Se para a adição existem propriedades, vamos ver a multiplicação. Afinal, em outro momento vimos que a multiplicação nada mais é do que uma adição de parcelas iguais.
Será que a propriedade comutativa é aplicável à multiplicação? (Lembremos que ela consiste em mudar a ordem das parcelas. Aqui vamos então trocar a ordem dos fatores).
O termo propriedade aqui não é usado no sentido de posse, como quando adquirimos um bem. Ele passa a ser nossa propriedade. Tem aqui o significado de alguma coisa que lhe é característica, própria. Lembro de ouvir muitas vezes os alunos perguntarem:
Para que serve isso, professor?
Nem sempre é fácil explicar, assim na hora, como se diz, “na lata”, para que serve determinado conteúdo. Mas, com certeza, ele será útil em um momento futuro e, quando for hora de usar, pode faltar tempo para voltar atrás e aprender. Por isso, esse assunto, aparentemente um pouco sem “razão de ser”, ou seja, inútil, é muito importante no desenvolvimento de conteúdos posteriores. Apenas para adiantar, é fundamental no aprendizado da álgebra. No momento oportuno vou mostrar como.
Essa palavra designa a parte da Matemática que nos apresenta ao mundo dos números. Começamos por aprender a contar, associar um símbolo aos números que correspondem às quantidades de objetos que contamos. Esses símbolos denominamos algarismos, e os mais usados no mundo hoje em dia são os hinduarábicos. Essa denominação é devida ao fato de sua origem ter ocorrido na India e depois foram aperfeiçoados na Arábia. Depois de dominarmos a escrita e leitura dos números, fazendo o uso adequado da posição dos algarismos, começamos a aprender as quatro operações:
Adição
Consiste na reunião dos elementos de dois ou mais conjuntos. A quantidade de elementos resultante é denominada soma. A soma será o número de elementos do novo conjunto formado pela reunião dos primeiros. Por exemplo. Seja o conjunto $\color{Navy}{A =\varnothing}$ e $\color{Navy}{B = \{ O\}}$. O primeiro conjunto é vazio, isto é não tem nenhum elemento. Então o número de elementos é $\color{Navy}{n(A) = 0}$. O segundo conjunto tem apenas uma letra “O“. Portanto $\color{Navy}{n(B) = 1}$. Vamos representar isso num desenho.
Vamos reunir os elementos dos dois conjuntos em um único conjunto e contar a quantidade de elementos resultante.
Notamos que da reunião dos dois conjuntos resultou um novo conjunto com um único elemento. Isto nos permite afirmar que a adição dos números 0 (zero) com o número 1(um), resulta na soma 1 (um). Ou seja adicionar 0 (zero) com qualquer número não altera o resultado.
$\color{Navy}{0 + 1 = 1}$
Vejamos agora dois conjuntos, tendo o primeiro 1(um) elemento e o outro 2(dois) elementos. Façamos a reunião dos mesmos e vejamos quantos elementos resultam.
Notamos que o conjunto que reúne os dois conjuntos é um conjunto com um total de 3(três) elementos. Portanto:
$\color{Navy}{ 1 + 2 = 3 }$
Este procedimento de juntar os elementos de dois ou mais conjuntos você pode fazer usando os dedos de suas mãos. Vejamos mais um exemplo. Um conjunto M com três elementos e um conjunto N com quatro elementos.
Vemos na figura dois conjuntos com o mesmo tipo de elementos. O conjunto M formado por três elipses e o conjunto N por 4 elipses. Podemos reunir todos em um único conjunto e ver quantos serão os elementos do do novo conjunto formado pela reunião dos dois.
Se contarmos o número de elementos existentes no novo conjunto encontraremos como resultado o número 7. Isto nos permite afirmar que a adição dos números que representam a quantidade de elementos dos dois conjuntos que foram reunidos, tem como resultado 7 (sete). Simbolicamente fica:
$\color{Navy}{ 3 + 4 = 7} $
Se você quiser fazer a adição de 5 ovos com 7 ovos, usando os dedos das mãos, como irá proceder?
