg\alpha = {3\over4}}$

$\color{NavyBlue}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$sec\alpha = {1\over{3\over5}}= {5\over3}$

$\color{Maroon}{sec\alpha = {5\over 3}}$

$\color{NavyBlue}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$csc\alpha={1\over{4\over5}} = {5\over4}$

$\color{Maroon}{csc \alpha={5\over4}}$

07. Demostrar as seguintes igualdades trigonométricas.

Na demonstração das igualdades devemos encontrar uma forma de mostrar que a igualdade é verdadeira. Vamos ver como é que se faz isso.

a)$\color{NavyBlue}{\left[{{(1 – sen\alpha)}\over {cos\alpha}}\right] = \left[{{cos\alpha}\over{(1 + sen\alpha)}}\right]}$;

Aqui temos uma proporção, onde o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Vamos ver no que isso resulta.

${(1-sen\alpha)}\cdot{(1+sen\alpha)} = {cos\alpha\cdot cos\alpha}$

${1 – sen\alpha + sen\alpha – sen^2\alpha} = cos^2\alpha$

${1 – sen^2\alpha} = cos^2\alpha$

$ 1 = sen^2\alpha + cos^2\alpha$

Recaímos na relação fundamental da trigonometria e podemos dizer que $ 1 = 1$. Fica demonstrada a validade da igualdade.

b) $\left[{{(sen\alpha + ctg\alpha)}\over{(tg\alpha + cosec\alpha)}}\right] = cos\alpha$;

$\left[{{\left({sen\alpha\over 1} + {cos\alpha\over sen\alpha}\right)}\over{\left({sen\alpha\over cos\alpha}+{1\over sen\alpha}\right)}}\right] = cos\alpha$

$\left[{\left({{sen^2\alpha +cos\alpha}\over sen\alpha}\right)}\over{\left({sen^2\alpha + cos\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}\right)}\right] = cos\alpha$

Efetuando a divisão

$\left({{sen^2\alpha + cos\alpha}\over sen\alpha}\right)\cdot\left({{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen^2\alpha + cos\alpha}}\right) = cos\alpha$

Simplificando fica:

$\color{Maroon}{cos\alpha = cos\alpha}$

c)$\color{NavyBlue}{{tg\alpha + ctg\alpha} = sec\alpha\cdot csec\alpha}$;

Substituindo por expressões equivalentes, fica:

$\left({{sen\alpha\over cos\alpha} + {cos\alpha\over sen\alpha}}\right) = \left({{1\over cos\alpha}\cdot{1\over sen\alpha}}\right)$

Reduzindo o primeiro membro ao mesmo denominador:

$\left({{sen^2\alpha + cos^2\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right) = \left({1\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)$

Multiplicando os meios da proporção:

${sen^2\alpha + cos^2\alpha} = \left({{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)$

$\color{Maroon}{sen^2\alpha + cos\alpha = 1}$

d)$\color{navy}{cos^2\alpha = sen^2\alpha\cdot cos^2\alpha + cos^4\alpha}$

Fatorando o segundo membro, temos:

$cos^2\alpha = cos^2\alpha\cdot{sen^2\alpha + cos^2\alpha}$

Cancelando os fatores comuns entre os dois membros:

$\color{Maroon}{1 = sen^2\alpha + cos^2\alpha}$

08. Faça a demonstração das igualdades trigonométricas:

a)$\color{NavyBlue}{{2tg x\left({{1 + cos x}\over2}\right)} = {sen x + tg x}}$

Simplificando os fatores comuns entre numerador e denominador, depois substituindo $tg x = {sen x\over cos x}$

${\not{2}\cdot tg x\left({{1 + cos x}\over\not{2}}\right)}=sen x + tg x$

${\left({sen x\over cos x}\right)\cdot{(1 + cos x)}} = sen x + {(sen x\over cos x)}$

${\left({sen x\over cos x} + {{sen x\cdot cos x}\over cosx}\right)} = {\left({sen x\cdot cos x + sen x}\over cos x\right)}$

$\color{Maroon}{tg x + sen x = sen x + tg x}$

b)$\color{NavyBlue}{\left[{\left({tg\alpha + tg\beta}\right)\over\underbrace{\left({ctg\alpha + ctg\beta}\right)}}\right]=\overbrace{{tg\alpha\cdot tg\beta}}}$

Trocando de posição as expressões assinaladas fica:

$\left[{\left({tg\alpha + tg\beta}\right)\over{\left(tg\alpha\cdot tg\beta\right)}}\right] = \left({ctg\alpha + ctg\beta}\right)$

Separando em duas frações com mesmo denominador:

$\left[{\left({tg\alpha\over{tg\alpha\cdot tg\beta}}\right) +\left({tg\beta\over{tg\alpha\cdot tg\beta}}\right)}\right] =\left({ctg\alpha + ctg\beta}\right)$

$\color{maroon}{ctg\beta + ctg\alpha = ctg\alpha + ctg\beta}$

09. Demonstrar as seguintes igualdades trigonométricas

a)$\color{navy}{sec^2\alpha + csc^2\alpha = sec^2\alpha\cdot csc^2\alpha}$

$\left({{1\over cos^2\alpha} + 1\over sen²\alpha}\right) = \left({{1\over cos^2\alpha}\cdot{1\over sen^2\alpha}}\right)$

Reduzindo ao mesmo denominador:

$\left({{sen^2\alpha + cos^2\alpha}\over{cos^2\alpha\cdot sen^2\alpha}}\right) =\left({1\over{cos^2\alpha\cdot sen^2\alpha}}\right)$

Cancelando os denominadores iguais;

$\color{Maroon}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

b)$\color{NavyBlue}{\left[{{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen^2\alpha – cos^2\alpha}}\right] = \left[{{tg\alpha}\over{tg^2\alpha -1}}\right]}$

$ \left[{{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen^2\alpha – cos^2\alpha}}\right] = \left[{{\left(sen\alpha\over cos\alpha\right)}\over\left({{sen^2\alpha\over cos^2\alpha}-1}\right)}\right]$

$\left[{{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen^2\alpha – cos^2\alpha}}\right]=\left[{{\left(sen\alpha\over cos\alpha\right)}\over\left({{sen^2\alpha – cos^2\alpha}\over cos^2\alpha}\right)}\right]$

$\left[{{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen^2\alpha – cos2\alpha}}\right]= \left[{{sen\alpha\cdot cos^2\alpha}\over{cos\alpha\cdot\left({sen^2\alpha – cos^2\alpha}\right)}}\right]$

Simplificando os fatores comuns e cancelando os denominadores iguais, ficamos com:

$\color{Maroon}{sen\alpha\cdot cos\alpha = sen\alpha\cdot cos\alpha}$

c)$\color{navy}{{\left(sec\alpha – tg\alpha\right)^2}=\left({{1 – sen\alpha}\over{1 + sen\alpha}}\right)}$

$\left({{1\over cos\alpha} – {sen\alpha\over cos\alpha}}\right)^2 =\left({{1 – sen\alpha}\over{1 + sen\alpha}}\right)$

$\left[{\left({1 – sen\alpha}\right)^2\over cos^2\alpha}\right]= \left({{1 – sen\alpha}\over{1 + sen\alpha}}\right)$

Cancelando o fator comum entre os dois membros:

$\left({{1 – sen\alpha}\over{cos^2\alpha}}\right)= \left({1\over{1 + sen\alpha}}\right)$

Multiplicando os meios e os extremos entre si:

${(1 – sen\alpha)}{(1 + sen\alpha)} = cos^2\alpha$

${1 – sen^2\alpha = cos^2\alpha}$$\Leftrightarrow$$1 = sen^2\alpha + cos^2\alpha$

$\color{Maroon}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

10. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas.

a)$\color{navy}{sen\alpha + cos\alpha = \left({{1 + tg\alpha}\over sec\alpha}\right)}$

$sen\alpha + cos\alpha = \left({{{1 + {sen\alpha\over cos\alpha}}\over{1\over cos\alpha}}}\right)$=$\left({{{cos\alpha + sen\alpha}\over cos\alpha}}\cdot{cos\alpha\over 1}\right)$

Simplificando os fatores comuns entre numerador e denominador.

$\color{Maroon}{sen\alpha\cdot cos\alpha = cos\alpha\cdot sen\alpha}$

b)$\color{NavyBlue}{\left({{cos\alpha + tg\alpha}\over{cos\alpha\cdot tg\alpha}}\right)= \left({ctg\alpha + sec\alpha}\right)}$

$\left[{{cos\alpha +\left({sen\alpha\over cos\alpha}\right)}\over{cos\alpha\cdot\left({sen\alpha\over cos\alpha}\right)}}\right]=\left({ctg\alpha + sec\alpha}\right)$

$\left[{{{cos^2\alpha + sen\alpha\cdot cos\alpha}\over cos\alpha}\over{{cos\alpha\cdot sen\alpha}\over cos\alpha}}\right] = \left({ctg\alpha + sec\alpha}\right)$

$\left[{\left({{cos^2\alpha + sen\alpha\cdot cos\alpha}\over cos\alpha}\right)\cdot\left({cos\alpha\over{cos\alpha\cdot sen\alpha}}\right)}\right] = \left({ctg\alpha + sec\alpha}\right)$

Cancelando fatores comuns entre numerador e denominador.

