01.020 – Matemática, aritmética. Números inteiros relativos.

Números relativos.

Nos primórdios da matemática, surgiram primeiramente os números, hoje denominados Números Naturais, associados a quantidades de objetos. A necessidade de exprimir quantidades que não representam um número inteiro de objetos, fez surgir as divisões decimais. Os algarismos após a vírgula, mas exatos, ou as dízimas periódicas. Isso ampliou grandemente as opções de resolução de problemas. Persistia no entanto um problema. A subtração só era possível se o minuendo tivesse valor maior que o subtraendo. Isso deixava a operação de subtração impossível em muitas situações. Como a necessidade costuma resultar no surgimento de inovações, foi também aqui que surgiu o que hoje conhecemos como Conjunto de Números Inteiros Relativos e posteriormente, os Racionais Relativos. 

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01.019 – Matemática – Aritmética, Teoria dos conjuntos. Diferença entre conjuntos

Diferença entre conjuntos.

Em artigos anteriores falamos de intersecção, reunião ou união, conjuntos disjuntos. Faltou apenas uma coisa. Diferença entre dois conjuntos A e B.

  • Denominamos diferença entre os conjuntos$\color{Navy}{A}$ e $\color{NavyBlue}{B}$, ao conjunto dos elementos pertencentes ao conjunto $\color{NavyBlue}{A}$ , que não pertencem ao conjunto $\color{NavyBlue}{B}$ . Um Diagrama de Venn pode nos mostrar graficamente como é.
  • $\color{Brown}{A = \{m, n, o, p, q\}}$
  • $\color{Brown}{B =\{p, q, r, s, t\}}$
  • $\color{OliveGreen}{A – B = \{m, n, o\}}$ ou $\color{OliveGreen}{A/B = \{m, n, o\}}$
  • $\color{OliveGreen}{B – A = \{r, s, t\}}$ ou  $\color{OliveGreen}{B/A = \{r, s, t\}}$

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01.018 – Matemática, Teoria dos conjuntos. Intersecção e união de conjuntos.

Operações com conjuntos.

  • União ou reunião de conjuntos.

Sejam:

  • $\color{Navy}{A = \{a,e,i,o,u\}}$ $\rightarrow$ conjunto das vogais.
  • $\color{Navy}{B = \{a,b,c,d,e,…,x,y,z\}}$$\rightarrow$ alfabeto latino.

união ou reunião desses dois conjuntos, formará o conjunto das letras do alfabeto. Simbolicamente representamos isso da seguinte maneira:

  • $\color{Navy}{A \cup B = U =\{a,b,c,d,e,f,g,…,x,y,z\}}$
  • Vemos que ao unir um conjunto a um de seus sub-conjuntos, o resultado é o próprio conjunto.

Num Diagrama de Venn:

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01.017 – Matemática, Teoria dos conjuntos. Relação de pertinência, sub-conjuntos.

Relação de pertinência.

Pertence/não pertence

Para dizer que um determinado elemento faz parte ou não de um conjunto, usamos as palavras pertence não pertence. Simbolicamente, usamos $\in$ e $\notin$. 

Assim, dado o conjunto das vogais:

$V = {a, e, i, o, u}$ podemos dizer que:

  • $a\in V$$\Rightarrow$pertence ao conjunto V”;
  • $i\in V$$\Rightarrow$ “ i pertence ao conjunto V“;
  • $u\in V$$\Rightarrow$”u pertence ao conjunto V”;
  • $m\notin V$$\Rightarrow$ “não pertence ao conjunto V”;
  • $r\notin V$$\Rightarrow$ “r não pertence ao conjunto V”;

e assim sucessivamente.

Subconjunto

Tomemos por exemplo o conjunto das vogais.

  • $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{ A = \{a, e, i, o, u\}}} $

Denominamos sub-conjunto  de um conjunto dado, a todo conjunto cujos elementos pertençam a este conjunto. No exemplo acima, conjunto das vogais, temos 5 (cinco) elementos. Vimos que existe o conjunto vazio, que não tem nenhum elemento; conjunto unitário com um elemento apenas e assim por diante. Iremos formar um conjunto de subconjuntos do conjunto $\color{Navy}{A}$, também denominado conjunto das partes. Vejamos detalhadamente.

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01.016 – Matemática – Teoria dos Conjuntos

Matemática – teoria dos conjuntos.

  • O que é um conjunto?

Creio que não haverá dificuldades em entender o que é um conjunto. Na sua casa, deve haver vários conjuntos. Por exemplo: um conjunto de pratos, um conjunto de copos, um conjunto de xícaras, um conjunto de cadeiras, um conjunto de móveis, um ou vários conjuntos de brinquedos, seus e seus irmãos ou irmãs. Poderíamos citar mais uma porção de outros.

