Como vimos nos dois posts anteriores, existem funções de primeiro grau, cujos gráficos são paralelos. Basta que elas tenham coneficientes angulares iguais. O que as diferencia, é o coeficiente linear, ou seja, o número que não está ligado a uma variável pela operação de multiplicação ou divisão.
Lembrando: $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{ y = ax + b}}$
O coeficiente angular é o número que ocupa o lugar da letra $\color{navy}{a}$ e o coeficiente linear é o número que ocupa o lugar da letra $\color{navy}{b}$
Vamos recorrer a colocação dos polinômios na “chave” como fazemos na divisão de números com vários algarismos. Assim:
Começamos com os polinômios colocados em ordem decrescente dos expoentes da variável. Dividimos o termo de maior grau do dividendo, pelo termo de maior grau do divisor. Multiplicamos o divisor pelo quociente $x^2$. O resultado devemos subtrair dos termos de mesmo grau do dividendo. Que resulta em $3x^2$.
Na última vez que falamos desse assunto, vimos duas funções do tipo denominado função afim e deixamos alguns exercícios. Mas o assunto não ficou esgotado. Há mais coisas a saber sobre isso. Do mesmo modo que as funções lineares, também essas podem ter coeficiente angular negativo, isto é, apresentar-se na forma gráfica, inclinadas ao contrário dos dois exemplos vistos. Vejamos o primeiro.
Vamos determinar o conjunto verdade de algumas inequações do segundo grau, fazendo o estudo de sua variação de sinais em relação às raízes.
a) $\color{blue}{ -5x^2 + 25x + 70 \lt 0 }$
Vamos começar por identificar os coeficientes numéricos, comparando com a forma geral. Temos que $ a = -5 $, $ b = 25 $ e $ c = 70 $.
Para facilitar os cálculos, iremos dividir todos os termos por $-5$, simplificando e teremos \[\frac{-5x^2}{-5} + \frac{25x}{-5} + \frac{70}{-5} \lt 0\] \[x – 5x – 14 \lt 0\] Agora os coeficientes passam a ser $ a = 1$, $b = -5$ e $c = -14$. É o momento de determinar o discriminante \[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta = {(-5)^2 – 4\cdot 1\cdot (-14)}\] \[\Delta = 25 + 56 \] \[\Delta = 81\] O discriminante é positivo e portanto teremos duas raízes reais e diferentes que tornarão a expressão igual a zero. Calculando as raízes \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[ x = {{-(-5)\pm\sqrt{81}}\over {2\cdot 1}} \] \[x= {{5\pm 9}\over 2}\] \[x’ = {{5 + 9}\over 2} = {14\over 2} = 7\] \[ x” = {{5 – 9}\over 2} = {-4\over 2} = -2\] Temos pois para valores que anulam a expressão em $x$ os números $-2 $ e $7$. Vejamos como fica o comportamento na Reta Real.
Vimos que para valores externos das raízes, isto é, nesse caso para $x \lt -2$ ou $x \gt 7$ a expressão terá o mesmo sinal do coeficiente $a$ na inequação na forma original, sem simplificação. Vimos acima que $a = -5$ ou seja $ a \lt 0$, o que nos leva à conclusão de que o sinal será negativo para esses valores. Já para os valores compreendidos entre $ -2 $ e $7$, a expressão terá o sinal contrário de $a$, portanto positivo. Assim deduzimos que o conjunto verdade dessa inequação é dado por: \[\bbox[silver, 5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = \{ x \in R | x \lt -2 \vee x \gt 7\}}} \]
b)$\color{blue}{ 3x^2 + 15x -72 \ge 0}$
Identificamos os coeficientes $ a = 3$, $b = 15$ e $c = -72$. Observando esses valores, percebemos que é possível simplificar a expressão, dividindo todos os termos por $3$, o que nos dá \[\frac{3x^2}{3} +\frac{15x}{3} – \frac{-72}{3} \] \[ x^2 + 5x – 24 \ge 0\] Temos agora os novos coeficientes $ a= 1$, $b = 5 $ e $c = -24$. Vamos determinar o discriminante. \[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = 5^2 – 4\cdot 1\cdot {-24} \] \[\Delta = 25 + 96 \] \[\Delta = 121\] Temos novamente $\Delta \gt 0$ e em consequência duas raízes reais e diferentes.
