A matemática sempre procura uma forma de escrever as coisas de maneira mais simplificada, mais compacta. Nesse caso, uma soma de 3 parcelas de 3 laranjas, pode ser representada pela multiplicação
$\color{navy}{3\times 3}$ laranjas = 9 laranjas.
Podemos representar isso na forma de reunião de conjuntos do quantidades iguais de elementos.
Como vimos nos dois posts anteriores, existem funções de primeiro grau, cujos gráficos são paralelos. Basta que elas tenham coneficientes angulares iguais. O que as diferencia, é o coeficiente linear, ou seja, o número que não está ligado a uma variável pela operação de multiplicação ou divisão.
Lembrando: $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{ y = ax + b}}$
O coeficiente angular é o número que ocupa o lugar da letra $\color{navy}{a}$ e o coeficiente linear é o número que ocupa o lugar da letra $\color{navy}{b}$
Vamos recorrer a colocação dos polinômios na “chave” como fazemos na divisão de números com vários algarismos. Assim:
Começamos com os polinômios colocados em ordem decrescente dos expoentes da variável. Dividimos o termo de maior grau do dividendo, pelo termo de maior grau do divisor. Multiplicamos o divisor pelo quociente $x^2$. O resultado devemos subtrair dos termos de mesmo grau do dividendo. Que resulta em $3x^2$.
Na última vez que falamos desse assunto, vimos duas funções do tipo denominado função afim e deixamos alguns exercícios. Mas o assunto não ficou esgotado. Há mais coisas a saber sobre isso. Do mesmo modo que as funções lineares, também essas podem ter coeficiente angular negativo, isto é, apresentar-se na forma gráfica, inclinadas ao contrário dos dois exemplos vistos. Vejamos o primeiro.
Vamos determinar o conjunto verdade de algumas inequações do segundo grau, fazendo o estudo de sua variação de sinais em relação às raízes.
a) $\color{blue}{ -5x^2 + 25x + 70 \lt 0 }$
Vamos começar por identificar os coeficientes numéricos, comparando com a forma geral. Temos que $ a = -5 $, $ b = 25 $ e $ c = 70 $.
Para facilitar os cálculos, iremos dividir todos os termos por $-5$, simplificando e teremos \[\frac{-5x^2}{-5} + \frac{25x}{-5} + \frac{70}{-5} \lt 0\] \[x – 5x – 14 \lt 0\] Agora os coeficientes passam a ser $ a = 1$, $b = -5$ e $c = -14$. É o momento de determinar o discriminante \[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta = {(-5)^2 – 4\cdot 1\cdot (-14)}\] \[\Delta = 25 + 56 \] \[\Delta = 81\] O discriminante é positivo e portanto teremos duas raízes reais e diferentes que tornarão a expressão igual a zero. Calculando as raízes \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[ x = {{-(-5)\pm\sqrt{81}}\over {2\cdot 1}} \] \[x= {{5\pm 9}\over 2}\] \[x’ = {{5 + 9}\over 2} = {14\over 2} = 7\] \[ x” = {{5 – 9}\over 2} = {-4\over 2} = -2\] Temos pois para valores que anulam a expressão em $x$ os números $-2 $ e $7$. Vejamos como fica o comportamento na Reta Real.
Vimos que para valores externos das raízes, isto é, nesse caso para $x \lt -2$ ou $x \gt 7$ a expressão terá o mesmo sinal do coeficiente $a$ na inequação na forma original, sem simplificação. Vimos acima que $a = -5$ ou seja $ a \lt 0$, o que nos leva à conclusão de que o sinal será negativo para esses valores. Já para os valores compreendidos entre $ -2 $ e $7$, a expressão terá o sinal contrário de $a$, portanto positivo. Assim deduzimos que o conjunto verdade dessa inequação é dado por: \[\bbox[silver, 5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = \{ x \in R | x \lt -2 \vee x \gt 7\}}} \]
b)$\color{blue}{ 3x^2 + 15x -72 \ge 0}$
Identificamos os coeficientes $ a = 3$, $b = 15$ e $c = -72$. Observando esses valores, percebemos que é possível simplificar a expressão, dividindo todos os termos por $3$, o que nos dá \[\frac{3x^2}{3} +\frac{15x}{3} – \frac{-72}{3} \] \[ x^2 + 5x – 24 \ge 0\] Temos agora os novos coeficientes $ a= 1$, $b = 5 $ e $c = -24$. Vamos determinar o discriminante. \[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = 5^2 – 4\cdot 1\cdot {-24} \] \[\Delta = 25 + 96 \] \[\Delta = 121\] Temos novamente $\Delta \gt 0$ e em consequência duas raízes reais e diferentes.