O que fica claro é que são coisas ou objetos que fazem parte de um grupo. Podemos estender esse conceito um pouco mais e teremos o que em matemática se chama conjunto. Podemos ter um conjunto de símbolos, letras, estrela, círculos, números e assim por diante. Da mesma forma como nossos pais quando nascemos, nos batizaram e fizeram nosso registro de nascimento identificando-nos por um nome, os nossos conjuntos em matemática, receberão um nome. Melhor dizendo, serão identificados por uma letra maiúscula: A, B, C, D, etc. Sempre que nos referirmos a um conjunto usaremos uma letra para identificar esse conjunto.

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01.015 – Matemática, aritmética, operações com naturais, radiciação – Propriedades

Potenciação de radicais.

  • Radicais com radicandos de mesma base.

Exemplo: $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Blue}{\sqrt[3]{({3^2})^2} = {(\sqrt[3]{3^2}})^2} = {\sqrt[3]{3^2}}^2}$

Vamos transformar em multiplicação de radicais:

  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{3^2}\times\sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{3^{2+2}} = \sqrt[3]{3^{2\times 2}} = \sqrt[3]{3^4}}$

Note que o radicando agora tem como expoente o número 4, produto dos expoentes interno e externo. Como o expoente é maior que o índice, podemos decompor o radicando em uma multiplicação de potências de modo que uma tenha expoente múltiplo do índice. Assim:

  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{3^{3 + 1}} = \sqrt[3]{3^3}\times\sqrt[3]{3^1} = 3\times \sqrt [3]{3}}$
  • Temos ao final uma forma simplificada da expressão inicial. O valor permanece exatamente o mesmo do inicial.

Vejamos outro exemplo: $\color{Blue}{\sqrt[4]{({5^3})^4} = {(\sqrt[4]{5^3})^4} = {\sqrt[4]{5^3}}^4}$

Na forma de multiplicação:

  • $\color{Blue}{\sqrt[4]{5^3}\times\sqrt[4]{5^3}\times\sqrt[4]{5^3}\times\sqrt[4]{5^3} = \sqrt[4]{5^{(3 + 3 + 3 + 3)}} = \sqrt[4]{5^{(4\times 3)}} = \sqrt[4]{5^{12}}}$

O expoente do radicando é múltiplo do índice. Portanto podemos simplificar, ou dividir o expoente pelo índice.

  • $\color{Brown}{\sqrt[4]{5^{12}} = 5^ \frac {12}{4} = 5^3}$
  • Portanto podemos fazer sempre a multiplicação entre os expoentes interno e externo. 
  • Façamos alguns exercícios aplicando o que foi visto acima. Simplifique os radicais.
  • $\color{Brown}{(\root 2\of {3^3})^4 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 5\of {7^4})^3 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 6\of {4^3})^4 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 3\of {5^4})^3 = ?}$
  • $\color{Brown}{(\root 9\of {7^3})^5 = ?}$
    • O mesmo raciocínio se aplica a um produto de radicais, elevado a uma potência. Bastará multiplicar cada um dos expoentes internos pelo externo, como no exemplo abaixo.
    • $\color{Blue}{\left(\sqrt[3]{2^2}\times\sqrt[3]{3^3}\times\sqrt[3]{2^3}\times\sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{3^2}\right)^2 =\\ {\sqrt [3]{2^2}}^2\times{\sqrt[3]{3^3}}^2\times{\sqrt [3]{2^3}}^2\times{\sqrt[3]{2}}^2\times{\sqrt [3]{3^2}}^2 }$
    • $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^4}\times\sqrt[3]{3^6}\times\sqrt[3]{2^6}\times\sqrt[3]{2^2}\times\sqrt[3]{3^4}}$
  • Agrupando os radicais com potências de mesma base, teremos:
  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^4}\cdot\sqrt[3]{2^6}\cdot\sqrt[3]{2^2}\cdot\sqrt[3]{3^6}\cdot\sqrt[3]{3^4}\\ =\sqrt [3]{{2^4}\cdot{2^6}\cdot{2^2}}\cdot\sqrt[3]{{3^6}\cdot{3^4}}}$
  •  $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^{(4 + 6 + 2)}}\times\sqrt[3]{3^{(6 + 4)}}}$
  • $\color{Blue}{\sqrt[3]{2^{12}}\times\sqrt[3]{3^{10}}=2^{\frac {12}{3}}\times 3^{\frac {10}{3}} = 2^4\times 3^{\frac{9}{3}}\times 3^{\frac {1}{3}}}$ $\color{Blue}{16\times{3^3}\times\sqrt[3]{3} = 16\cdot 27\cdot\sqrt[3]{3}}$
  • $\color{Blue}{432\cdot\sqrt[3]{3} =({\root5\of {3^2}}\times{\root5\of {5^3}}\times{\root5\of {3^4}})^3}$
  •  $\color{Blue}{\root5\of {3^2}^{3}\times\root5\of{5^3}^{3}\times\root5\of{3^4}^{3}=\root 5\of {3}^{6}\times\root5\of {5}^{9}\times\root5\of 3^{12}}$
  • $\color{Blue}{\root5\of 3^{9 + 12}\times\root5\of 5^{5 + 4}}$
  • $\color{Blue}{\root5\of 3^{20}\times\root5\of {3}\times\root 5\of 5^5\cdot \root5\of {5^4} = 3^{4}\times 5\cdot \root 5\of {3\times {5^{4}}}}$
  • $\color{Blue}{405\times \root 5\of {3\times {5^4}} = 405\times\root 5\of {1875}}$
  • Exercitando um pouco.
    • Simplifique as expressões.
      • $\color{Brown}{(\root 3\of {4^2}\times\root 3\of {2^3}\times\root 3\of {5^4})^3 = ?} $
      • $\color{Brown}{(\root 4\of {3^5}\times\root 4\of {6^3}\times\root 4\of {2^4})^5 = ?}$
      • $\color{Brown}{(\root 5\of {7^3}\times\root 5\of {5^4}\times\root 5\of {3^4}\times\root 5\of {15^5})^4 = ?}$
      • $\color{Brown}{(\root 2\of {3^5}\times\root 2\of {9^2}\times\root 2\of {6^3}\times\root 2\of {4^3}\times\root 2\of {6^3})^3 =?}$