As raízes $-8$ e $ 3$ anulam a expressão, enquanto os valores externos tornam a expressão positiva, por ter no mesmo sinal de $a$. Os valores internos tornarão a expressão negativa, que é o sinal contrário de $a$. Como a inequação é $\ge 0$, o conjunto verdade será também dado por:
\[\bbox[silver,5px,border: 2px solid blue]{\color{green}{V=\{ x \in R| x\le -8 \vee x \ge 3\}}} \]
c)$\color{blue} {x^2 -13x + 42 \le 0}$
Os coeficientes numéricos são $a=1$, $b= -13$ e $c = 42$. Notamos que agora não há simplificação a ser feita, pois o coeficiente $a =1$ e a expressão está na sua forma mais simples. Vejamos o discriminante:\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta=(-13)^2 – 4\cdot 1\cdot 42 = 169 – 168 = 1\] Temos então que $\Delta \gt 0$ e novamente as raízes são reais e diferentes. \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x={{-(-13\pm\sqrt{1}}\over{2\cdot 1}}\] \[x = {{13\pm 1}\over 2}\] \[x’= {{13 + 1}\over2} = {14\over 2} = 7\] \[x”={{13 – 1}\over 2} = {12\over 2} = 6 \] Lançando os valores $6$ e $7$ na Reta Real, teremos:
Para valores de $x$ a esquerda de $6$ ou a direita de $7$, a expressão será positiva, isto é, o mesmo sinal de $a$, que é positivo. Para valores internos do intervalo $6$ e $7$, a expressão será negativa, o sinal contrário de $a$. Assim sendo, a desigualdade da inequação é $\le$, o conjunto verdade será formado pelos números entre $6$ e $7$, inclusive.
Notamos que é possível simplificar a expressão, pois todos os coeficientes são múltiplos de $3$. Então \[\frac{3x^2}{3} – \frac{18x}{3} + \frac{72}{3} \] \[ x^2 – 6x + 24 \gt 0\]
Agora os nossos coeficientes são $a = 1$, $b = -6$ e $c = 24$. Vamos ao discriminante.
\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = {(-6)^2}\cdot 1\cdot {24} = 36 – 96 = -60\] Consequentemente constatamos que $\Delta \lt 0$, o que nos leva a conclusão de que nenhum número real tornará a expressão igual a zero. Como fica a inequação? Não temos ponto de referência para dizer que a expressão será positiva ou negativa para esse ou aquele valor. Vamos escolher três valores, sendo um negativo, o próprio zero e um positivo, substituindo e verificando o resultado. Sejam esses números $-3$, $0$ e $5$.
Fica evidenciado que para qualquer número real colocado no lugar de $x$ nessa inequação, o resultado é uma sentença verdadeira. Podemos concluir que o conjunto verdade é então o próprio conjunto dos números reais.
\[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = R}}\]
Se a mesma inequação tivesse o sinal de desigualdade $\lt $ no lugar de $\gt$, essas sentenças todas seriam falsas e portanto o conjunto verdade da inequação seria um conjunto vazio. Assim
\[3x^2 – 18x + 72 \lt 0\] \[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = \emptyset}}\] O mesmo aconteceria se tivéssemos os sinais de desigualdade $\ge$ ou $\le$, uma vez que teríamos a conjunção alternativa $\vee$, que tornaria as sentenças igualmente verdadeiras. É interessante notar que nestes casos o sinal da expressão é sempre igual ao sinal de $a$. Se $a\lt 0$, a expressão será sempre negativa, para qualquer número $x \in R$. Se $a \gt 0$, a expressão será positiva para qualquer valor de $x \in R$.