$\left[{{cos^2\alpha\over{cos\alpha\cdot sen\alpha}} + {sen\alpha\over{cos\alpha\cdot sen\alpha}}}\right] = \left({ctg\alpha + sec\alpha}\right)$

$\left[{{cos\alpha\over sen\alpha} + {1\over cos\alpha}}\right]=\left({ctg\alpha + sec\alpha}\right)$

$\color{Maroon}{ctg\alpha + sec\alpha = ctg\alpha + sec\alpha}$

c)$\color{NavyBlue}{\left({2sen\alpha\over {tg(2\alpha)}}\right)= cos\alpha – \left({sen^2\alpha\over cos\alpha}\right)}$

Sabemos que $tg(2\alpha) = {2\over{ctg\alpha – tg\alpha}}$

$\left[{2sen\alpha\over{2\over{ctg\alpha – tg\alpha}}}\right]=cos\alpha – \left({sen^2\alpha\over cos\alpha}\right)$

$\left[{\not{2}sen\alpha\cdot\left({ctg\alpha – tg\alpha}\right)\over \not{2}}\right]=cos\alpha – \left({sen²\alpha\over cos\alpha}\right) $

$\left[{sen\alpha\cdot\left({{cos\alpha\over sen\alpha} – {sen\alpha\over cos\alpha}}\right)}\right]=cos\alpha – \left({sen^2\alpha\over cos\alpha}\right) $

$\color{Maroon}{cos\alpha – {sen^2\alpha\over cos\alpha}=cos\alpha – {sen^2\alpha\over cos\alpha}}$

11. Demonstrar as seguintes igualdades trigonométricas.

a)$\color{NavyBlue}{{1 + sen\alpha\cdot tg\alpha}= \left({{sen\alpha + ctg\alpha}\over{ctg\alpha}}\right)}$

${1 + sen\alpha\cdot\left({sen\alpha\over cos\alpha}\right)} = \left[{{sen\alpha +\left({cos\alpha\over sen\alpha}\right)}\over\left({cos\alpha\over sen\alpha}\right)}\right]$

$\left({{cos\alpha + sen^2\alpha}\over cos\alpha}\right)=\left[{\left({{sen^2\alpha + cos\alpha}\over sen\alpha}\right)\over\left({cos\alpha\over sen\alpha}\right)}\right]$

$\left({{cos\alpha + sen^2\alpha}\over cos\alpha}\right)=\left[{\left({{sen^2\alpha + cos\alpha}\over sen\alpha}\right)\cdot\left({sen\alpha\over cos\alpha}\right)}\right]$

Simplificando os fatores comuns, ficamos com:

$\color{Maroon}{cos\alpha + sen^2\alpha = sen^2\alpha + cos\alpha}$

b)$\color{NavyBlue}{tg\alpha + ctg\alpha = \left({1\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)}$

$\left({{sen\alpha\over cos\alpha} + {cos\alpha\over sen\alpha}}\right) = \left({1\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)$

$\left({{sen^2\alpha + cos^2\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)=\left({1\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)$

Cancelando os denominadores iguais, obtemos a relação fundamental da trigonometria.

$\color{Maroon}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

c)$\color{NavyBlue}{\left({sen\alpha + cos\alpha}\right)^2 +\left({sen\alpha – cos\alpha}\right)^2 =2}$

$\left({sen^2\alpha + 2\cdot sen\alpha\cdot cos\alpha + cos^2\alpha}\right) + \left({sen^2\alpha – 2\cdot sen\alpha\cdot cos\alpha + cos^2\alpha}\right) = 2$

Reduzindo os termos semelhantes:

$2\cdot sen^2\alpha + 2\cdot cos^2\alpha = 2$$\Leftrightarrow$$2{sen^2\alpha + cos^2\alpha} = 2$

Dividindo ambos os membros por $2$;

$\color{Maroon}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

12. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que $ sen\alpha={3\over5} $ e $0^{0}<\alpha<90^{0}$, isto é pertence ao primeiro quadrante.

Começaremos por determinar o cosseno desse ângulo, mediante o uso da relação fundamental.

$\color{NavyBlue}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

$\left({3\over 5}\right)^2 + cos^2\alpha = 1$$\Leftrightarrow$$cos^2\alpha = {1 – {9\over {25}}}$

$cos^2\alpha ={{{25} – 9}\over{25}}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{cos^2\alpha}=\sqrt{{16}\over{25}}$

$\color{Maroon}{cos\alpha = {4\over5}}$

Agora temos os valores de seno e cosseno, o que nos permite calcular as demais razões do ângulo.

$\color{NavyBlue}{tg\alpha = {sen\alpha\over cos\alpha}}$

$tg\alpha = \left[{\left({3\over5}\right)\over\left({4\over5}\right)}\right]$

$tg\alpha = \left({3\over\not{5}}\right)\cdot\left({\not{5}\over4}\right)$

$\color{Maroon}{tg\alpha = {3\over4}}$

$\color{NavyBlue}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$sec\alpha = {1\over{4\over5}}$=${5\over4}$

$\color{Maroon}{sec\alpha = {5\over4}}$

$\color{NavyBlue}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$csc\alpha = {1\over{3\over5}}$=${5\over3}$

$\color{Maroon}{csc\alpha ={5\over3}}$

13. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que o $cos\alpha=5\over 13}$ e $ \alpha$ pertence ao primeiro quadrante.

Aqui seguiremos os mesmos passos do exercício anterior.

$\color{NavyBlue}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

$sen^2\alpha +\left({5\over{13}}\right)^2 = 1$$\Leftrightarrow$$sen^2\alpha + {{25}\over {169}} = 1$

$sen^2\alpha = 1 -{{25}\over{169}}$$\Leftrightarrow$$sen^2\alpha = {{{169} – {25}}\over{169}}$

$\sqrt{sen^2\alpha} = \sqrt{{144}\over{169}}$=${{12}\over{13}}$

$\color{Maroon}{sen\alpha = {{12}\over{13}}}$

$\color{NavyBlue}{tg\alpha = \left({sen\alpha\over cos\alpha}\right)}$

$tg\alpha = \left[{\left({{12}\over{13}}\right)\over\left({5\over{13}}\right)}\right]$

$tg\alpha = \left({{12}\over{13}}\right)\cdot\left({{13}\over5}\right)$=${{12}\over5}$

$\color{Maroon}{tg\alpha = {{12}\over5}}$

$\color{NavyBlue}{ctg\alpha = {cos\alpha\over sen\alpha}}$

$ctg\alpha = \left[{\left({5\over{13}}\right)\over\left({{12}\over{13}}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha = \left({5\over{13}}\right)\cdot\left({{13}\over{12}}\right)$

$\color{Maroon}{ctg\alpha = {5\over{12}}}$

$\color{NavyBlue}{sec\alpha ={1\cos\alpha}}$

$sec\alpha = \left[{1\over\left({5\over{13}}\right)}\right]$=${{13}\over5}$

$\color{Maroon}{sec\alpha = {{13}\over5}}$

$\color{NavyBlue}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$csc\alpha = \left[{1\over\left({{12}\over{13}}\right)}\right]$=${{13}\over{12}}$

$\color{Maroon}{csc\alpha = {{13}\over{12}}}$

14. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que $ tg\alpha={4\over 3}$ e $\alpha$ pertence ao primeiro quadrante.

Temos que: $\color{NavyBlue}{tg\alpha = {sen\alpha\over cos\alpha}}$

Logo: ${sen\alpha\over cos\alpha} = {4\over3}$$\Leftrightarrow$$sen\alpha = {4\over3}\cdot cos\alpha$

Substituindo na relação fundamental:

$sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1$$\Leftrightarrow$$\left({{4\over3}\cdot cos\alpha}\right)^2 + cos^2\alpha = 1$

$\left({{16}\over 9}\right)\cdot cos^2\alpha + cos^2\alpha = 1$$\Leftrightarrow$$\left({{16 + 9}\over 9}\right)\cdot cos^2\alpha = 1$

$cos^2\alpha = {9\over{25}}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{cos^2\alpha}=\sqrt{9\over{25}}$

$\color{Maroon}{cos\alpha = {3\over5}}$

Se $sen\alpha = {4\over3}\cdot cos\alpha$$\Leftrightarrow$$sen\alpha = \left({4\over\not{3}}\right)\cdot\left({\not{3}\over5}\right)$

$\color{Maroon}{sen\alpha = {4\over 5}}$

$\color{NavyBlue}{ctg\alpha = {1\over tg\alpha}}$

$ctg\alpha = \left[{1\over\left({4\over3}\right)}\right]$=${3\over4}$

$\color{Maroon}{ctg\alpha = {3\over4}}$

$\color{NavyBlue}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$sec\alpha = \left[{1\over\left({4\over5}\right)}\right]$=${5\over4}$

$\color{Maroon}{sec\alpha = {5\over4}}$

$\color{NavyBlue}{csc\alpha ={1\over sen\alpha}}$

$csc\alpha =\left[{1\over\left({3\over5}\right)}\right]$=${5\over3}$

$\color{Maroon}{csc\alpha = {5\over3}}$

15. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que o $ cos\alpha={4\over5}$ e $0^{0}< \alpha<90^{0}$, isto é, pertence ao primeiro quadrante.

$\color{NavyBlue}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

$sen^2\alpha +\left({4\over5}\right)^2 = 1$$\Leftrightarrow$$sen^2\alpha + {{16}\over{25}} = 1$

$sen^2\alpha = {1 – {{16}\over{25}}}$$\Leftrightarrow$$sen^2\alpha = \left({{{25} – {16}}\over{25}}\right)$=${9\over{25}}$

$\sqrt{sen^2\alpha} = \sqrt{9\over{25}}$=${3\over5}$

$\color{Maroon}{sen\alpha = {3\over5}}$

$\color{NavyBlue}{tg\alpha={sen\alpha\over cos\alpha}}$

$tg\alpha = \left[{\left({3\over5}\right)\over\left({4\over5}\right)}\right]$

$tg\alpha = \left({3\over\not{5}}\right)\cdot\left({\not{5}\over4}\right)$

$\color{Maroon}{tg\alpha = {3\over4}}$

$\color{NavyBlue}{ctg\alpha = {cos\alpha\over sen\alpha}}$

$ctg\alpha =\left[{\left({4\over5}\right)\over\left({3\over5}\right)}\right]$

$ctg\alpha = \left({4\over\not{5}}\right)\cdot\left({\not{5}\over3}\right)$

$\color{Maroon}{ctg\alpha = {4\over3}}$

$\color{NavyBlue}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$sec\alpha = \left[{1\over\left({4\over5}\right)}\right]$=${5\over4}$

$\color{Maroon}{sec\alpha = {5\over4}}$

$\color{NavyBlue}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$csc\alpha = \left[{1\over\left({3\over5}\right)}\right]$=${5\over3}$

$\color{Maroon}{csc\alpha={5\over3}}$

Se persistirem algumas dúvidas, não hesite em pedir ajuda. Estou sempre pronto para isso. Se momentaneamente não puder atender, farei isso tão logo seja possível. Obrigado pela consulta.