As raízes $-8$ e $ 3$ anulam a expressão, enquanto os valores externos tornam a expressão positiva, por ter no mesmo sinal de $a$. Os valores internos tornarão a expressão negativa, que é o sinal contrário de $a$. Como a inequação é $\ge 0$, o conjunto verdade será também dado por:
\[\bbox[silver,5px,border: 2px solid blue]{\color{green}{V=\{ x \in R| x\le -8 \vee x \ge 3\}}} \]
c)$\color{blue} {x^2 -13x + 42 \le 0}$
Os coeficientes numéricos são $a=1$, $b= -13$ e $c = 42$. Notamos que agora não há simplificação a ser feita, pois o coeficiente $a =1$ e a expressão está na sua forma mais simples. Vejamos o discriminante:\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta=(-13)^2 – 4\cdot 1\cdot 42 = 169 – 168 = 1\] Temos então que $\Delta \gt 0$ e novamente as raízes são reais e diferentes. \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x={{-(-13\pm\sqrt{1}}\over{2\cdot 1}}\] \[x = {{13\pm 1}\over 2}\] \[x’= {{13 + 1}\over2} = {14\over 2} = 7\] \[x”={{13 – 1}\over 2} = {12\over 2} = 6 \] Lançando os valores $6$ e $7$ na Reta Real, teremos:
Para valores de $x$ a esquerda de $6$ ou a direita de $7$, a expressão será positiva, isto é, o mesmo sinal de $a$, que é positivo. Para valores internos do intervalo $6$ e $7$, a expressão será negativa, o sinal contrário de $a$. Assim sendo, a desigualdade da inequação é $\le$, o conjunto verdade será formado pelos números entre $6$ e $7$, inclusive.
Notamos que é possível simplificar a expressão, pois todos os coeficientes são múltiplos de $3$. Então \[\frac{3x^2}{3} – \frac{18x}{3} + \frac{72}{3} \] \[ x^2 – 6x + 24 \gt 0\]
Agora os nossos coeficientes são $a = 1$, $b = -6$ e $c = 24$. Vamos ao discriminante.
\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta = b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = {(-6)^2}\cdot 1\cdot {24} = 36 – 96 = -60\] Consequentemente constatamos que $\Delta \lt 0$, o que nos leva a conclusão de que nenhum número real tornará a expressão igual a zero. Como fica a inequação? Não temos ponto de referência para dizer que a expressão será positiva ou negativa para esse ou aquele valor. Vamos escolher três valores, sendo um negativo, o próprio zero e um positivo, substituindo e verificando o resultado. Sejam esses números $-3$, $0$ e $5$.
Fica evidenciado que para qualquer número real colocado no lugar de $x$ nessa inequação, o resultado é uma sentença verdadeira. Podemos concluir que o conjunto verdade é então o próprio conjunto dos números reais.
\[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = R}}\]
Se a mesma inequação tivesse o sinal de desigualdade $\lt $ no lugar de $\gt$, essas sentenças todas seriam falsas e portanto o conjunto verdade da inequação seria um conjunto vazio. Assim
\[3x^2 – 18x + 72 \lt 0\] \[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = \emptyset}}\] O mesmo aconteceria se tivéssemos os sinais de desigualdade $\ge$ ou $\le$, uma vez que teríamos a conjunção alternativa $\vee$, que tornaria as sentenças igualmente verdadeiras. É interessante notar que nestes casos o sinal da expressão é sempre igual ao sinal de $a$. Se $a\lt 0$, a expressão será sempre negativa, para qualquer número $x \in R$. Se $a \gt 0$, a expressão será positiva para qualquer valor de $x \in R$.