Agora é a sua vez de praticar. Analise os sinais das inequações e determine o conjunto verdade em cada caso.
a) $\color{green}{x^2 – 17x + 70 \le 0}$
b) $\color{green}{2x^2 + 4x – 48 \ge 0}$
c) $\color{green}{ x^2 – 5x – 36 \gt 0} $
d)$\color{green}{ 3x^2 – 108 \lt 0}$
e) $\color{green}{5x^2 – 35x \lt 0}$
f)$\color{green}{ 4x^2 – 12x + 44 \gt 0}$
g) $\color{green}{5x^2 + 110 \ge 3x^2 + 14x} $
h)$\color{green}{ 6x^2 + 54 \le 0} $
i) $\color{green}{4x -9 \gt x^2 }$
j) $\color{green}{x^2 – 19x + 88 \lt 0}$
l) $\color{green}{ 7x^2 + 28x \gt 0}$
m) $\color{green}{{\frac{2}{3}}x^2 -\frac{3}{5} \le 0} $
Obs.: Se tiver dúvida sobre a resolução de algum desses exercícios, faça contato comigo. Estes eu não vou resolver logo em seguida. Legal? Procure se virar nos trinta, meu!
Curitiba, 10 de junho de 2016. Revisto e adaptado em 08 de outubro de 2019.
Mas é esse mesmo o nome que damos a uma função do primeiro grau, cuja representação gráfica cartesiana, não passa pela origem do sistema de eixos cartesianos. Sua forma geral é do tipo \[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{maroon}{ y = a\cdot x + b }}\]
Coeficiente angular
O coeficiente do termo $\color{navy}{ax}$ é também nesse caso o coeficiente angular, indicando a inclinação da reta gráfica, em relação ao eixo das abcissas.
Coeficiente linear
Vejamos o que acontece se substituirmos a variável $\color{navy}{x}$ pelo valor 0(zero).
$ y = a\cdot 0 + b $ $\Leftrightarrow$ $ y = 0 + b = b $ $\Leftrightarrow$ $ y = b $
Isto significa que o ponto do plano cartesiano, corresponde ao valor do termo independente $\color{navy}{b}$, tem como abcissa o número $\color{navy}{0}$. Neste ponto ocorre a intersecção do gráfico, com o eixo das ordenadas.
Quando exprimimos uma grandeza $\color{maroon}{y}$ em função de uma expressão do primeiro grau da grandeza $\color{maroon}{x}$, dizemos que temos uma $\color{blue}{funç\tilde{a}o}$ do primeiro grau. \[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{y = f(x)}}\]
A função é denominada linear quando o termo independente é nulo ou inexistente. Quando a expressão do primeiro grau é completa ela ficará assim:
\[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{y = b + a\cdot x}}\].
Essa função é denominada afim e será vista depois.
Assim:
\[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{ y = a\cdot x}}\]
Multiplicação de números por dez, seus múltiplos e sub-múltiplos
Vamos multiplicar os decimais por 10!
Anteriormente falamos na multiplicação de números inteiros por ${10}$ e seus múltiplos. Agora que já conhecemos os números com aproximação decimal após a vírgula, vamos ver como ficam eles, quando multiplicados por ${10, 100, 1000 ou 0,1; 0,01; 0,001}$ e assim por diante.
Vamos lembrar, onde foi que colocamos a vírgula, quando fizemos as divisões não exatas. Não foi depois dos algarismos ditos inteiros? Pois é isso mesmo. De forma que um número inteiro, tem, depois de seu último algarismo uma vírgula, que fica subentendida, uma vez que não há parte decimal. Vamos ver o que acontece com a vírgula, nessa multiplicação.
Vimos no início do nosso estudo dos logaritmos que
${log_a{b} = x}$, tem como condição de existência que tenhamos:
${a > 0, a ≠ 1}$ ⇔ ${0 < a ≠ 1}$
${b > 0}$
Se estas condições não forem satisfeitas o logaritmo não existe. Isso nos leva a um tipo de expressão em que precisamos analisar uma ou mais situações e estabelecer a condição de existência daquele(s) logaritmo(s) especificamente.