Curitiba, 08 de janeiro de 2020

Décio Adams

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Publicado em

Matemática – Geometria plana – Trigonometria. (Exercícios).

Tabela resumo das relações trigonométricas

Lista das principais relações trigonométricas
$\color{blue}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$
$\color{blue}{tg\alpha = {{sen\alpha}\over cos\alpha}}$
$\color{blue}{ctg\alpha = {{cos\alpha}\over sen\alpha}}$
$\color{blue}{ctg\alpha = {1\over tg\alpha}}$
$\color{blue}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$
$\color{blue}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$
$ \color{blue}{csc\alpha = \sqrt{1 + ctg^2\alpha}}$
$ \color{blue}{sec\alpha = \sqrt{1 + tg^2\alpha}}$
$ \color{blue}{cos\alpha = {(1 + tg^2\alpha)}^{-{1\over2}}}$
$ \color{blue}{sen\alpha = {(1 + ctg²\alpha)}^{-{1\over2}}}$
$ \color{blue}{{a\over sen\alpha} = {b\over sen\beta} = {c\over sen\gamma} = 2r}$
$ \color{blue}{a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cdot cos\alpha}$
$ \color{blue}{b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cdot cos\beta}$
$ \color{blue}{c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cdot cos\gamma}$
$ \color{blue}{sen{(\alpha\pm\beta)} = sen\alpha\cdot cos\beta \pm sen\beta\cdot cos\alpha}$
$ \color{blue}{cos{(\alpha\pm\beta)} = cos\alpha\cdot} cos\beta\mp sen\alpha\cdot sen\beta$
$ \color{blue}{tg{(\alpha\pm\beta)}={{1\pm tg\beta\cdot ctg\alpha}\over{ctg\alpha\mp tg\beta}}}$
$ \color{blue}{ctg{(\alpha\pm\beta)} = {{ctg\alpha\mp tg\beta}\over{1\pm tg\beta\cdot ctg\alpha}}}$
$\color{blue}{sec{(\alpha\pm\beta)} = {1\over{cos\alpha\cdot cos\beta\mp sen\beta\cdot sen\alpha}}}$
$\color{blue}{csc{(\alpha\pm\beta)} = {1\over{sen\alpha\cdot cos\beta\pm sen\beta\cdot cos\alpha}}}$
$ \color{blue}{sen{(2\alpha)} = 2\cdot sen\alpha\cdot cos\alpha}$
$ \color{blue}{cos{(2\alpha)} = cos^2\alpha – sen^2\alpha}$
$ \color{blue}{tg{(2\alpha)} = {2\over{ctg\alpha – tg\alpha}}}$
$ \color{blue}{ctg{(2\alpha)} = {{ctg\alpha – tg\alpha}\over 2}}$
$ \color{blue}{csc{(2\alpha)} = {(2sen\alpha\cdot cos\alpha)}^{-{1\over 2}}}$
$ \color{blue}{sec{(2\alpha)} = {(cos^2\alpha – sen^2\alpha)}^{-{1\over 2}}}$

Vamos exercitar.

01. Um dos ângulos agudos de um triângulo tem como $sen\alpha = {\sqrt{5}\over 4}$. Determine: a) o cosseno desse ângulo; b) a tangente e cotangente desse ângulo; c) a secante e cossecante desse ângulo.

a) A relação fundamental nos diz que:

$\color{navy}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

Se $sen\alpha = {\sqrt{5}\over 4}$, teremos:

${\left(\sqrt{5}\over4\right)}^2 + cos^2\alpha = 1$$\Leftrightarrow$$ {5\over{16}} + cos^2\alpha = 1$

$cos^2\alpha = 1 – {5\over{16}}$$\Leftrightarrow$$cos^2\alpha = {{16 – 5}\over {16}}$

$\sqrt{cos^2\alpha} =\sqrt{{11}\over{16}}$$\Leftrightarrow$$cos\alpha = {\sqrt{11}\over\sqrt{16}}$

$\color{maroon}{cos\alpha = {\sqrt{11}\over 4}}$

b) dispondo do seno e cosseno, podemos facilmente determinar a tangente e cotangente.

$\color{navy}{tg\alpha = {sen\alpha\over cos\alpha}}$

$tg\alpha = \left[\left({\sqrt{5}\over 4}\right)\over\left({\sqrt{11}\over 4}\right)\right]$$\Leftrightarrow$$tg\alpha = {\left(\sqrt{5}\over 4\right)}\cdot{\left(4\over \sqrt{11}\right)}$

$tg\alpha = {{\sqrt{5}}\over{\sqrt{11}}}$$\Leftrightarrow$$tg\alpha = \left({{\sqrt{5}\cdot\sqrt{11}}\over{\sqrt{11}}^2}\right)$

$\color{maroon}{ta\alpha = {\sqrt{55}\over{11}}}$

$\color{navy}{ctg\alpha = {cos\alpha\over sen\alpha}}$

$ctg\alpha = \left[{\left({\sqrt{11}\over 4}\right)\over\left({\sqrt{5}\over 4}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha = \left[{\left(\sqrt{11}\over 4\right)}\cdot\left({4\over\sqrt{5}}\right)\right]$

$ctg\alpha = \left[{\sqrt{11}\over\sqrt{5}}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha = \left[\left({\sqrt{11}\cdot\sqrt{5}}\right)\over\left({\sqrt{5}}^2\right)\right]$

$\color{maroon}{ctg\alpha = {\sqrt{55}\over 5}}$

c) faltam apenas a secante e cossecante. Isso é fácil.

$\color{navy}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$csc\alpha = \left[{1\over{\left(\sqrt{5}\over 4\right)}}\right]$

$csc\alpha = \left[{\left(4\over\sqrt{5}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$csc\alpha = \left[{\left(4\cdot\sqrt{5}\right)\over{\sqrt{5}^2}}\right]$

$\color{maroon}{csc\alpha = {4\cdot\sqrt{5}\over 5}}$

$\color{navy}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$sec\alpha = \left[{1\over\left({\sqrt{11}\over 4}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\alpha = \left[{\left(4\over\sqrt{11}\right)}\right]$

$sec\alpha = \left[{\left(4\cdot\sqrt{11}\right)\over{\sqrt{11}^2}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\alpha = {4\cdot\sqrt{11}\over 11}$

$\color{maroon}{sec\alpha = {4\cdot\sqrt{11}\over 11}}$

02. Se a $tg\beta = \frac{\sqrt{5}}{5}$, determine a cotangente, a secante e cossecante.

$\color{BlueViolet}{ctg\beta = \frac{1}{tg\beta}}$

$ctg\beta = \left[\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\beta = \left[\frac{5}{sqrt{5}}\right]$

$ctg\beta = \left[\left(\frac{5\cdot\sqrt{5}}\right){\sqrt{5}^2}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\beta = \left[\frac{5\cdot \sqrt{5}}{5}\right]$

$\color{Bittersweet}{ctg\beta = \sqrt{5}}$

$\color{navy}{sec\beta = \sqrt{1 + tg^2\beta}}$

$sec\beta =\left[ \sqrt{1 + {\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta =\left[\sqrt {1 + \left\(\frac{5}\over{25}\right)}\right]$

$sec\beta = \left[\sqrt{\left({{25} + 5}\right)\over {25}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta =\left[\sqrt {{30}\over{25}}\right]$

$\color{Bittersweet}{sec\beta = \frac{\sqrt{30}}{5}}$

$\color{navy}{csc\beta = \sqrt{1 + ctg^2\beta}}$

$csc\beta = \left[\sqrt{1 + \sqrt{5}^2}\right]$$\Leftrightarrow$$csc\beta = \sqrt{1 + 5}$

$\color{Bittersweet}{csc\beta = \sqrt{6}}$

03. Considerando $sen\alpha = {1\over2}$ e $sen\beta = {\sqrt{2}\over2}$, determine: a) $sen{(\alpha + \beta)}$; b) $cos{(\alpha + \beta)}$; c) $tg{(\alpha + \beta)}$; d) $ctg{(\alpha + \beta)}$; e) $sec{(\alpha + \beta)}$; f) $csc{(\alpha + \beta)}$

a) seno de ${(\alpha + \beta)}$

$\color{navy}{sen{(\alpha + \beta)} = {sen\alpha\cdot cos\beta + sen\beta\cdot cos\alpha}}$

Temos que determinar primeiramente o cosseno dos dois ângulos, aplicando a relação fundamental, além da tangente e cotangente.

