Radiciação, Potênciação, expoente negativo.
Já vimos que a radiciação é a operação inversa da potênciação. Lembrando:
- Expoente igual a zero : potência de expoente zero, tem valor igual a 1.
- divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes.
- Então vejamos o seguinte: \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{\frac {1}{3^5}}}\]
Como vimos acima, podemos substituir o número 1, por uma potência de qualquer base e expoente igual a 0(zero). Assim nossa expressão acima, irá ficar:
\[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{\frac {3^0}{3^5} = 3^{(0 – 5)}}}\]
Não resta dúvida de que a expressão \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{\frac{1}{3^5} = 3^{-5}}}\]
- Podemos converter denominador com determinado expoente,em um fator acima do traço de fração, ou seja parte do numerador, trocando sinal do expoente. Mais exemplos:
- $\color{Brown}{\frac {1}{5^3} = 5^{-3}}$
- $\color{Brown}{\frac{1}{2^4} = 2^{-4}}$
- $\color{Brown}{\frac{2}{3^{-2}} = 2\times {3^2}}$
- $\color{Brown}{\frac{3^5}{5^{-4}} = {3^5}\times{5^4}}$
Não fica difícil entender que, o denominador com expoente negativo, passa para o numerador com o mesmo expoente, porém positivo. Vejam como:
- $\color{Maroon}{\frac {1}{7^{-5}} = 7^5 }$
- $\color{Maroon}{\frac{1}{{11}^{-4}} = {11}^4}$
Do mesmo modo, podemos transformar uma potência com expoente negativo, em fração cujo numerador é a unidade e o denominador a mesma potência com expoente positivo. Assim:
- $\color{Maroon}{7^{-3} = \frac{1}{7^3}}$
- $\color{Maroon}{5^{-7} = \frac{1}{5^7}}$
- Exercícios para treinar esses procedimentos.
- Transformar as frações com potências, em expressões com expoentes de sinal trocado.
- $\color{Sepia}{ \frac{1}{7^2}}$
- $\color{Sepia}{\frac{1}{8^{-4}}}$
- $\color{Sepia}{\frac{1}{5^5}}$
- $\color{Sepia}{\frac{1}{3^{-4}}}$
- $\color{Sepia}{ \frac{2}{3^4}}$
- $\color{Sepia}{\frac{5}{6^5}}$
- $\color{Sepia}{\frac{1}{13^{-4}}}$
- Escreva as potências na forma de frações com expoentes.
- $\color{Sepia}{5^{-4}}$
- $\color{Sepia}{3\times 7^{-3}}$
- $\color{Sepia}{6^{5}}$
- $\color{Sepia}{7\times 3^7}$
- $\color{Sepia}{9^{-5}}$
- $\color{Sepia}{2\times 5^{-6}}$
- $\color{Sepia}{3\times 8^{4}}$
- Transformar as frações com potências, em expressões com expoentes de sinal trocado.
Vou aqui resolver os exercícios do último post que fiz sobre radiciação. Vamos ver se você conseguiu chegar às respostas. (Com o tempo você poderá omitir alguns passos intermediários, na medida que sua prática aumentar).
Façamos alguns exercícios aplicando o que foi visto acima. (No post anterior).
- 1). $\color{Brown}{(\sqrt {3^3})^4} $
- $ (\sqrt[2] {3^3})^4 = \sqrt[2] {3^{3\times 4}} = \sqrt[2] {3^{12}} = 3^{12/2} = 3^6 = 64 $
- 2). $\color{Brown}{(\sqrt[5]{7^4})^3}$
- $ (\sqrt[5] {7^4})^3 = \sqrt[5] {7^{4\cdot 3}} = \sqrt[5] {7^{12}}\\ = \sqrt[5] {7^{10}} \times \sqrt[5] {7^2} = 7^{10/5}\times \sqrt[5] {7^2} = 7^2\times \sqrt[5]{7^2}\\ =49\times\sqrt[5] {49}$
- 3). $\color{Brown}{(\sqrt [6]{4^3})^4}$
- $ (\sqrt[6] {4^3})^4 = \sqrt[6] {4^{3\times 4}} = \sqrt[6] {4^{12}}\\ = 4^{12/6} = 4^2 = 16$
- 4). $\color{brown}{(\sqrt[3]{5^4})^3}$
- $ (\sqrt[3] {5^4})^3 = \sqrt[3] {5^{4 \cdot 3}} = \sqrt[3] {5^{12}}\\ = 5^{12/3} = 5^4 = 625 $
- 5). $\color{Brown}{(\root 9\of {7^3})^5}$
- $(\sqrt [9] {7^3})^5 = \sqrt[9] {7^{3\times 5}} = \sqrt[9] {7^{15}}\\ = 7^{15/9} = 7^{5/3} = \sqrt[3] {7^5} = \sqrt[3] {7^3} \times\sqrt[3] {7^2}\\ = 7\times \sqrt[3] {7^2}$
- Simplifique as expressões.
