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10 de outubro de 2018

010.1 – Matemática, aritmética. Propriedades da multiplicação. Comutativa.

Propriedades da multiplicação.

Se para a adição existem propriedades, vamos ver a multiplicação. Afinal, em outro momento vimos que a multiplicação nada mais é do que uma adição de parcelas iguais.

Será que a propriedade comutativa é aplicável à multiplicação? (Lembremos que ela consiste em mudar a ordem das parcelas. Aqui vamos então trocar a ordem dos fatores).

Observem:

$\color{navy}{7 \times 4 = ?}$ $\color{navy}{ (28)}$
$\color{navy}{4 \times 7 = ?}$ $\color{navy}{(28)}$
$\color{navy}{3 \times 6 \times 10 = ?}$ $\color{navy}{(180)}$
$\color{navy}{6\times 3\times 10 = ?} $ $\color{navy}{(180)}$
$\color{navy}{10\times 3\times 6 = ?}$ $\color{navy}{(180)}$

22 de julho de 201810 de outubro de 2018

009.2 – Matemática, aritmética, Operações com naturais, Propriedade associativa da adição.

Propriedade associativa da adição

Vamos olhar agora uma expressão com várias parcelas.

$\color{navy}{12 + 8 + 25 + 15 = 25 + 12 + 15 + 8 = 60}$.

Nesse caso podemos fazer uma “associação”, como segue:

$\color{navy}{(12 + 8) + (25 + 15) = 20 + 40 = 60}$

Nós substituímos, na segunda fase, as parcelas $12$ e $8$ por sua soma ou associação que é $20$, assim como $25$ e $15$, associados dão $40$. Observe que a soma deu o mesmo resultado. Poderíamos ter feito também a associação de forma diferente:

$\color{navy}{(25 + 12) + (15 + 8) = 37 + 23 = 60}$ ou
$\color{navy}{(12 + 8 + 25) + 15 = 45 + 15 = 60}$ ou ainda
$\color{navy}{12 + (8 + 25 + 15) = 12 + 48 = 60}$

Essa propriedade é denominada

Propriedade associativa: Numa soma de várias parcelas, podemos substituir duas ou mais parcelas pela sua soma (associação).

Vamos usar essa propriedade quando formos fazer uma coisa chamada “redução de termos semelhantes na álgebra”, e isso é sumamente importante. Aguarde para ver.

Que tal exercitar um pouco?

$\color{brown}{32 + 15 + 24 = ( …+ …) +… = … + (…+ …) =…}$
$\color{brown}{6 + 9 + 4 + 13 + 4 = (… +…+ …) + (…+…) =…}$
aplique sucessivamente a propriedade associativa nas adições.
$\color{brown}{15 + 9 + 27 +35} = ?$
$\color{brown}{13 + 52 + 32 + 19 + 28} = ?$
$\color{brown}{57 + 23 + 74 + 87 + 18} = ?$
$\color{brown}{15 + 35 + 23 + 67} = ?$
$\color{brown}{7 + 11 + 47 + 55} = ?$
$\color{brown}{117 + 238 + 55 + 43} = ?$
$\color{brown}{45 + 32 + 29 + 87} = ?$
Crie seus próprios exercícios para fixar bem esse assunto.

Temos mais uma propriedade na adição. Vamos ver qual é?

Se tivermos a adição:

$\color{navy}{5 + 8 = 8 + 5 + 0 = 13}$
$\color{navy}{9 + 3 + 6 = 3 + 9 + 6 + 0 = 18}$

Note que nos dois exemplos, inserimos uma nova parcela, sem alterar o resultado. Essa parcela foi o número “zero”. Isso nos mostra que, se adicionarmos o número “zero” a qualquer soma, o resultado não se altera. Por essa razão essa propriedade é denominada:

Propriedade do Elemento neutro:

o zero é o elemento neutro da adição.

Em qualquer soma, a presença de uma parcela igual a zero, o resultado não sofre alteração.