$\color{navy}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

$({1\over2})^2 + cos^2\alpha + 1$

${1\over 4} + cos^2\alpha = 1$$\Leftrightarrow$$cos^2\alpha = 1 – {1\over4}$

$cos^2\alpha = {{4 – 1}\over 4}$$\Leftrightarrow$${cos^2\alpha} = {3\over 4}$

$\sqrt{cos^2\alpha} = \sqrt{3\over4}$

$\color{maroon}{cos\alpha = {\sqrt{3}\over 2}}$

$\color{BlueViolet}{sen^2\beta + cos^2\beta = 1}$

$ \left({\sqrt{2}\over 2}\right)^2 + cos^2\beta = 1$$\Leftrightarrow$$ {\not{2}^1\over \not{4}^2} + cos^2\beta = 1$

$cos^2\beta = 1 – {1\over2} = {{2 – 1}\over 2}$

$cos^2\beta = {1\over 2}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{cos^2\beta} = \sqrt{1\over{2}}$

$cos\beta = {1\over\sqrt{2}} = {{1\cdot\sqrt{2}}\over{\sqrt{2}}^2}$

$\color{maroon}{cos\beta = {\sqrt{2}\over2}}$

$\color{navy}{tg\alpha = {{sen\alpha}\over{cos\alpha}}}$

$tg\alpha = \left({{1\over 2}\over{\sqrt{3}\over 2}}\right)$$\Leftrightarrow$$tg\alpha = \left({{1\over 2}\cdot{2\over\sqrt{3}}}\right)$=${1\cdot\sqrt{3}\over\sqrt{3}^2}$

$\color{maroon}{tg\alpha = {\sqrt{3}\over 3}}$

$\color{navy}{ctg\alpha = {1\over tg\alpha}}$

$ctg\alpha = \left({1 \over{\sqrt{3}\over 3}}\right)$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha = {3\over\sqrt{3}} = {3\sqrt{3}\over{\sqrt{3}^2}}$

$\color{maroon}{ctg\alpha = \sqrt{3}}$

$\color{navy}{tg\beta = {sen\beta\over cos\beta}}$

$tg\beta =\left[{\left({\sqrt{2}\over 2}\right)\over\left({\sqrt{2}\over2}\right)}\right]$

$tg\beta = \left[{\left({\not{\sqrt{2}}^1\over\not{2}^1}\right)\cdot{\left({\not{2}^1\over\not{\sqrt{2}}^1}\right)}}\right]$

$\color{maroon}{tg\beta = 1}$

$\color{navy}{ctg\beta = {1\over tg\beta}}$

$ctg\beta = {1\over 1} = 1$

$\color{maroon}{ctg\beta = 1}$

$\color{blue}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$ csc\alpha = {1\over {1\over 2}}$

$\color{maroon}{csc\alpha = 2}$

$\color{blue}{csc\beta = {1\over{sen\beta}}}$

$ csc\beta = {1 \over{\sqrt{2}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$csc\beta = {2\over\sqrt{2}}$

$csc\beta = {2\sqrt{2}\over\sqrt{2}^2}$$\Leftrightarrow$$csc\beta = {2\sqrt{2}\over 2}$

$\color{maroon}{csc\beta = \sqrt{2}}$

$\color{blue}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$sec\alpha = {1\over{\sqrt{3}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$sec\alpha = {2\over\sqrt{3}}$

$sec\alpha = {2\cdot\sqrt{3}\over \sqrt{3}^2}$$\Leftrightarrow$$sec\alpha ={2\sqrt{3}\over 3}$

$\color{maroon}{sec\alpha = {2\cdot\sqrt{3}\over 3}}$

$\color{blue}{sec\beta = {1\over cos\beta}}$

$sec\beta = {1\over{\sqrt{2}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$sec\beta = {2\over \sqrt{2}}$

$sec\beta = {2\cdot \sqrt{2}\over\sqrt{2}^2}$$\Leftrightarrow$$sec\beta = {2\sqrt{2}\over 2}$

$\color{maroon}{sec\beta = \sqrt{2}}$

$sen{(\alpha + \beta)} = {{1\over2}\cdot{\sqrt{2}\over 2}} + {{\sqrt{2}\over 2}\cdot {\sqrt{3}\over2}}$

$sen{(\alpha + \beta)} = {\sqrt{2}\over 4} + {\sqrt{6}\over 4}$

$\color{maroon}{sen{(\alpha + \beta)} = {{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}}$

b) cosseno de ${(\alpha + \beta)}$

$cos{(\alpha + \beta)} = {{\sqrt{3}\over 2}\cdot {\sqrt{2}\over 2} – {{1\over2}\cdot {\sqrt{2}\over 2}}}$

$cos{(\alpha + \beta)} = {{\sqrt{6}\over 4} – {\sqrt{2}\over 4}}$

$\color{maroon}{cos{(\alpha + \beta)} = {{\sqrt{6} – \sqrt{2}}\over4}}$

c) tangente de ${(\alpha + \beta)}$

$ \color{marine}{tg{(\alpha\pm\beta)}={{1\pm tg\beta\cdot ctg\alpha}\over{ctg\alpha\mp tg\beta}}}$

$tg{(\alpha + \beta)} = {{1 + {1\cdot\sqrt{3}}}\over{{\sqrt{3} – 1}}}$

$tg{(\alpha + \beta)} =\left[{\left({{1 + \sqrt{3}}}\right)\over\left({\sqrt{3} -1}\right)}\right]$

Racionalizando o denominador:

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{\left({\sqrt{3} + 1}\right)\over\left({\sqrt{3} – 1}\right)}\right]\cdot\left[{\left({\sqrt{3} + 1}\right)\over\left({\sqrt{3} + 1}\right)}\right]$

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{\left({\sqrt{3}^2 + 2\sqrt{3} + 1}\right)\over\left({\sqrt{3}^2 – 1^2}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{\left({3 + 2\sqrt{3} + 1}\right)\over\left({3 – 1}\right)}\right]$

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{{2\sqrt{3} + 4}\over{2}}\right]$

$\color{maroon}{tg{(\alpha + \beta)} = {\sqrt{3} + 2}}$

d) cotangente de ${(\alpha + \beta)}$

$\color{navy}{ctg{(\alpha + \beta)}= \left({{ctg\alpha – tg\beta}\over{1 + tg\beta\cdot ctg\alpha}}\right)}$

$ctg{(\alpha + \beta)} =\left[{\left({\sqrt{3} – 1}\right)\over{1 + \left({1\cdot\sqrt{3}}\right)}}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg{(\alpha + \beta)} = \left[{{(\sqrt{3} – 1)}\cdot{(\sqrt{3} – 1)}\over{(\sqrt{3} + 1)}\cdot {(\sqrt{3} – 1)}}\right]$

$ctg{(\alpha + beta)} = \left[{{(\sqrt{3} – 1)}^2\over{(\sqrt{3}^2 – 1^2)}}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg{(\alpha + \beta)} = \left[{
{(3 – 2\sqrt{3} +1)}\over 2}\right]$

$ctg{(\alpha + \beta)} = \left({{4 – 2\sqrt{3}}\over 2}\right) = {2 -\sqrt{3}}$

$\color{maroon}{ctg{(\alpha + \beta)} = {2 – \sqrt{3}}}$

e)secante ${(\alpha + \beta)}$

$\color{navy}{sec{(\alpha + \beta)} = \left[{{1} \over\left({{cos\alpha\cdot cos\beta} – {sen\alpha\cdot sen\beta}}\right)}\right]}$

$sec{(\alpha + \beta)} = \left[{{1}\over\left({{{\sqrt{3}\over 2}\cdot{\sqrt{2}\over 2}} – {{1\over 2}\cdot {\sqrt{2}\over 2}}}\right)}\right]= \left[{{1}\over\left({{\sqrt{6}\over 4} – {\sqrt{2}\over 4}}\right)}\right]$*

$sec{(\alpha + \beta)} = \left({{4}\over{\sqrt{6} – \sqrt{2}}}\right)$=$\left[{{4\cdot\left({\sqrt{6} + \sqrt{2}}\right)}\over{\left({\sqrt{6} – \sqrt{2}}\right)}\cdot\left({\sqrt{6} + \sqrt{2}}\right)}\right]$

$sec{(\alpha + \beta)} = \left[{{4\cdot\left({\sqrt{6} + \sqrt{2}}\right)}\over\left({6 – 2}\right)}\right] = \left[{{4\cdot\left({\sqrt{6} + \sqrt{2}}\right)}\over 4}\right]$

$\color{maroon}{sec{(\alpha + \beta)} = {\sqrt{6} + \sqrt{2}}}$

f) cossecante de ${(\alpha + \beta)}$

$\color{navy}{csc{(\alpha + \beta)} = \left({{1}\over{{sen\alpha\cdot cos\beta} + {sen\beta\cdot cos\alpha}}}\right)}$

$csc{(\alpha + \beta)} = \left[{{1}\over\left({{1\over 2}\cdot {\sqrt{2}\over 2} + {\sqrt{2}\over 2}\cdot{\sqrt{3}\over 2}}\right)}\right]$=$\left[{{1}\over\left({{\sqrt{2}\over 4} + {\sqrt{6}\over 4}}\right)}\right]$

$csc{(\alpha + \beta)} = \left[{{1}\over\left({{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}\right)}\right]$=$\left[{{4}\over\left({\sqrt{2} + \sqrt{6}}\right)}\right]$

$csc{(\alpha + \beta)} = \left[{{4\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)}\over\left({\sqrt{2} + \sqrt{6}}\right)\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)}\right]$=$\left[{{4\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)}\over\left({2 – 6}\right)}\right]$

$csc{(\alpha + \beta)} = \left[{{4\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)}\over {- 4}}\right]$=$\left[{{\sqrt{2} – \sqrt{6}}\over {-1}}\right]$

$\color{maroon}{csc{(\alpha + \beta)} = {\sqrt{6} – \sqrt{2}}}$

04. Sabe-se que $\color{blue}{cos\alpha ={1\over 2}}$ e $\color{blue}{sen\beta ={\sqrt{2}\over 2}}$. Determine: a) $\color{blue}{sen{(\alpha – \beta)}}$; b) $\color{blue}{cos{(\alpha – \beta)}}$; c) $\color{blue}{tg{(\alpha – beta)}}$; d)$\color{blue}{ctg{(\alpha – beta)}}$; e)$\color{blue}{csc{(\alpha – beta)}}$ e $\color{blue}{sec{(\alpha – beta)}}$.

Novamente começaremos por determinar o seno e o cosseno de $\alpha$ e $\beta$.