- 1). $\color{Brown}{(\sqrt[3]{4^2}\times\sqrt[3]{2^3}\times\sqrt[3]{5^4})^3}$
- $(\sqrt[3] {4^2})^3 \times (\sqrt[3] {2^3})^3\times(\sqrt[3] {5^4})^3 = \sqrt[3] {4^{2\cdot 3}} \times\sqrt[3] {2^{3\times 3}} \times\sqrt[3] {5^{4\times 3}} \\ = 4^{6/3}\times 2^{9/3}\times 5^{12/3} = 4^2\times 2^3\times 5^4 \\ = 16\times 8\times 625 = 80000$
- 2). $\color{Brown}{(\sqrt[4]{3^5}\times\sqrt[4]{6^3}\times\sqrt[4]{2^4})^5}$
- $(\sqrt[4]{3^5})^5\times(\sqrt[4]{6^3})^5\times(\sqrt[4]{2^4})^5 = \sqrt[4]{3^{5\times 5}}\times\sqrt[4]{6^{3\times 5}}\times\sqrt[4]{2^{4\times 5}} = \sqrt[4]{3^{25}}\times\sqrt[4]{{(2\times 3)}^{15}}\times\sqrt[4]{2^{20}}$
- =
- $\sqrt[4]{3^{24}}\cdot\sqrt[4]{3}\cdot\sqrt[4]{2^{12}}\sqrt[4]{2^3}\times\sqrt[4]{3^{12}}\times\sqrt[4]{3^3}\sqrt[4]{2^{20}}=3^{24/4}\times\sqrt[4]{3}\times 2^{12/4}\times\sqrt[4]{2^3}\times 3^{12/4}\times\sqrt[4]{3^3}\times 2^{20/4}$
- =
- ${3^6}\times{2^3}\times{3^3}\times{2^{5}}\times\sqrt[4]{3}\times\sqrt[4]{3^3}\times\sqrt[4]{2^3} = {3^{9}}\times{2^{8}}\times\sqrt[4]{3^{4}}\times\sqrt[4]{2^{3}}$
- =
- ${15116544}\times\sqrt[4]{8}$
- 3). $\color{Brown}{(\sqrt[5]{7^3} \times\sqrt [5]{5^4}\times\sqrt[5]{3^4}\times\sqrt[5]{15^5})^4}$
- $(\sqrt[5]{7^3})^4\times(\sqrt[5]{5^4})^4\times(\sqrt[5]{3^4})^4\times(\sqrt[5]{(3\times 5)^5})^4 = \sqrt[5]{7^{12}}\times\sqrt[5]{5^{16}}\times\sqrt[5]{3^{16}}\times\sqrt[5]{{3^{20}}\times {5 ^{20}}}$
- =
- $\sqrt[5]{7^{10}}\times\sqrt[5]{7^2}\times\sqrt[5]{5^{15}}\times\sqrt[5]{5}\times\sqrt[5]{3^{15}}\times\sqrt[5]{3}\times 3^4\times 5^4 = 81\times 625\times 7^{10/5}\times\sqrt[5]{7^2}\times 5^{15/5}\times\sqrt[5]{5}\times 3^{15/5}\times\sqrt[5]{3}$
- =
- $50625\times 7^2\times 5^3\times 3^3\sqrt[5]{7^2}\times\sqrt[5]{5}\times\sqrt[5]{3} \\= 50625\times 49\times 125\times 9\times\sqrt[5]{7^2}\times\sqrt[5]{5}\times\sqrt[5]{3} $
- =
- $2.790.703.125\times\sqrt[5]{{7^2}\times 5\times 3} \\ = 2.790.703.125\times \sqrt[5]{735}$
Obs.: Em caso de dúvidas, faça contato por meio de um dos canais fornecidos abaixo. Estou à disposição para esclarecer quaisquer outras dúvidas dentro do assunto aqui apresentado, mesmo de outro nível.
Curitiba, 09 de março de 2015 (Revisado e atualizado em 18 de julho de 2016). Republicado em 15 de novembro de 2017.
Décio Adams
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