Em condições normais, você terá em sua mão esquerda 5 dedos, que podem representar os 5 ovos. Na outra mão terá também 5 dedos, que poderão representar outros 5 ovos. Se você continuar contando, depois do cinco vem o seis e logo o sete. Portanto faltarão dois dedos. Conte os dedos da mão esquerda, os da mão direita, chegando a 10, e volte a contar mais dois da mão esquerda. Deverá obter o número 12. Ou seja:
$\color{Navy}{ 5 + 7 = 5 + 5 + 2 = 12 }$
6 uvas + 3 maçãs = 9 frutas, mas não serão 9 uvas, nem 9 maçãs. Em geral não adicionamos coisas diferentes.
Os números que somamos são chamados parcelas. O número de parcelas de uma adição, não tem limites e nem importa a ordem em que as adicionamos, contanto que façamos o processo de maneira correta.
Tabela de dupla entrada. Os números na primeira linha e coluna, tem suas somas no cruzamento das respectivas linhas e colunas.
A tabela apresentada acima, pode ser útil para obter a soma da adição de números entre 0(zero) e 9 (nove). Pode substituir os dedos ou outros objetos no momento de realizar a adição de números.
Adição de números maiores.
Sejam, por exemplo as parcelas $\color{Navy}{ 149 + 214 = ?}$
Eles serão escritos um sobre o outro, formando a coluna das unidades, a coluna das dezenas, centenas, milhares e assim até o final. Começamos a efetuar pelas unidades e assim sucessivamente, até completar a adição. O número formado será a soma das parcelas.
Adição de números com vários algarismos em colunas 1
Na figura ao lado, vemos efetuada a adição dos dois números dados. Observe que adicionamos a partir das unidades. No caso $\color{Navy}{ 9 + 7 = 16}$. Escrevemos as unidades 6 (seis) abaixo da linha horizontal e a dezena, colocamos acima do 4 (quatro), na coluna das dezenas. Repetimos o processo e obtemos $\color{Navy}{1 + 4 + 1=6}$ (seis) dezenas. Não temos nenhuma centena. Adicionamos a coluna das centenas e resulta a soma $\color{Navy}{366}$.
Ao lado temos a adição $\color{Navy}{164 + 98 = ?}$. Na formação das colunas, a casa das centenas ficou vaga para o segundo número, uma vez que temos um número sem nenhuma centena. $\color{Navy}{4 + 8 = 12}$, nos dá duas unidades e uma dezena. Escrevemos as duas unidades abaixo da linha horizontal e a dezena colocamos acima dos algarismos das dezenas. Somamos $\color{Navy}{ 1 + 6 + 9 = 16}$ que nos dá seis dezenas de unidades e uma centena. O seis vai ao lado do dois, na casa das dezenas e a centena, acima dos algarismos das centenas. Somamos $\color{Navy}{1 + 1 = 2}$, resultam duas centenas e a soma dos números é igual a $\color{Navy}{262}$.
Tomemos mais dois exemplos.
$\color{Navy}{1537 + 7259 = ? }$
$\color{Navy}{2836 + 475 =?}$
Adição de números com vários algarismos 2
Note que devemos colocar os algarismos na posição correta e sempre efetuar a adição da direita (unidades) para esquerda, seguindo a ordem das dezenas, centenas e demais classes. A adição de $\color{Navy}{7 + 9 = 16}$. Seis unidades e uma dezena que irá ser adicionada na segunda coluna. Assim $\color{Navy}{1 + 3 + 5 = 9}$. Escrevemos as nove dezenas na segunda coluna, ao lado esquerdo das seis unidades da primeira coluna. Adicionamos $\color{Navy}{5 + 2 = 7}$ e depois $\color{Navy}{1 + 7 = 8}$. O resultado (soma) será o número ${8796}$. Procedemos da mesma maneira com os outros dois números.
Vamos exercitar.
Efetue as adições dos números, utilizando os dedos, outros objetos e mesmo a tabela apresentada acima.