Temos que: $\color{brown}{cos\alpha = {1\over 2}}$

$\color{blue}{sen²\alpha + cos²\alpha = 1}$

Substituímos: $sen^2\alpha + {\left(1\over 2\right)}^2 = 1$$\Leftrightarrow$$sen^2\alpha + {1\over 4} = 1$

$sen^2\alpha = {1 – {1\over 4}}$$\Leftrightarrow$$sen^2\alpha = {3\over 4}$

$\sqrt{sen^2\alpha} = \sqrt{3\over 4}$$\Leftrightarrow$$sen\alpha ={\sqrt{3}\over\sqrt{4}}$

$\color{maroon}{sen\alpha = {\sqrt{3}\over 2}}$

Temos também que: $\color{blue}{sen\beta = {\sqrt{2}\over2}}$

Substituindo na relação fundamental: $\color{navy}{sen^2\beta + cos^2\beta = 1}$

$\left({\sqrt{2}\over 2}\right)^2+ cos^2\beta = 1$

$\left({\not{2}^1\over\not{4}^2}\right) + cos^2\beta = 1$$\Leftrightarrow$$cos^2\beta = {1 – {1\over 2}}$

$\sqrt{cos^2\beta} = {\sqrt{1\over 2}}$$\Leftrightarrow$$cos\beta = {\sqrt{1}\over\sqrt{2}}$

$cos\beta = {1\over\sqrt{2}}= {1\cdot\sqrt{2}\over\sqrt{2}^2}$

$\color{maroon}{cos\beta = {\sqrt{2}\over2}}$

Agora podemos determinar:

$\color{blue}{sen{(\alpha – \beta)} = {sen\alpha\cdot cos\beta – sen\beta\cdot cos\alpha}}$

$sen{(\alpha – \beta)}={{\sqrt{3}\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2} – {\sqrt{2}\over 2}\cdot{1\over 2}}$=${{\sqrt{6}\over 4} – {\sqrt{2}\over 4}}$

$\color{maroon}{sen{(\alpha – \beta)} = {{\sqrt{6} -\sqrt{2}}\over 4}}$

b)Também podemos determinar$\color{brown}{cos{(\alpha – \beta)}}$.

$\color{navy}{cos{(\alpha – \beta)} = {{cos\alpha\cdot cos\beta} + {sen\alpha\cdot sen\beta}}}$

$cos{(\alpha – \beta)} = {({1\over2})\cdot({\sqrt{2}\over 2})+({\sqrt{3}\over2})\cdot({\sqrt{2}\over 2})}$=${({\sqrt{2}\over4}) + ({\sqrt{6}\over 4})}$

$\color{maroon}{cos{(\alpha – \beta)} = {{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}}$

c) Vamos determinar $\color{blue}{tg{(\alpha – \beta)}}$

Começaremos por determinar:

$\color{blue}{tg\alpha}$; $\color{blue}{tg\beta}$; $\color{blue}{ctg\alpha}$ e $\color{blue}{ctg\beta}$

$\color{blue}{tg\alpha = {{sen\alpha}\over {cos\alpha}}}$

$tg\alpha = \left[{\left({\sqrt{3}\over 2}\right)\over\left({1\over2}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg\alpha = \left[{\left({\sqrt{3}\over2}\right)\cdot\left({1\over2}\right)}\right]$

$\color{maroon}{tg\alpha = {\sqrt{3}\over 4}}$

$\color{blue}{tg\beta = \left[{\left({sen\beta}\right)\over\left({cos\beta}\right)}\right]}$

$tg\beta =\left[{\left({\sqrt{2}\over 2}\right)\over\left({\sqrt{2}\over2}\right)}\right]$

$\color{maroon}{tg\beta = 1}$

$\color{blue}{ctg\alpha = {cos\alpha\over sen\alpha}}$

$ctg\alpha = \left[{\left({1\over2}\right)\over\left({\sqrt{3}\over2}\right)}\right]$ $\Leftrightarrow$$ ctg\alpha = \left[{\left({1\over 2}\right)\cdot\left({2\over \sqrt{3}}\right)}\right]$

$ctg\alpha = \left[{\left({1\cdot\not{2}}\right)\over\left({\not{2}\cdot\sqrt{3}}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha = {1\over\sqrt{3}} = {{1\cdot\sqrt{3}}\over\sqrt{3}^2}$

$\color{maroon}{ctg\alpha = {\sqrt{3}\over 3}}$

$\color{navy}{ctg\beta ={{cos\beta}\over{sen\beta}}}$

$ctg\beta = \left[{\left({\sqrt{2}\over 2}\right)\over\left({\sqrt{2}\over 2}\right)}\right]$

$\color{maroon}{ctg\beta = 1}$

$\color{blue}{tg{(\alpha – \beta)} = \left[{\left({1 – tg\beta\cdot ctg\alpha}\right)\over\left({ctg\alpha + tg\beta}\right)}\right]}$

$tg{(\alpha – \beta)} =\left[{{1 + \left({1\cdot\sqrt{3}\over 3}\right)}}\over{\left({{\sqrt{3}\over 3} + 1}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg{(\alpha – \beta)} = \left[{{\left({1 + \sqrt{3}}\right)\over3}\over{\left({\sqrt{3}\over3} + 1}\right)}}\right]$

$tg{(\alpha – \beta)}=\left[{\left({{3 + \sqrt{3}}\over\not{3}}\right)\cdot\left({\not{3}\over\sqrt{3}}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg{(\alpha – \beta)} = \left[{{\left({3 +\sqrt{3}}\right)\cdot\sqrt{3}}\over{\sqrt{3} +{3}}}\right]$=$\left[{{3\sqrt{3} +\sqrt{3}^2}\over\sqrt{3}^2}\right]$

$tg{(\alpha – \beta)}=\left[{{3\sqrt{3} + 3}\over 3}\right]={\sqrt{3} + 1}$

$\color{maroon}{tg{(\alpha – \beta)} = {\sqrt{3} + 1}}$

d) Agora a cotangente $\color{blue}{(\alpha – \beta)}$

$ \color{blue}{ctg{(\alpha\pm\beta)} = {{ctg\alpha\mp tg\beta}\over{1\pm tg\beta\cdot ctg\alpha}}}$

$ctg{(\alpha – \beta)}=\left[{\left({{\sqrt{3}\over3} + 1}\right)\over\left({1 – 1\cdot{\sqrt{3}\over3}}\right)}\right]$=$\left[{\left({{\sqrt{3} + 3}\over3}\right)\over\left({{3 -\sqrt{3}}\over3}\right)}\right]$

$ctg{(\alpha -\beta)} = \left[{\left({{\sqrt{3} + 3}\over\not{3}}\right)\cdot\left({\not{3}\over{\sqrt{3} – 3}}\right)}\right]$

$ctg{(\alpha – \beta)}=\left[{({\sqrt{3} +3})\cdot({\sqrt{3} + 3})\over({\sqrt{3}-3})\cdot({\sqrt{3}+3})}\right]$

$ctg{(\alpha-\beta)}=\left[{({\sqrt{3}^2 + 6\cdot\sqrt{3} + 9})\over({\sqrt{3}^2 – 9})}\right]$

$ctg{(\alpha – \beta)} = {{12 + 6\sqrt{3}}\over{3 – 9}}$=${{12 + 6\sqrt{3}}\over{-6}}$

$\color{maroon}{ctg{(\alpha-\beta)} = {\sqrt{3} – 2}}$

e) Vamos à secante $\color{blue}{(\alpha-\beta)}$

$\color{blue}{sec{(\alpha\pm\beta)} = {1\over{cos\alpha\cdot cos\beta\mp sen\beta\cdot sen\alpha}}}$

$sec{(\alpha-\beta)}=\left[{1\over{{1\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2} +{\sqrt{3}\over2}\cdot {\sqrt{2}\over2}}}\right]$=$\left[{1\over{{\sqrt{2}\over4}+{\sqrt{6}\over4}}}\right]$

$sec{(\alpha-\beta)}=\left({4\over{\sqrt{2} + \sqrt{6}}}\right)$=$\left[{4\cdot\left({\sqrt{2}-\sqrt{6}}\right)\over{\left({\sqrt{2} +\sqrt{6}}\right)\cdot\left({\sqrt{2} -\sqrt{6}}\right)}}\right]$

$sec{(\alpha-\beta)}=\left[{4\cdot\left({\sqrt{2} -\sqrt{6}}\right)\over\left({\sqrt{2}^2 – \sqrt{6}^2}\right)}\right]$=$\left[{4\cdot\left({\sqrt{2} -\sqrt{6}}\right)\over{2 – 6}}\right]$

$sec{(\alpha-\beta)}=\left[{\not{4}\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)\over {-\not{4}}}\right]$=${-{\left(\sqrt{2} – \sqrt{6}\right)}}$

$\color{maroon}{sec{(\alpha-\beta)} = {\sqrt{6} – \sqrt{2}}}$

f) é a vez da cossecante $\color{blue}{(\alpha-\beta)}$

$\color{navy}{csc{(\alpha-\beta)}=\left({1\over{sen\alpha\cdot cos\beta – sen\beta\cdot cos\alpha}}\right)}$

$csc{(\alpha-\beta)}=\left[{1\over\left({{\sqrt{3}\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2}}-{{\sqrt{2}\over2}\cdot{1\over2}}\right)}\right]$=$\left[{1\over\left({{\sqrt{6}\over 4} – {\sqrt{2}\over 4}}\right)}\right]$

$csc{(\alpha-\beta)}=\left[{1\over\left({{\sqrt{6} – \sqrt{2}}\over4}\right)}\right]$=$\left[{4\over{\sqrt{6} -\sqrt{2}}}\right]$

$csc{(\alpha-\beta)}=\left[{4\cdot\left({\sqrt{6}+\sqrt{2}}\right)\over\left({\sqrt{6} – \sqrt{2}}\right)\cdot\left({\sqrt{6}+\sqrt{2}}\right)}\right]$

$csc{(\alpha-\beta)}=\left[{4\cdot\left({\sqrt{6}+\sqrt{2}}\right)\over\left({6 – 2}\right)}\right]$=$\left[{4\cdot\left({\sqrt{6} +\sqrt{2}}\right)\over 4}\right]$

$\color{maroon}{csc{(\alpha-\beta)}={\sqrt{6} +\sqrt{2}}}$

05. Sabe-se que um ângulo tem $sen\gamma={\sqrt{6}\over5}$. Determine: a) $sen{2\gamma}$; b)$cos{2\gamma}$; c)$tg{2\gamma}$; d)$ctg{2\gamma}$

a) Seno do ângulo duplo $\color{green}{sen{2\gamma}}$

Precisamos começar determinando o cosseno do ângulo.