Propriedade do fechamento:
dizemos que uma operação é fechada em um determinado conjunto numérico, se ela é sempre possível de ser realizada nesse conjunto.
Ainda não falamos de outros conjuntos numéricos e portanto estamos operando, neste momento, no conjunto dos números naturais.
$\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{\{N = 0,1,2,3,3,4,6,…,\infty\}}}$
Observamos nos exemplos vistos antes e podemos fazer muitos outros, verificando que a adição de dois números naturais, sempre resulta em um outro número natural. Isto significa que a adição é sempre possível no conjnto N. Por isso, podemos afirmar que:
“A adição é fechada para o conjunto dos números naturais”.

Curitiba, 22 de julho de 2018

Décio Adams

22 de julho de 201810 de outubro de 2018

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009.1 – Matemática, aritmética, operações com naturais. Propriedades da adição.

Propriedades das quatro operações básicas.

O termo propriedade aqui não é usado no sentido de posse, como quando adquirimos um bem. Ele passa a ser nossa propriedade. Tem aqui o significado de alguma coisa que lhe é característica, própria, que faz parte. Lembro de ouvir muitas vezes os alunos perguntarem:

Para que serve isso, professor?

Nem sempre é fácil explicar, assim na hora, como se diz, “na lata” ou “na bucha”, para que serve determinado conteúdo. Mas, com certeza, ele será útil em um momento futuro e, quando for hora de usar, pode faltar tempo para voltar atrás e aprender. Por isso, esse assunto, aparentemente sem “razão de ser”, ou seja, inútil, é muito importante no desenvolvimento de conteúdos posteriores. Apenas para adiantar, é fundamental no aprendizado da álgebra. No momento oportuno vou mostrar como.

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20 de julho de 2018

006.3 – Matemática, aritmética, operações com naturais. Multiplicação III.

Multiplicação com múltiplos algarismos

Agora iremos ter os dois fatores com mais de um algarismo. Estaremos dando mais um passo no rumo dos níveis mais altos da matemática. Agora teremos mais de uma linha abaixo do traço horizontal e teremos necessidade de adicionar as colunas conforme a posição de cada algarismo. Vejamos:

${12\cdot 78 = ?}$
- 78
X 12

Começamos multiplicando ${2\cdot 8 = 16}$. O 6, algarismo das unidades será escrito sob a coluna das unidades e 1, algarismo das dezenas, fica reservado para adicionar no próximo passo. Vamos multiplicar ${2\cdot 7 = 14}$ e adicionamos ${1}$ que é a dezena reservada ${14 + 1 = 15}$. Este número ${15}$ irá para a esquerda do ${6}$, formando na primeira linha o número ${156}$.
- 78

X 12

156

Agora iremos multiplicar ${10\cdot 78}$. Multiplicar por ${10}$, resulta o número ${780}$, que será colocado sob a primeira linha.78

X 12

156 (primeira linha)

780 (segunda linha)

936 – resultou: novecentos e trinta e seis.

Nas unidades temos o ${6}$ na primeira linha. Na coluna das dezenas ${5 + 8 = 13}$. O ${3}$ é colocado na coluna, reservando ${1}$ centena para adicionar na coluna própria. Nas centenas temos então ${1 + 1 + 7 = 9}$, completando assim o produto de ${12\cdot 78}$.

Vamos a mais um exemplo.

${35\cdot 136 = ?}$
- 136

X 35

Temos ${5\cdot 6 = 30}$

${5\cdot 3 = 15}$ ⇔ ${ 15 + 3 = 18}$ ⇒${10 + 8}$

${5\cdot 1 = 5}$ ⇒ ${5 + 1 = 6}$

Teremos na primeira linha o número 680.

Na segunda linha ${3\cdot 6 = 18}$ ⇒ ${10 + 8}$.

${3\cdot 3 = 9}$ ⇒ ${1 + 9 = 10}$ ⇒ ${10 + 0}$.

${3\cdot 1 = 3}$⇒ ${1 + 3 = 4}$

Na segunda linha formamos o número 408, que escrevemos abaixo da primeira linha, deixando a coluna das unidades vaga ou a completamos com um 0 (zero).

136

X 35

680

4080

4760 (quatro mil setecentos e sessenta) é o produto resultante.

Hora de exercitar novamente.