Agora é a sua vez de praticar. Analise os sinais das inequações e determine o conjunto verdade em cada caso.
a) $\color{green}{x^2 – 17x + 70 \le 0}$
b) $\color{green}{2x^2 + 4x – 48 \ge 0}$
c) $\color{green}{ x^2 – 5x – 36 \gt 0} $
d)$\color{green}{ 3x^2 – 108 \lt 0}$
e) $\color{green}{5x^2 – 35x \lt 0}$
f)$\color{green}{ 4x^2 – 12x + 44 \gt 0}$
g) $\color{green}{5x^2 + 110 \ge 3x^2 + 14x} $
h)$\color{green}{ 6x^2 + 54 \le 0} $
i) $\color{green}{4x -9 \gt x^2 }$
j) $\color{green}{x^2 – 19x + 88 \lt 0}$
l) $\color{green}{ 7x^2 + 28x \gt 0}$
m) $\color{green}{{\frac{2}{3}}x^2 -\frac{3}{5} \le 0} $
Obs.: Se tiver dúvida sobre a resolução de algum desses exercícios, faça contato comigo. Estes eu não vou resolver logo em seguida. Legal? Procure se virar nos trinta, meu!
Curitiba, 10 de junho de 2016. Revisto e adaptado em 08 de outubro de 2019.
Mas é esse mesmo o nome que damos a uma função do primeiro grau, cuja representação gráfica cartesiana, não passa pela origem do sistema de eixos cartesianos. Sua forma geral é do tipo \[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{maroon}{ y = a\cdot x + b }}\]
Coeficiente angular
O coeficiente do termo $\color{navy}{ax}$ é também nesse caso o coeficiente angular, indicando a inclinação da reta gráfica, em relação ao eixo das abcissas.
Coeficiente linear
Vejamos o que acontece se substituirmos a variável $\color{navy}{x}$ pelo valor 0(zero).
$ y = a\cdot 0 + b $ $\Leftrightarrow$ $ y = 0 + b = b $ $\Leftrightarrow$ $ y = b $
Isto significa que o ponto do plano cartesiano, corresponde ao valor do termo independente $\color{navy}{b}$, tem como abcissa o número $\color{navy}{0}$. Neste ponto ocorre a intersecção do gráfico, com o eixo das ordenadas.
Quando exprimimos uma grandeza $\color{maroon}{y}$ em função de uma expressão do primeiro grau da grandeza $\color{maroon}{x}$, dizemos que temos uma $\color{blue}{funç\tilde{a}o}$ do primeiro grau. \[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{y = f(x)}}\]
A função é denominada linear quando o termo independente é nulo ou inexistente. Quando a expressão do primeiro grau é completa ela ficará assim:
\[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{y = b + a\cdot x}}\].
Essa função é denominada afim e será vista depois.
Assim:
\[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{ y = a\cdot x}}\]
A necessidade de contar ou quantificar as coisas, como número de animais caçados, composição do rebanho com o surgimento da pecuária, volume de cereais e outros produtos colhidos. Até o número de soldados de um exército, levou o homem, há muito tempo, a criar números e símbolos para representá-los. Existiu, ao longo da história, uma imensa variedade de sistemas de numeração. Muitos deles associados a alguma coisa ou até a uma parte do próprio corpo.
Assim, os indígenas que habitavam a América, utilizavam um sistema de numeração de base 5(cinco), que é o número de dedos de uma mão. Os povos fenícios da antiguidade, usaram e espalharam por todos os lugares onde comerciavam, seu sistema de numeração sexagesimal , isto é, de base 60. É deles que vem a divisão de uma hora em 60 minutos, e um minuto em 60 segundos. Uma circunferência é dividida em 360º, cada grau dividido em 60′ e cada minuto em 60″.
Os sistemas de informática, são baseados na numeração de base 2 (dois) ou numeração binária. Associada, inicialmente à uma lâmpada apagada, representando o número 0(zero) e uma lâmpada acesa representando o número 1(hum)
Chamamos produto cartesiano de dois conjuntos numéricos A e B, ao conjunto de pares ordenados $\color{maroon}{(x; y)}$, onde $\color{maroon}{ x\in A} $ e $\color{maroon}{ y\in B}$.
Simbólicamente fica
$\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{maroon}{ A X B =\{{(x;y)} | x \in A \wedge y \in B\}}}$. Lê-se:“A cartesiano B é igual aos pares (x;y), tais que x pertence a A e y pertence a B”.
Podemos inverter a ordem:
$\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{maroon}{B X A = \{{(x;y)} | x\in B \wedge y \in A\}}}$. Lemos: “B cartesiano A, é igual aos pares (x;y), tais que x pertence a B e y pertence a A”.