$\color{navy}{sen²\gamma + cos²\gamma = 1}$

$({\sqrt{6}\over 5})² + cos²\gamma = 1$$\Leftrightarrow$${6\over25} + cos²\gamma = 1$

$cos²\gamma = 1 – {6\over{25}}= {{25 -6}\over25}$

$\sqrt{cos²\gamma} = {\sqrt{{19}\over{25}}}$

$\color{blue}{cos\gamma = {\sqrt{19}\over5}}$

$\color{navy}{sen{(2\gamma)}= {2\cdot sen\gamma\cdot cos\gamma}}$

$sen{(2\gamma)}={2\cdot \left({\sqrt{6}\over 5}\right)\cdot\left({\sqrt{19}\over 5}\right)}$

$sen{(2\gamma)}= {2\cdot\left({\sqrt{114}\over{25}}\right)}$

$\color{maroon}{sen{(2\gamma)}= {2\sqrt{114}\over25}}$

b)$cos{(2\gamma)}$

$\color{navy}{cos{(2\gamma)}={cos^2\gamma – sen^2\gamma}}$

$cos{(2\gamma)}={\left({\sqrt{19}\over 5}\right)^2 – \left({\sqrt{6}\over 5}\right)^2}$

$cos{(2\gamma)}={{{19}\over{25}} – {6\over{25}}}={{13}\over{25}}$

$\color{maroon}{cos{(2\gamma)}={{13}\over{25}}}$

c)$\color{green}{tg{(2\gamma)}}$

Comecemos por determinar a $\color{red}{tg\gamma}$ e $\color{red}{ctg\gamma}$

$\color{blue}{tg\gamma = {{sen\gamma}\over {cos\gamma}}}$

$tg\gamma = \left[{({\sqrt{6}\over 5})\over({\sqrt{19}\over 5})}\right]$=$\left[{({\sqrt{6}\over \not{5}})\cdot({\not{5}\over\sqrt{19}})}\right]$

$tg{\gamma}=\left[{{\sqrt{6}\cdot\sqrt{19}}\over{\sqrt{19}\cdot\sqrt{19}}}\right]$= ${\sqrt{114}\over{19}}$

$\color{maroon}{tg\gamma = {\sqrt{114}\over{19}}}$

$\color{blue}{ctg\gamma = {1\over tg\gamma}}$

$ctg\gamma = \left[{1\over{\sqrt{114}\over{19}}}\right]$=$\left[{{19}\over\sqrt{114}}\right]$

$ctg\gamma=\left[{({19}\cdot\sqrt{114})\over({\sqrt{114}\cdot\sqrt{114}})}\right]$=$\left[{({{19}\cdot\sqrt{114}})\over{114}}\right]$

$\color{maroon}{ctg{(\gamma)}={\sqrt{114}\over 6}}$

$\color{navy}{tg{(2\gamma)}= {2\over{ctg\gamma – tg\gamma}}}$

$tg{(2\gamma)}=\left[{2\over{\left({\sqrt{114}\over 6}\right)-\left({\sqrt{114}\over{19}}\right)}}\right]$=$\left[{2\over\left({{{19}\sqrt{114} – 6\sqrt{114}}\over{114}}\right)}\right]$

$tg{(2\gamma)}=\left[{({2\cdot{114}})\over({{113}\cdot\sqrt{114}})}\right]$=$\left[{\left(2\cdot{114}\sqrt{114}\right)\over\left({113\sqrt{\left(114\right)}²}\right)}\right]$

$\color{maroon}{tg{(2\gamma)}= {2\sqrt{114}\over {113}}}$

d)$\color{green}{ctg{(2\gamma)}}$

$\color{blue}{ctg{(2\gamma)}={1\over tg{(2\gamma)}}}$

$ctg{(2\gamma)}=\left[{1\over({2\sqrt{114}\over {113}})}\right]$=$\left[{{113}\sqrt{114}\over{2\sqrt{114}^2}}\right]$

$ctg{(2\gamma)}=\left[{{{113}\sqrt{114}}\over 228}\right]$

$\color{maroon}{ctg{(2\gamma)}={{113}\sqrt{114}\over{228}}}$

Exercícios para treinar

01. Se um triângulo isósceles tem o ângulo oposto à base, medindo $\alpha = 60º$, determine o seno e o cosseno do ângulo resultante da justaposição de dois desses triângulos, como mostra a figura.

02. Sabendo que um ângulo $\beta$ mede mede 30º e o outro mede 45º. Determine a tangente e cotangente da soma desses dois ângulos.

Triângulos contíguos, com um vértice comum.

03. Dois triângulos são colocados lado a lado, de modo a fazer coincidir um de seus vértices da base. O primeiro é equilátero e o segundo isósceles, onde o ângulo do vértice superior mede 45º. Determine: a) o seno do ângulo entre os lados dos dois triângulos $\color{red}{\alpha}$; b) o cosseno da soma do ângulo interno do equilátero e o lado do isósceles$\color{red}{(\alpha + \gamma)}$; c) o seno do ângulo formado entre a base do isósceles e o lado do equilátero$\color{red}{(\alpha + \beta)}$.

05. Sendo os ângulos $\color{red}{\alpha = 60º}$ e $\color{red}{\beta = 45º}$, determine: a) $cos{(\alpha – \beta)}$; b)$sen{(\alpha – \beta)}$; c)$tg{(\alpha – \beta)}$.

06. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que tgα=4/3 e α pertence ao primeiro quadrante($0\lt\alpha\lt90^{0}$.

07. Demostrar as seguintes igualdades trigonométricas:

a)$\left[{{1 – sen\alpha}\over cos\alpha}\right] = \left[{{cos\alpha}\over{1 + sen\alpha}}\right]$;

b) $\left[{{sen\alpha + ctg\alpha}\over{tg\alpha + cosec\alpha}}\right] = cos\alpha$;

c)${tag\alpha + ctg\alpha} = sec\alpha\cdot csec\alpha$;

d)$cos^2\alpha = sen^2\alpha\cdot cos^2\alpha + cos^4\alpha$

08. Faça a demonstração das igualdades trigonométricas:

a)$\color{blue}{2tg x\left({{1 + cos x}over 2}\right)} = sen x\cdot tg x$

b)$\color{blue}{\left({{tg\alpha + tg\beta}\over{ctg\alpha +ctg\beta}}\right) = tg\alpha\cdot tg\beta}$

09. Demonstrar as seguintes igualdades trigonométricas.

a)$\color{blue}{sec^2\alpha + csc^2\alpha = sec^2\alpha\cdot csc^2\alpha}$

b)$\color{blue}{\left({{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen^2\alpha -cos^2\alpha}}\right) = sec^2\alpha\ cdot csc^2\alpha}$

c)$\color{blue}{{\left(sec\alpha – tg\alpha\right)^2 }=\left({{1-sen\alpha}\over{1+sen\alpha}}\right)}$

10. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas.

a)$\color{blue}{sen\alpha + cos\alpha = \left({{1 + tg\alpha}\over{sec\alpha}}\right)}$

b)$\color{blue}{\left({{cos\alpha + tg\alpha}\over{cos\alpha\cdot tg\alpha}}\right) = ctg\alpha + sec\alpha}$

c)$\color{blue}{\left({{2sen\alpha}\over{tg(2\alpha)}}\right) = cos\alpha – \left({sen²\alpha\over cos\alpha}\right)}$

11. Demonstrar as seguintes igualdades trigonométricas.

a)$\color{blue}{1 + sen\alpha\cdot tg\alpha = \left({{sen\alpha + ctg\alpha}\over{ctg\alpha}}\right)}$

b)$\color{blue}{tg\alpha + ctg\alpha = \left({1\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)}$

c)$\color{blue}{{\left(sen\alpha + cos\alpha\right)^2} +{\left(sen\alpha – cos\alpha\right)^2} = 2}$

12. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que $ sen\alpha=3/5 $ e $0\lt\alpha\lt90$, isto é pertence ao primeiro quadrante.

13. Calcular as outras razões trigonométricas sabendo que o $cos\alpha=5/13$ e $ \alpha$ pertence ao primeiro quadrante.

14. Calcular as outras razões trigonométricas sabendo que $ tgα=4/3$ e $α$ pertence ao primeiro quadrante.

15. Calcular as demais razões trigonométricas sabendo que o $\color{Green}{ cos\alpha={4\over 5}}$ e $0< α<90^{0}$, isto é, pertence ao primeiro quadrante.

Irá seguir em pouco tempo um post com a resolução de todos esses exercícios para que possas conferir e tirar dúvidas.

Curitiba, 30 de dezembro de 2019

Décio Adams

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Publicado em

Matemática – Geometria – Razões trigonométricas.

Relações entre as razões trigonométricas.

Já vimos no post anterior as primeiras relações e iremos recordá-las agora, para depois complementar com mais algumas e resolver exercícios de aplicação.

  • Relação fundamental

$\color{green}{sen^{2}\beta + cos^2\beta = 1}$

  • tangente e cotangente

$\color{green}{tg\beta = {{sen\beta}\over{cos\beta}}}$

$\color{green}{ctg\beta = {{cos\beta}\over{sen\beta}}}$

  • cossecante e secante

$\color{green}{csc\beta = {1\over{sen\beta}}}$

$\color{green}{sec\beta = {1\over{cos\beta}}}$

Novas relações tiradas da fundamental

Dividindo a relação fundamental por $\color{red}{sen^2\beta}$ teremos:

${{sen^2\beta}\over{sen^2\beta}} + {{cos^2\beta}\over{sen^2\beta}} = {1\over{sen^2\beta}}$

Lembrando que $\color{navy}{{{cos\beta}\over{sen\beta}} = ctg\beta}$

$ {1 + ctg^2\beta = csc^2\beta}$$\Leftrightarrow$${\sqrt{csc^2\beta} = \sqrt{1 + ctg^2\beta}}$

$\color{maroon}{csc\beta = \sqrt{1 + ctg^2\beta}}$

Seguindo o mesmo raciocínio, agora dividindo a relação fundamental por $cos^2\beta$, e substituindo as razões equivalentes.