Efetue as multiplicações indicadas abaixo.
- ${24\cdot 169 = ?}$
- ${19\cdot 324 = ?}$
- ${42\cdot 275 = ?}$
- ${32\cdot 538 = ?}$
- ${65\cdot 417 = ?}$
- ${71\cdot 814 = ?}$
- ${84\cdot 742 = ?}$
- ${54\cdot 249 = ?}$
- ${66\cdot 461 = ?}$
- ${84\cdot 569 = ?}$
- ${32\cdot 803 = ?}$

Com estes exemplos resolvidos, você tem condições de se orientar em outras multiplicações semelhantes, bastará escolher números quaisquer e aplicar o mesmo raciocínio.

Curitiba, 15 de outubro de 2017. Atualizado em 20 de julho de 2018.

Decio Adams, IWA

20 de julho de 201820 de julho de 2018

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006.2 – Matemática, aritmética. Operações com naturais. Multiplicação.

Avançando com a multiplicação.

No post anterior, aprendemos a multiplicar os números com apenas um algarismo. Espero ter conseguido mostrar como se procede e que tenha dominado esse conteúdo. Havendo alguma dúvida, por favor, peça maiores explicações, fazendo um comentário expondo sua dificuldade. E quando os fatores forem números com mais de um algarismo, como iremos proceder? A operação é a mesma, apenas torna-se difícil fazer a representação concreta de conjuntos, depois contar os elementos para obter a resposta. Mas não se aflija. Novamente usaremos a escrita na forma de colunas e multiplicaremos todos os algarismos de um fator, por todos os algarismos do outro fator, escrevendo os resultados sob as colunas correspondentes. Se houver mais de uma linha, adicionaremos os valores de cada coluna, partindo da direita para a esquerda. A soma encontrada será o produto dos números. Nada melhor do que mostrar como se procede, com um bom exemplo resolvido.
${18\cdot 4 = ?}$

X 4

Começamos da direita para esquerda, multiplicando ${4\cdot 8 = 32}$. O produto resultou em mais de uma dezena. Colocamos o algarismo das unidades (2), na direita, abaixo do quatro e reservamos as (3) dezenas para serem adicionadas ao resultado da multiplicação de ${4\cdot 1 = 4}$; adicionamos as dezenas reservadas ${4 + 3 = 7}$. Colocando o 7 à esquerda do dois, teremos o resultado da multiplicação.

72 (setenta e dois é o produto: ${4\cdot 18 = 72}$).

Um outro exemplo: ${6\cdot 35 = ?}$

X 6

Começando novamente da direita: ${6\cdot 5 = 30}$. O algarismo das unidades é (0) e reservamos três dezenas para o próximo passo. Fazendo ${6\cdot 3 = 18}$. Adicionamos as três dezenas e temos ${18 + 3 = 21}$, que será escrito à esquerda do (0) das unidades. Teremos:

X 6

210 (duzentos e dez, será o produto)

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20 de julho de 201820 de julho de 2018

006.1 – Matemática, aritmética. Multiplicação.

Crescei e multiplicai-vos

É isso que o Criador disse aos primeiros homens a caminhar sobre a Terra. Mas a nossa multiplicação aqui é um pouco diferente. Vamos multiplicar números, começando por entender o que significa essa operação. Observe o exemplo.

{♦, ♦} + {♦, ♦} + {♦,♦} = {♦,♦,♦,♦,♦,♦} ⇒ ${{ 2 + 2 + 2} = 6}$

Note que o conjunto de dois elementos foi adicionado três vezes, ou seja, temos uma adição de parcelas iguais, onde cada parcela tem dois elementos. Sempre que surge a ocasião de simplificar a forma de escrever ou seja traduzir em palavras ou símbolos uma sentença matemática, nós o fazemos. Nesse caso, podemos fazer a multiplicação e fica assim:

${3\cdot {♦,♦,} = {3\cdot 2} = 6}$

Lemos aqui: “Tres vezes dois é igual a seis”. Os dois números multiplicados recebem o nome de fatores.

A multiplicação na verdade é nada mais nada menos que uma adição de parcelas iguais. É importante lembrar desse detalhe, pois será muito útil em situações que virão pela frente.

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19 de julho de 201819 de julho de 2018

005.2 – Matemática, aritmética. Subtração.

Subtração

Observe que nos exemplos e exercícios anteriores, propositalmente eu coloquei números de modo que sempre o algarismo do minuendo é maior que o do subtraendo. O objetivo era mostrar como se procede nesse caso.

