01.024 – Matemática – Aritmética. Potências com expoente negativo.

Radiciação, Potênciação, expoente negativo.

Já vimos que a radiciação é a operação inversa da potênciação. Lembrando:

  • Expoente igual a zero : potência de expoente zero, tem valor igual a 1.
  •  divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. 
  • Então vejamos o seguinte:   \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{\frac {1}{3^5}}}\]

Como vimos acima, podemos substituir o número 1, por uma potência de qualquer base e expoente igual a 0(zero). Assim nossa expressão acima, irá ficar:

\[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{\frac {3^0}{3^5}  = 3^{(0 – 5)}}}\]

Não resta dúvida de que a expressão \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{\frac{1}{3^5} = 3^{-5}}}\]

  • Podemos converter denominador com determinado expoente,em um fator acima do traço de fração, ou seja parte do numerador, trocando sinal do expoente. Mais exemplos:
  • $\color{Brown}{\frac {1}{5^3} = 5^{-3}}$
  • $\color{Brown}{\frac{1}{2^4} = 2^{-4}}$
  • $\color{Brown}{\frac{2}{3^{-2}} = 2\times {3^2}}$
  • $\color{Brown}{\frac{3^5}{5^{-4}} = {3^5}\times{5^4}}$

Não fica difícil entender que, o denominador com expoente negativo, passa para o numerador com o mesmo expoente, porém positivo. Vejam como:

  • $\color{Maroon}{\frac {1}{7^{-5}}  = 7^5 }$
  • $\color{Maroon}{\frac{1}{{11}^{-4}} = {11}^4}$

Do mesmo modo, podemos transformar uma potência com expoente negativo, em fração cujo numerador é a unidade e o denominador a mesma potência com expoente positivo. Assim:

  • $\color{Maroon}{7^{-3} = \frac{1}{7^3}}$
  • $\color{Maroon}{5^{-7} = \frac{1}{5^7}}$

  • Exercícios para treinar esses procedimentos.
    •  Transformar as frações com potências, em expressões com expoentes de sinal trocado.
      • $\color{Sepia}{ \frac{1}{7^2}}$
      • $\color{Sepia}{\frac{1}{8^{-4}}}$
      • $\color{Sepia}{\frac{1}{5^5}}$
      • $\color{Sepia}{\frac{1}{3^{-4}}}$
      • $\color{Sepia}{ \frac{2}{3^4}}$
      • $\color{Sepia}{\frac{5}{6^5}}$
      • $\color{Sepia}{\frac{1}{13^{-4}}}$
    • Escreva as potências na forma de  frações com expoentes.
      • $\color{Sepia}{5^{-4}}$
      • $\color{Sepia}{3\times 7^{-3}}$
      • $\color{Sepia}{6^{5}}$
      • $\color{Sepia}{7\times 3^7}$
      • $\color{Sepia}{9^{-5}}$
      • $\color{Sepia}{2\times 5^{-6}}$
      • $\color{Sepia}{3\times 8^{4}}$

Vou aqui resolver os exercícios do último post que fiz sobre radiciação. Vamos ver se você conseguiu chegar às respostas. (Com o tempo você poderá omitir alguns passos intermediários, na medida que sua prática aumentar).

Façamos alguns exercícios aplicando o que foi visto acima. (No post anterior).