$\color{Blue}{9 + 12 = ?}$
$\color{Blue}{15 + 8 = ?}$
$\color{Blue}{16 + 9 = ?}$
$\color{Blue}{21 + 5 = ?}$
$\color{Blue}{33 + 4 = ?}$
$\color{Blue}{27 + 3 = ?}$
$\color{Blue}{35 + 8 = ?}$
Efetue as adições dos números, escrevendo em colunas, como mostrado acima e efetue da direita para esquerda.
$\color{Brown}{78 + 63 = ?}$
$\color{Brown}{93 + 142 = ?}$
$\color{Brown}{87 + 231 + 158 = ?}$
$\color{Brown}{527 + 1872 = ?}$
$\color{Brown}{2056 + 1932 = ?}$
$\color{Brown}{5743 + 3278 + 7094 = ?}$
Curitiba, 10 de julho de 2017 (Post refeito e ampliado nesta data).
No post anterior, aprendemos a multiplicar os números com apenas um algarismo. Espero ter conseguido mostrar como se procede e que tenha dominado esse conteúdo. Havendo alguma dúvida, por favor, peça maiores explicações, fazendo um comentário expondo sua dificuldade. E quando os fatores forem números com mais de um algarismo, como iremos proceder? A operação é a mesma, apenas torna-se difícil fazer a representação concreta de conjuntos, depois contar os elementos para obter a resposta. Mas não se aflija. Novamente usaremos a escrita na forma de colunas e multiplicaremos todos os algarismos de um fator, por todos os algarismos do outro fator, escrevendo os resultados sob as colunas correspondentes. Se houver mais de uma linha, adicionaremos os valores de cada coluna, partindo da direita para a esquerda. A soma encontrada será o produto dos números. Nada melhor do que mostrar como se procede, com um bom exemplo resolvido.
$$\color{Brown}{18\times 4 = ?}$$
Começamos da direita para esquerda, multiplicando ${4\times 8 = 32}$. O produto resultou em mais de uma dezena. Colocamos o algarismo das unidades (2), na direita, abaixo do quatro e reservamos as (3) dezenas para serem adicionadas ao resultado da multiplicação de ${4\times 1 = 4}$; adicionamos as dezenas reservadas ${4 + 3 = 7}$. Colocando o $7$ à esquerda do dois, teremos o resultado da multiplicação.
$$\color{Red}{4\times 18 = 72}$$
Um outro exemplo: $\color{Brown}{6\times 35 = ?}$
Começando novamente da direita: ${6\times 5 = 30}$. O algarismo das unidades é (0) e reservamos três dezenas para o próximo passo. Fazendo ${6\times 3 = 18}$. Adicionamos as três dezenas e temos ${18 + 3 = 21}$, que será escrito à esquerda do (0) das unidades. Teremos:
É isso que o Criador disse aos primeiros homens a caminhar sobre a Terra. Mas a nossa multiplicação aqui é um pouco diferente. Vamos multiplicar números, começando por entender o que significa essa operação. Observe o exemplo da figura.
Três conjuntos de dois elementos reunidos, formam a soma de três parcelas iguais. Isto e uma multiplicação.
$$\color{Red}{{3\times 2} = 6}$$
Lemos aqui: “Três vezes dois é igual a seis”.
Os dois números multiplicados recebem o nome de \color{Sepia}{fatores}.
$$\color{Blue}{{ 2 + 2 + 2} = 6}$$
Note que o conjunto de dois elementos foi adicionado três vezes, ou seja, temos uma adição de parcelas iguais, onde cada parcela tem dois elementos. Sempre que surge a ocasião de simplificar a forma de escrever, traduzir em palavras ou símbolos uma sentença matemática, nós o fazemos. Nesse caso, fazemos a a multiplicação e fica assim:
A multiplicação na verdade é nada mais nada menos que uma adição de parcelas iguais.
É importante lembrar desse detalhe, pois será muito útil em situações que virão pela frente.
Dois conjuntos de três elementos reunidos formam a multiplicação de $3$ por $2$.