Agora, vamos ver o que fazer quando se trata de subtrair um número maior de um menor. Olha só:

46 – 29 =

4 6

– 2 9

Observe que na coluna das dezenas temos (6 – 9 = ?). Com o que aprendemos até aqui, não é possível subtrair 9 unidades de onde há somente 6 delas. O que as pessoas, principalmente nas comunidades menores, onde todos se conhecem, fazem se por acaso faltar açúcar para adoçar o café ou o chá? Alguém corre até a vizinha e pede uma xícara ou copo do produto emprestado. Quando comprar, devolve e pronto. Nós vamos fazer algo parecido. Veja o algarismo das dezenas. Ele tem unidades sobrando em relação ao subtraendo e pode emprestar uma dezena ao 6, formando então 16, o que torna possível a subtração ( 16 – 9 = 7).

Como o 4 emprestou uma dezenas de unidades ao seu “vizinho” 6, ele agora só possui mais 3 dezenas e a operação fica assim (3 – 2 = 1). Colocamos os dois algarismos nas colunas e formamos o número 17, que é a diferença dos números dados.

–

subtração em colunas 3 — Subtraindo manualmente 3

607 – 259 =

6 0 7

-2 5 9

subtração em colunas 4 — Subtraindo manualmente 4

348

Note que nas unidades temos (7 – 9 = ?). Não é possível. Precisamos emprestar do vizinho. Mas a casa vizinha está vazia, não mora ninguém (0). Vamos emprestar uma unidade de centenas do 6, nessa ordem. Uma centena tem dez dezenas e o (0) também vai precisar emprestar para poder subtrair dele o 5. Então pegamos uma das 10 dezenas e juntamos ao 7, formando 17 e as outras 9 dezenas ficam no lugar do (0) e podemos fazer a subtração (17 – 9=8). Depois (9 – 5 = 4) e por último (5 – 2 = 3). Não podemos esquecer que o 6 emprestou uma de suas centenas aos vizinhos “mais pobres” para que eles pudessem pagar a “conta” (kkkkkkk).

Colocamos os resultados nas suas colunas e temos

607 – 259 = 348.

3479 – 1684 =

3 4 7 9

-1 6 8 4

Na coluna das unidades temos (9 – 4 = 5). Na coluna das dezenas (7 – 8=?) o que é impossível. Vamos ver se o vizinho empresta uma centena. O vizinho tem 4 unidades de centena e pode emprestar uma. Fica (17 – 8 = 9). Agora nas centenas ficou (3 – 6 =?) é impossível. Novamente emprestamos do vizinho, mais rico, que tem 3 milhares e pode emprestar um. Ficamos com (13 – 6 = 7) e por último nos milhares ficamos com (2 – 1 = 1). Temos todos os algarismos para formar o número que é a diferença.

3 4 7 9

-1 6 8 4

subtração em colunas 5 — Subtraindo manualmente 5

1 7 9 5

Vamos ver se ficou entendido. Se ficar alguma dúvida, pergunte que eu esclareço depois. Chegou a vez de fazer exercícios.

Efetue as subtrações.
- 73 – 32 =
- 92 – 57 =
- 167 – 86 =
- 462 – 349 =
- 853 – 537 =
- 651 – 423 =
- 1567 – 925 =
- 3749 – 1567 =
- 20534 – 12528 =
- 5781 – 4059 =
- 6724 – 2549 =
- 17243 – 8934 =
- 304752 – 95863 =

Prova real

Dissemos no começo do texto que a subtração é a operação inversa da adição. Se isso é verdadeiro, deve ser possível tirar a prova, isto é, verificar se o resultado está correto. Vamos ver como é que se faz isso?

Se: 607 – 259 = 348, então

prova da subtração — Prova real da subtração

348 + 259 = 607

Se fizermos a soma do resto (diferença) com o subtraendo, encontraremos o minuendo. Isso sempre será verdadeiro e vale a mesma coisa, apenas em sentido inverso para tirar a prova da soma.

Faça a prova real dos resultados da lista de exercícios deixada acima. Assim você comprova que fez a subtração da forma correta.

Se houver dúvidas, entre em contato por meio de um dos canais abaixo e peça ajuda. Não fique em dificuldades, peça auxílio para sanar o problema.

Curitiba, 19 de julho de 2018

Decio Adams, IWA