  • 1). $\color{Brown}{(\sqrt {3^3})^4} $
  • $ (\sqrt[2] {3^3})^4 = \sqrt[2] {3^{3\times 4}} = \sqrt[2] {3^{12}} = 3^{12/2} = 3^6 = 64 $
  • 2). $\color{Brown}{(\sqrt[5]{7^4})^3}$
  • $ (\sqrt[5] {7^4})^3 = \sqrt[5] {7^{4\cdot 3}} = \sqrt[5] {7^{12}}\\ = \sqrt[5] {7^{10}} \times \sqrt[5] {7^2} = 7^{10/5}\times \sqrt[5] {7^2} = 7^2\times \sqrt[5]{7^2}\\ =49\times\sqrt[5] {49}$
  • 3). $\color{Brown}{(\sqrt [6]{4^3})^4}$
  • $ (\sqrt[6] {4^3})^4 = \sqrt[6] {4^{3\times 4}} = \sqrt[6] {4^{12}}\\ = 4^{12/6} = 4^2 = 16$
  • 4). $\color{brown}{(\sqrt[3]{5^4})^3}$
  • $ (\sqrt[3] {5^4})^3 = \sqrt[3] {5^{4 \cdot 3}} = \sqrt[3] {5^{12}}\\ = 5^{12/3} = 5^4 = 625 $
  • 5). $\color{Brown}{(\root 9\of {7^3})^5}$
  • $(\sqrt [9] {7^3})^5 = \sqrt[9] {7^{3\times 5}} = \sqrt[9] {7^{15}}\\ = 7^{15/9} = 7^{5/3} = \sqrt[3] {7^5} = \sqrt[3] {7^3} \times\sqrt[3] {7^2}\\ = 7\times \sqrt[3] {7^2}$
  • Simplifique as expressões.
    • 1). $\color{Brown}{(\sqrt[3]{4^2}\times\sqrt[3]{2^3}\times\sqrt[3]{5^4})^3}$
    • $(\sqrt[3] {4^2})^3 \times (\sqrt[3] {2^3})^3\times(\sqrt[3] {5^4})^3 = \sqrt[3] {4^{2\cdot 3}} \times\sqrt[3] {2^{3\times 3}} \times\sqrt[3] {5^{4\times 3}} \\ = 4^{6/3}\times 2^{9/3}\times 5^{12/3}  = 4^2\times 2^3\times 5^4 \\ = 16\times 8\times 625  = 80000$
  • 2). $\color{Brown}{(\sqrt[4]{3^5}\times\sqrt[4]{6^3}\times\sqrt[4]{2^4})^5}$
  • $(\sqrt[4]{3^5})^5\times(\sqrt[4]{6^3})^5\times(\sqrt[4]{2^4})^5  = \sqrt[4]{3^{5\times 5}}\times\sqrt[4]{6^{3\times 5}}\times\sqrt[4]{2^{4\times 5}}  = \sqrt[4]{3^{25}}\times\sqrt[4]{{(2\times 3)}^{15}}\times\sqrt[4]{2^{20}}$
  • =
  • $\sqrt[4]{3^{24}}\cdot\sqrt[4]{3}\cdot\sqrt[4]{2^{12}}\sqrt[4]{2^3}\times\sqrt[4]{3^{12}}\times\sqrt[4]{3^3}\sqrt[4]{2^{20}}=3^{24/4}\times\sqrt[4]{3}\times 2^{12/4}\times\sqrt[4]{2^3}\times 3^{12/4}\times\sqrt[4]{3^3}\times 2^{20/4}$
  • =
  • ${3^6}\times{2^3}\times{3^3}\times{2^{5}}\times\sqrt[4]{3}\times\sqrt[4]{3^3}\times\sqrt[4]{2^3} = {3^{9}}\times{2^{8}}\times\sqrt[4]{3^{4}}\times\sqrt[4]{2^{3}}$
  • =
  • ${15116544}\times\sqrt[4]{8}$
  • 3). $\color{Brown}{(\sqrt[5]{7^3} \times\sqrt [5]{5^4}\times\sqrt[5]{3^4}\times\sqrt[5]{15^5})^4}$
  • $(\sqrt[5]{7^3})^4\times(\sqrt[5]{5^4})^4\times(\sqrt[5]{3^4})^4\times(\sqrt[5]{(3\times 5)^5})^4 = \sqrt[5]{7^{12}}\times\sqrt[5]{5^{16}}\times\sqrt[5]{3^{16}}\times\sqrt[5]{{3^{20}}\times {5 ^{20}}}$
  • =
  • $\sqrt[5]{7^{10}}\times\sqrt[5]{7^2}\times\sqrt[5]{5^{15}}\times\sqrt[5]{5}\times\sqrt[5]{3^{15}}\times\sqrt[5]{3}\times 3^4\times 5^4 = 81\times 625\times 7^{10/5}\times\sqrt[5]{7^2}\times 5^{15/5}\times\sqrt[5]{5}\times 3^{15/5}\times\sqrt[5]{3}$
  • =
  • $50625\times 7^2\times 5^3\times 3^3\sqrt[5]{7^2}\times\sqrt[5]{5}\times\sqrt[5]{3} \\= 50625\times 49\times 125\times 9\times\sqrt[5]{7^2}\times\sqrt[5]{5}\times\sqrt[5]{3} $
  • =
  • $2.790.703.125\times\sqrt[5]{{7^2}\times 5\times 3} \\ = 2.790.703.125\times \sqrt[5]{735}$

Obs.: Em caso de dúvidas, faça contato por meio de um dos  canais fornecidos abaixo. Estou à disposição para esclarecer quaisquer outras dúvidas dentro do assunto aqui apresentado, mesmo de outro nível. 

Curitiba, 09  de março de 2015 (Revisado e atualizado em 18 de julho de 2016). Republicado em 15 de novembro de 2017.

Décio Adams

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