Começaremos por dizer que a subtração é a operação inversa da adição. Se na adição nós juntamos, reunimos os elementos de mais de um conjunto, na subtração fazemos o contrário. Retiramos, diminuimos os elementos de um conjunto(subtraendo), dos elementos de outro conjunto(minuendo) normalmente maior. Por exemplo:
Na forma de conjuntos, basta contar os elementos a serem subtraídos(subtraendo), retirando-os do conjunto (minuendo) e teremos um conjunto que é igual a diferença entre os dois. No exemplo temos 7 elementos no minuendo e 3 no subtraendo. Restaram 4 elementos no conjunto diferença. Para conferir se está certo, basta contar os elementos do resto, junto com os elementos do subtraendo e deveremos encontrar o minuendo. Você pode usar os dedos das suas mãos, dos pés, outros objetos para formar os conjuntos que ajudarão a efetuar essas operações. Com isso logo, logo, saberá de cor e salteado a diferença entre esses números pequenos, ficando mais fácil obter o resultado.
Como já vimos anteriormente, os algarismos do sistema decimal de numeração, são formados usando dez símbolos. Todos os demais números são escritos com estes símbolos, que passam a ter valores diferentes dependendo da ordem e classe em que estão colocados. Para resolver a adição de números com vários algarismos, de forma manual, começamos por escrever seus algarismos, formando colunas de modo que as ordens e classes fiquem na mesma coluna. Assim:
$$\color{Sepia}{48 + 31 =?}$$
Note que o 8 e o 1 estão ambos na coluna das unidades simples. ( 8 + 1 = 9) adicionamos os dois algarismos e colocamos abaixo de uma linha horizontal traçada sob as colunas. O número 4 + 3 = 7 e também colocamos abaixo da coluna das dezenas de unidades. Dessa forma, resultou que a soma de $$\color{NavyBlue}{48 + 31 = 79}$$.
A contagem de objetos ou coisas, resulta no que denominamos Números naturais. Assim, no sistema de numeração decimal, que todos usamos no dia a dia, temos:
nenhum objeto → numero 0 → numeral zero { } ou ø
um objeto: → número 1 → numeral um. {♣}
dois objetos: →número 2 → numeral dois. {♣,♣}
três objetos: →número 3 → numeral três. {♣,♣,♣}
quatro objetos: → número 4 → numeral quatro. {♣,♣,♣,♣}
cinco objetos: → número 5 → numeral cinco. {♣,♣,♣,♣,♣}
seis objetos: → número 6 → numeral seis. {♣,♣,♣,♣,♣,♣}
sete objetos: → número 7 → numeral sete. {♣,♣,♣,♣,♣,♣,♣}
oito objetos: → número 8 → numeral oito. {♣,♣.♣.♣.♣.♣,♣,♣}
nove objetos: → número 9 → numeral nove. {♣,♣,♣,♣,♣,♣,♣,♣,♣}
Para desenvolver o conjunto numérico na sequência, surgiu a necessidade de associar um número ao conjunto “vazio”, isto é, o que contém nenhum objeto.
Como vimos no post anterior, para adicionar números de poucas unidades, fica simples efetuar pela contagem dos elementos. Com a prática adquirida, pode-se depois partir para adição de números com valores mais elevados.
A necessidade de contar, tenho certeza, remonta aos primeiros dias de vida inteligente do ser humano na face da terra. Creio que isso aconteceu no tempo em que a subsistência dependia da coleta de frutos, sementes ou, mais provavelmente, da caça de animais para comer. No começo isso era feito de forma puramente oral, talvez usando os dedos das mãos para associar o número a ser guardado ou transmitido.
Com o tempo aumentou a complexidade dos processos de contagem. Alguém teve a ideia de criar símbolos para representa-los. A paleontologia e a arqueologia resgataram um grande número de registros numéricos, com grande variedade de símbolos, significando os diferentes números. Cada grupo étnico usou, até certo ponto, seu sistema de numeração e contagem.