Vejamos como fica isso na prática. Sejam os conjuntos:
Houve um tempo em que os professores, depois de ensinar aos educandos o reconhecimento e escrita dos números em algarismos arábicos, lhes ensinavam as quatro operações fundamentais. Logo em seguida eram feitas sessões de Cálculo mental. Como se faz isso? Certamente haverá quem pergunte. Com certeza que a primeira forma de cálculo mental é a memorização da tabuada. Nesse processo se utilizam recursos de contar nos dedos, contar os elementos de vários conjuntos iguais e outras formas encontradas pela criatividade dos mestres. Lembro meu professor primário nos fazia, em um dia determinado, recitar a tabuada desde o ${{1}\cdot{1}}$ até o ${{10}\cdot{10}}$, durante a formatura e entrada para as aulas depois do recreio. Era multi-seriado e todos entravam na roda. Os menores iam aprendendo meio que na marra. Uma vez consolidado minimamente o conhecimento da tabuada, pode-se iniciar alguma coisa de cálculo mental. Inicia-se por perguntar de modo salteado os produtos de dois números. A recitação da tabuada de modo sequencial, leva ao chamado decoreba. Isso serve num primeiro momento, mas depois começa a ficar fundamental lembrar como por exemplo: Quanto é ${{3}\cdot{5} = …}$ e ${{5}\cdot{4} = …}$ Assim sucessivamente. Por que é importante saber os produtos de números de um algarismo entre si? Imaginaram fazer a multiplicação de um número com três algarismos por um outro de um ou dois algarismos e ser obrigado a recorrer a uma folha de papel localizando ali os resultados das multiplicações parciais? Isso tornaria o processo algo bem demorado e complicado. Estou até ouvindo muita gente dizer: Já inventaram a calculadora há tempo. Não precisa mais disso. Se o objetivo for apenas saber o resultado, concordo.
Eu sei que a calculadora dá o resultado bem depressa e correto, desde que sejam digitados os números e sinais de operações corretamente. Basta esbarrar em uma tecla errada e poderá ver estragada a operação, sendo preciso recomeçar.
Não é só isso. Nosso cérebro é como um músculo. Quanto menos é usado, mais ele atrofia. Verdade. Quanto mais você exercita o raciocínio, mais habilidade adquire. Lembro que, aos 6/7 anos comecei a vida escolar e aprendi os números. Em um momento dessa época, minha mente associou uma espécie de “escada”, mas não reta. Talvez melhor uma cerca com os palanques espaçados de distâncias iguais. Mais tarde isso veio ser confirmado com a tal reta numérica, associada aos números naturais, depois inteiros, reais e por aí vai. O uso da memória é muito mais questão de treino do que de capacidade natural. Há quem seja naturalmente bem dotado, mas mesmo os demais, podem exercitar e alcançar um excelente desempenho.
Como se pode fazer cálculos mentais? Temos que começar com os mais fáceis e aos poucos aumentar a complexidade. Vejamos como exemplo a soma de dois números: ${ 27 + 44}$
O habitual é escrever um embaixo do outro e somar, mas para isso precisamos ter papel e lápis ou caneta. Mentalmente podemos fazer essa soma em partes. O número pode ser decomposto nas suas unidades e dezenas: ${ 27 = 20 + 7}$ ${44 = 40 + 4}$
Somando as dezenas vamos ter: ${20 + 40 = 60}$ Somando as unidades, temos: ${7 + 4 = 11}$ Agora é juntar os dois: ${60 + 11 = 71}$ A vantagem é que isso, com o treino pode ser feito em um ou dois segundos. Muito menos tempo do que você gastaria até localizar a calculadora em seu celular, abri-la no computador e digitar os números. De quebra ainda ganha maior desenvoltura de raciocínio, até mesmo a admiração dos outros, embora esse não deva ser o principal motivo. Aos poucos, você pode fazer essas operações em escala mais avançada. Separa os números em suas unidades, dezenas, centenas, milhares e assim por diante. Na prática é o que fazemos no papel, apenas usamos a memória para guardar as partes que vamos somando e juntamos tudo no final.
Vejamos um caso de multiplicação: ${{37} \cdot{8} = ?}$
O número${37}$ pode ser decomposto em ${30 + 7}$ O ${{30}\cdot{8} = 240}$ (${3\cdot{8}}$, acrescido de um zero).
O ${{7}\cdot{8} = 56}$.
Agora basta somar ${240 + 56 = 296}$.