${{sen^2\beta}\over{cos^2\beta}} + {{cos^2\beta}\over {cos^2\beta}} = {1\over {cos^2\beta}}$$\Leftrightarrow$$ tg^2\beta + 1 = sec^2\beta$

${\sqrt{sec^2\beta} = \sqrt{1 + tg^2\beta}}$

$\color{maroon}{sec\beta = \sqrt{1 + tg^2\beta}}$

Em $tg\beta = {{sen\beta}\over{cos\beta}}$, isolando $sen\beta$ e substituindo na relação fundamental.

$\color{Brown}{sen\beta = {tg\beta}\cdot{cos\beta}}$

${tg^2\beta}\cdot{cos^2\beta} + cos^2\beta = 1$$\Leftrightarrow$$cos^2\beta\cdot{(tg^2\beta + 1)} = 1$

$cos^2\beta = {1\over{tg^2\beta + 1}}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{cos^2\beta} = \sqrt{1\over{tg^2\beta + 1}}$

$cos\beta = \sqrt{1\over{tg\beta+1}}$

$\color{maroon}{cos\beta = \left({tg^2\beta + 1} \right) ^{-{1\over2}}}$

Procedendo da mesma forma com $ctg\beta = {{cos\beta}\over{sen\beta}}$

${ctg\beta}\cdot{sen\beta} = cos\beta $

$sen^2\beta + ({ctg\beta}\cdot{sen\beta})^2 = 1$

$sen^2\beta + {ctg^2\beta}\cdot{sen^2\beta} = 1$

$sen^2\beta\cdot({1 + ctg^2\beta}) = 1$$\Leftrightarrow$$ sen^2\beta = {1\over{1 + ctg^2\beta}}$

$\sqrt{sen^2\beta} = \sqrt{1\over{1 + ctg^2\beta}}$$\Leftrightarrow$$sen\beta = {1\over\sqrt{ctg^2\beta + 1}}$

$\color{maroon}{sen\beta = \left({ctg^2\beta + 1}\right)^{-{1\over 2}}}$

Lei dos senos.

O triângulo $\Delta{ABCA}$ é inscrito na circunferência, cujo diâmetro mede $d = 2r$. Um segmento de reta que passa pelo vértice $\hat{B}$, pelo centro e encontra a circunferência no ponto $\hat{D}$. Unimos esse ponto com o vértice $\hat{C}$, onde se forma um ângulo reto.

O triângulo $\Delta{BCDB}$ é retângulo no vértice $C$. O segmento $\overline{BC}$ é cateto oposto ao ângulo $\Delta$. Por isso:

$sen\Delta = {a\over \overline{BD}} = {a\over{2r}}$

$\color{Violet}{{a\over sen\Delta} = 2r}$

O vértice $\hat{A}$ é subtendido pelo mesmo arco $\hat{BC}$ assim como acontece com o ângulo $\Delta$. Donde se conclui que:

${{a\over sen\alpha} = 2r}$

Aplicando o mesmo raciocínio aos outros ângulos, teremos:

${{b\over sen\beta} = 2r}$

${{c\over sen\gamma} = 2r}$

Como consequência podemos estabelecer a lei dos cossenos, cujo enunciado fica assim:

Em qualquer triângulo o lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto e a razão constante é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.

$\color{maroon}{{a\over sen\alpha} = {b\over sen\beta} = {c\over sen\gamma} = 2r}$

Essa lei é especialmente útil na determinação dos demais elementos de um triângulo, conhecendo-se um ângulo e dois lados.

Leis dos cossenos

A altura relativa ao lado $b$, divide o triângulo em dois triângulos retângulos, onde podemos aplicar o Teorema de Pitágoras e cálcular do cosseno de um dos ângulos agudos do $\Delta{ABCA}$.

Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras nos dois triângulos retângulos formados pela altura $h$ em relação ao lado $b$

$a^2 = h^2 + n^2$ (I)

${c^2 = h^2 + m^2}$$\Leftrightarrow$${h^2 = c^2 – m^2}$ (II)

${h^2 = c^2 – m²}$ (II)

Temos que ${b = m + n}$$\Leftrightarrow$${n = b – m}$

${n = b – m}$ (III)

${{m\over c} = cos\alpha}$$\Leftrightarrow$${m = c\cdot cos\alpha}$

${m = c\cdot cos\alpha}$ (IV)

Substituindo (II), (III) e (IV) em (I), teremos:

$a^2 = {c^2 – m^2} + {(b – m)^2}$$\Leftrightarrow$$a^2= {c^2 – \left({c\cdot cos\alpha}\right)^2} + {b^2 – 2bm + m^2}$

$a^2 = c^2 – c^2\cdot cos^2\alpha + b^2 -2b\left(c\cdot cos\alpha\right) +\left({c\cdot cos\alpha}\right)^2$

Cancelando os termos simétricos e ordenando a expressão:

$a^2 = b^2 + c^2 – c^2cos^2\alpha – 2bc\cdot cos\alpha + c^2\cdot cos^2 \alpha$

$\color{maroon}{a^2= b^2 + c^2-2bc\cdot cos\alpha}$

Aplicando o mesmo raciocínio em relação aos outros ângulos, teremos:

$\color{maroon}{b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cdot cos\beta}$

$\color{maroon}{{c^2 = a^2 + b^2 – 2ac\cdot cos\gamma}}$

O quadrado da medida de um lado de um triângulo qualquer é igual a soma dos quadrados dos outros lados, menos o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado.

Exercícios

01. A $csc\beta = {{3\sqrt{3}}\over5}$. Determine as demais razões trigonométricas desse mesmo ângulo.

Temos vários caminhos que nos levam aos resultados buscados. Vamos começar pela relação entre cossecante e cotangente.

$csc\beta = {\sqrt{1 + ctg^2\beta}}$

Substituindo e elevando ao quadrado teremos:

$\left({3\sqrt{3}\over5}\right)^2 = {\left({\sqrt{1 + ctg^2\beta}}\right)^2}$

$ {{9\cdot 3}\over{25}}= {1 + ctg^2\beta}$$\Leftrightarrow$${{27}\over{25}} – 1 = ctg^2\beta $

${{27 – 25}\over{25}} = ctg^2\beta$$\Leftrightarrow$$ctg^2\beta = {2\over{25}} $

$\sqrt {ctg^2\beta} = {\sqrt{2\over{25}}}$

$\color{maroon}{ctg\beta= {\sqrt{2}\over 5}}$

Temos que $tg\beta = {1\over ctg\beta}$, o que nos fornece:

$tg\beta =\left[ {1\over\left({\sqrt{2}\over5}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg\beta = \left({5\over\sqrt{2}}\right)$

Racionalizando: $ tg\beta =\left({{5\cdot\sqrt{2}}\over\sqrt{2}²}\right)$

$\color{maroon}{tg\beta= {5\sqrt{2}\over 2}}$

Se $\color{navy}{sec\beta = \sqrt{1 + tg^2\beta}}$

$sec\beta =\left[{\sqrt{1 +\left({5\sqrt{2}\over2}\right)^2}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta =\left[\sqrt{1 + {{{25}\cdot 2}\over4}}\right]$

$sec\beta = \left[\sqrt{1 + {{25}\over2}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta = \left[\sqrt{{2 + 25}\over 2}\right]$

$sec\beta =\left[\sqrt{{27}\over2}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta= \left[\sqrt{{3^2\cdot 3}\over2}\right]$

$sec\beta = {3\cdot{\sqrt{3}}\over\sqrt{ 2}}$$\Leftrightarrow$$sec\beta = {{3\sqrt{6}}\over 2}$

$\color{maroon}{sec\beta = {{3\sqrt{6}}\over 2} }$

$sec\beta = {1\over cos\beta}$$\Leftrightarrow$$ cos\beta = {1\over sec\beta}$

$cos\beta = {1\over{{3\sqrt{6}}\over2}}$$\Leftrightarrow$$cos\beta = {2\over {3\sqrt{6}}}$

$cos\beta= {{{2\cdot\sqrt{6}}\over{3\cdot{\sqrt{6}}^2}}}$$\Leftrightarrow$$cos\beta = {{2\sqrt{6}}\over{3\cdot 6}}$

$\color{maroon}{cos\beta = {\sqrt{6}\over 9}}$

$csc\beta = {1\over sen\beta}$$\Leftrightarrow$$sen\beta = \left[{1\over\left({3\sqrt{3}\over5}\right)}\right]$

$sen\beta = {5\over{3\sqrt{3}}}$$\Leftrightarrow$$sen\beta = {{5\cdot\sqrt{3}}\over{3\sqrt{3}^2}}$

$\color{maroon}{sen\beta = {5\sqrt{3}\over9}}$

02. Um triângulo tem o lado $a = 8,0\, cm$, um ângulo adjacente a ele mede $\beta = 45^{0}$ e o triângulo está inscrito em uma circunferência de raio $r = 8,0\, cm$. Pede-se determinar as medidas dos outros dois lados e os ângulo $\alpha$ e $\gamma$.

Dados: $a = 8,0\, cm$; $\beta = 45^{0}$ e $r = 8,0\, cm$.