Comece com casos simples e aos poucos, quando a confiança crescer, aumente a dificuldade das operações. Ninguém se torna um campeão de velocidade de um momento para outro. É preciso muito treino. Se você quer alcançar mais desenvoltura em matemática e mesmo em outras áreas, comece por treinar cálculos mentais. Podem ser feitos inclusive durante a malhação dos músculos. Os neurônios do raciocínio são independentes dos que comandam a musculatura corporal.
Só se pode fazer somas e multiplicações dessa maneira? Não. Todas as operações podem ser feitas, pelo menos até certo grau de complexidade, apenas com o uso da memória e raciocínio, sem gastar nem lápis, caneta ou papel. Essas contas te ajudam a conferir ou mesmo saber de imediato o troco que a dar ou receber no momento do pagamento ou recebimento de um determinado valor, de certa mercadoria ou serviço.
Você só vai saber a diferença se puser essas ideias em prática. Sem isso, nada acontece e o cérebro fica preguiçoso. Isso mesmo. Eu lanço o desafio a quem estiver disposto a tentar. Só depende de você. Eu não posso exercitar a mente em seu lugar, assim como ninguém pode “malhar” no lugar de outro. Isso não é terceirizável. Estou hoje com 70 anos e ainda faço muitos cálculos mentalmente. Não é por me faltar o recurso de uma calculadora, mas pelo simples prazer de exercitar minha mente.
Vejamos mais uns exemplos e depois deixarei algumas proposições para que você comece exercitando sua capacidade de raciocínio e memória. Façamos a seguinte operação: 257 x 11. Se fossemos fazer no papel usando lápis ou caneta, iríamos escrever o número 257 duas vezes uma abaixo da outra, com o deslocamento das unidades para a ordem das dezenas, das dezenas para a ordem das centenas e as centenas para a ordem dos milhares. Começando da direita para esquerda teríamos: ${7 + 0 = 7}$, depois ${5 + 7 = 12}$. Como ainda temos as centenas ficará uma centena reservada e teremos ${1 + 2 + 5 =8}$ e por último ${0 + 2 = 2}$. Isso nos dará como resultado o número ${2827}$. Também poderíamos fazer a soma ${2570 + 257 = 2827}$ que resulta no mesmo.
Que tal obter o resultado de ${364\div { 14}}$!? Teremos na primeira parte ${36 \div{14} = 2}$. Ao multiplicar ${14\cdot2 = 28}$. De ${28}$ para ${36}$ restam ${8}$. Acrescentando o último algarismo ${4}$ ao resto teremos ${84\div{14} = 7}$ e ${14\cdot{7} =84}$, restando agora zero. Isto quer dizer que a divisão tem como resultado o número ${27}$. Podemos escrever ${364\div{14} = 27}$.
Pior que esse hábito vicia! (Pelo menos para mim sempre foi assim). Vamos tentar mais uma agora?! ${3458 + 753}$ Decompondo os números em suas ordens e adicionando os algarismos de mesma ordem fica:
${8 + 3 = 11}$ – uma unidade simples e uma dezena.
${50 + 50 = 100}$ – são dez dezenas ou uma centena
${400 + 700 = 1100}$ – hum milhar e uma centena ${3000 + 0 = 3000}$ – três milhares.
Somando as partes teremos: ${3000 + 1100 + 100 + 11 = 4211}$
Você pode fazer esse mesmo procedimento no papel, mas, na ausência desse recurso, a memória pode ajudar muito. O treinamento transforma seu cérebro em um “processador” de alta velocidade. Lembro do tempo em que lecionava física e matemática. Costumava fazer mentalmente o cálculo mais depressa do que alguns alunos que pegavam suas calculadoras e digitavam a operação. Enquanto eles retiravam a máquina do bolso ou da pasta eu já sabia do resultado. Isso lhes causava admiração, mas poderiam ter atingido a mesma rapidez, bastando que tivessem exercitado.
Apenas para estimular você leitor, vou sugerir algumas operações para serem feitas sem usar de material para e escrever. Começaremos bem de leve e aos poucos você irá se auto-propondo outros exercícios mais complexos. Talvez seja conveniente depois fazer o cálculo no papel ou mesmo na calculadora para conferir se acertou.
Se tiver dúvidas, por obséquio me pergunte. Se eu não souber responder de imediato, podemos dialogar e discutir a questão. Estou sempre à disposição para fazer uso do raciocínio. Curitiba, 06 de outubro de 2019