Lei dos senos: ${a\over sen\alpha} = {b\over sen\beta} = {c\over sen\gamma} = {2\cdot r}$

${a\over sen\alpha} = {2\cdot r}$$\Leftrightarrow$$sen\alpha = {a\over 2r}$

$sen\alpha = {8\over{2\cdot 8,0}}$$\Leftrightarrow$$sen\alpha ={1\over2}$

$sen\alpha = {1\over 2}$

$\color{maroon}{\alpha = 30^{0}}$

${b\over sen\beta} = {a\over sen\alpha}$$\Leftrightarrow$${b\over sen {45º}} = {8,0\over sen {30^{0}}}$

${b\over{\sqrt{2}\over 2}} = {8\over {1\over2}}$$\Leftrightarrow$$b = 8\cdot \frac{2\cdot\sqrt{2}}{2}$

$\color{maroon}{b = {8\cdot\sqrt{2}}cm}$

$\alpha + \beta + \gamma = 180^{0}$$\Leftrightarrow$$ 30^{0} + 45^{0} + \gamma = 180^{0}$

$\gamma = 180^{0} – 75^{0}$$\Leftrightarrow$$\gamma = 105^{0}$

$\color{maroon}{\gamma = 105^{0}$

${c\over sen\gamma} = 2\cdot r$

${c\over sen{(45^{0} + 60^{0})}} = 2\cdot 8 $

$\left[{c\over{(sen 45^{0}\cdot cos 60^{0} + sen 60^{0}\cdot cos 45^{0})}}\right] = 16$

$\left[{c\over{{(\sqrt{2}\over2}\cdot {1\over2}} +{{\sqrt{3}\over2}\cdot {\sqrt{2}\over2})}}\right] = 16$

$\left[{c\over{(\sqrt{2}\over 4} +{\sqrt{6}\over 4})}\right] = 16$$\Leftrightarrow$$\left[{c\over{{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}}\right] = 16$

$c = 16\cdot{{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}$

$\color{maroon}{c = 4\cdot\left[{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\right] cm}$

Soma de ângulos, seno e cosseno

Imagine se deparar com uma expressão como essa: $y = sen{(\alpha + \beta)}$! ou então $y = cos{(\alpha + \beta)}$!

Simplesmente irá fazer a adição dos ângulos? Isso estará correto? No final do exercício dois acima foi usado esse recurso para obter um dos senos dos ângulos. E não foi assim. Há uma forma mais fácil de resolver essas situações.

Vejamos a demonstração de como fica essa questão. Essa demonstração normalmente não é cobrada do candidato ou aluno em provas, mas eu tenho uma aversão radical à simplesmente despejar uma fórmula e dizer apenas “é assim que se faz”. Sempre quero mostrar o “porquê?” Então me empenho em colocar tudo em pratos limpos.

Vamos inciar por desenhar um retângulo e um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a diagonal, à qual iremos atribuir a medida de uma unidade de comprimento.

Temos a diagonal $\overline{AB}$, que é a hipotenusa do triângulo retângulo $\Delta{ABCA}$.

Vamos baixar uma perpendicular ao prolongamento da base do retângulo, a partir do vértice $C$ do triângulo.

Traçada a perpendicular $\overline{CD}$, temos agora três triângulos retângulos: $\Delta{ABEA}$; $\Delta{ABCA}$ e $\Delta{ACDA}$.

No triângulo $\Delta{ABEA}$, o ângulo do vértice $A$ é igual a soma dos ângulos agudos $\alpha + \beta$ dos outros dois triângulos e podemos escrever, pela definição das razões trigonométricas:

$sen{(\alpha + \beta)} = {{\overline{BE}}\over\overline{AB}}$ (I)

$cos{(\alpha + \beta)} = {{\overline{AE}}\over\overline{AB}}$ (II)

Vamos destacar o triângulo $\Delta{ACDA}$ e analisar as razões seno e cosseno.

O triângulo destacado está em azul claro.

Observando seus lados, temos:

$sen\alpha = {{\overline{CD}}\over\overline{AC}}$

$sen\alpha\cdot\overline{AC} = \overline{CD}$ (III)

$cos\alpha = {{\overline{AE}}\over\overline{AC}}$

$cos\alpha\cdot\overline{AC} = \overline{AE}$ (IV)

Agora vamos destacar o triângulo $\Delta{ABCA}$ e analisar as razões seno e cosseno.

No $\Delta{ABCA}$ surgem os indícios do que irá ocorrer no fechamento do raciocínio.

Neste triângulo, veremos:

$sen\beta = {{\overline{BC}}\over\overline{AB}}$

$sen\beta = {{\overline{BC}}\over 1}$$\Leftrightarrow$$sen\beta =\overline{BC}$ (V)

$cos\beta = {{\overline{AC}}\over 1}$$\Leftrightarrow$$cos\beta = \overline{AC}$ (VI)

Falta completar o quarto triângulo. Prolongamos a base superior do retângulo e o segmento $\overline{CD}$, formando $\Delta{CBFC}$, que é semelhante ao triângulo $\Delta{ACDA}$. São semelhantes pois ambos são retângulos e os lados são respectivamente perpendiculares. Por isso o ângulo com vértice no ponto $C$ é congruente ao ângulo $\alpha$.

Triângulos $\Delta{ACDA}$ e $\Delta{CBFC}$ são semelhantes. Tem lados perpendiculares e são retângulos.

Aqui temos: $sen\alpha = {{\overline{BF}}\over\overline{BC}}$ (VII)

$cos\alpha = {{\overline{CF}}\over\overline{BC}}$ (VIII)

Resumo:

$sen{(\alpha + \beta)} = {{\overline{BE}}\over\overline{AB}}$ (I)

$cos{(\alpha + \beta)} = {{\overline{AE}}\over\overline{AB}}$ (II)

$sen\alpha\cdot\overline{AC} = \overline{CD}$ (III)

$cos\alpha\cdot\overline{AC} = \overline{AE}$ (IV)

$sen\beta =\overline{BC}$ (V)

$cos\beta = \overline{AC}$ (VI)

Substituindo (V) em (VII) e (VIII):

$sen\alpha = {{\overline{BF}}\over sen\beta}$

${sen\alpha\cdot sen\beta} = \overline{BF}$ (IX)

$cos\alpha = {{\overline{CF}}\over sen\beta}$

${cos\alpha\cdot sen\beta} = \overline{CF}$ (X)

Substituindo (VI) em (III) e (IV), fica:

${sen\alpha\cdot\cos\beta} = \overline{CD}$ (XI)

${cos\alpha\cdot\ cos\beta} = \overline{AE}$ (XII)

Na figura principal, observamos que os segmentos:

$\overline{BE} = \overline{CD} + \overline{CF}$

$\overline{AE} = \overline{AD} – \overline{ED}$

Olhando as expressões (I) e (II), podemos deduzir que:

$\overline{BE} = sen{(\alpha + \beta)}$

$\overline{AE} = cos{(\alpha + \beta)}$

De onde podemos tirar que:

$sen{(\alpha + \beta)}= {sen\alpha\cdot cos\beta + sen\beta\cdot cos\alpha}$

$cos{(\alpha + \beta)} = {cos\alpha\cdot cos\beta – sen\alpha\cdot sen\beta}$

Se em lugar de $\alpha + \beta$, tivéssemos $\alpha – \beta$, bastaria trocar os sinais +/- nas expressões, ficando:

$sen{(\alpha \pm \beta)} = {sen\alpha\cdot cos\beta \pm sen\beta\cdot cos\alpha}$

$cos{(\alpha \pm \beta)} = {cos\alpha\cdot cos\beta \mp sen\alpha\cdot cos\beta}$

A partir dessas expressões podemos obter também a tangente e cotangente da soma de ângulos. Vejamos:

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{{sen{(\alpha +\beta)}}\over{cos{(\alpha + \beta)}}}\right]$

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{{sen\alpha\cdot cos\beta + sen\beta\cdot cos\alpha}\over{cos\alpha\cdot cos\beta – sen\alpha\cdot sen\beta}}\right]$

Dividindo todos os termos do segundo membro da equação por $sen\alpha\cdot cos\beta$, teremos:

$tg{(\alpha + \beta)} =\left[{{\left({{sen\alpha\cdot cos\beta}\over{sen\alpha\cdot cos\beta}}\right) + \left({{sen\beta\cdot cos\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\beta}}\right)}\over{\left({{cos\alpha\cdot cos\beta}\over{sen\alpha\cdot cos\beta}}\right) – \left({{sen\alpha\cdot sen\beta}\over{sen\alpha\cdot cos\beta}}\right)}}\right]$

$\color{maroon}{tg{(\alpha + \beta)} = {{1 + tg\beta\cdot ctg\alpha}\over{ctg\alpha – tg\beta}}}$

Sendo $ctg{(\alpha + \beta)} = {1\over tg{(\alpha + \beta)}}$, podemos escrever que:

$\color{maroon}{ctg{(\alpha + \beta)} = {{ctg\alpha – tg\beta}\over{1 + ctg\beta\cdot tg\alpha}}}$

Arco duplo – Seno, cosseno e …

As relações da soma e diferença de ângulos, são úteis na obtenção dos chamados “arcos duplos ou triplos”.

${sen(2\alpha)} = ?$

Lembrando que $2\alpha = \alpha + \alpha$

$sen(2\alpha) = sen\alpha\cdot cos\alpha + sen\alpha\cdot cos\alpha$

$\color{maroon}{sen(2\alpha) = 2\cdot sen\alpha\cdot cos\alpha}$

$cos(2\alpha) = cos\alpha\cdot cos\alpha – sen\alpha\cdot sen\alpha$

$\color{maroon}{cos(2\alpha) = cos^2\alpha – sen^2\alpha}$

$tg(2\alpha) = \left({{2sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{cos^2\alpha – sen^2\alpha}}\right)$

$tg(2\alpha) =\left[{\left({{2sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)\over\left({{cos²\alpha – sen²\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg(2\alpha) = \left[{2\over{{{cos^2\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}} – {{sen^2\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}}\right]$

$\color{Maroon}{tg(2\alpha) = {2\over{ctg\alpha – tg\alpha}}}$

Como $ctg(2\alpha) = {1\over{tg(2\alpha)}}$

temos que:

$\color{maroon}{ctg(2\alpha) = {{ctg\alpha – tg\alpha}\over 2}}$

$csc(2\alpha) = {1\over sen(2\alpha)}$

$csc(2\alpha) = {1\over{2sen\alpha\cdot cos\alpha}}$

$\color{maroon}{sec(2\alpha) = {1\over{cos^2\alpha – sen^2\alpha}}}$

Vamos deixar os exercícios para o próximo post, que será bem recheado deles. Se existir alguma dúvida sobre as demonstrações, por obséquio, pergunte para esclarecer. Não há necessidade de decorar esses procedimentos, mas entender de onde vem as expressões que depois serão utilizadas.

Curitiba, 30 de novembro de 2019

Décio Adams

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