Trabalhar com os radicais, usando as propriedades adequadas, permite quase sempre chegar a expressões bem mais simplificadas do que se apresentam inicialmente.

Obs.: Em caso de dúvidas sobre o conteúdo ou exercícios, faça contato por meio de um dos canais abaixo. Estou aberto a quaisquer perguntas sobre o assunto. Disponha. 

Curitiba, 04 de março de 2015 (Reformulado e melhorado em 16 de julho de 2016). Revisto e republicado em 03/11/2017.

Décio Adams

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01.014 – Matemática, aritmética, radiciação – propriedades.

Mais umas novidades sobre radiciação.

Multiplicação de radicais de mesmo índice.

  • Vamos ver como isso funciona.
    • $\color{Blue}{\sqrt[3]{ 5}\times\sqrt [3]{7}\times\sqrt [3]{2} =\sqrt[3]{5\times7\times2} = \sqrt[3]{70}}$
    • $\color{Blue}{\sqrt [5]{2^3}\times\sqrt[5]{4^2}\times\sqrt[5]{8} = \sqrt[5]{2^3}\times\sqrt[5]{2^2}^2\times\sqrt[5]{2^3}}$
    • $\color{Blue}{ \sqrt[5]{2^3}\times\sqrt[5]{2^4}\times\sqrt[5]{2^3} = \sqrt[5]{2^{3+4+3}}}$
    • $\color{Blue}{\sqrt[5]{2^{10}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2}$
    • Podemos notar que é possível resolver uma porção de operações com potências e raízes sem recorrer a nenhum cálculo pesado. Basta aplicar as propriedades que permitem fazer uma variedade de transformações. Dos exemplos deduzimos:
  • Uma multiplicação de radicais de mesmo índice é igual a um único radical, com o mesmo índice, cujo radicando é o produto dos radicandos fatores.

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01.013 – Matemática – Aritmética, operações com naturais. Radiciação.

O caminho inverso. – Radiciação.

Assim como em outras situações, estamos vendo que, a cada nova operação matemática que aprendemos, logo depois aparece outra, que faz o caminho contrário. E não seria diferente com a potenciação.

  • Vamos pegar um número, potência de 3. Esse número vai ser 243. Vamos decompor em seus fatores, para sabermos qual é o expoente ao qual foi elevada a base 3, para encontrar 243.
  • Fizemos cinco divisões sucessivas por $3$, até resultar quociente $1$. Dessa forma temos que $\color{Blue}{3^5 = 243}$
  • Então podemos representar:
  • $\color{Blue}{243 = 3^5 = 3\times3\times3\times3\times3} $

A base 3, elevada ao expoente 5 e obtemos a potência 243.

  • Neste caso dizemos que 3 é a raiz quinta de 243.

Essa operação inversa se denomina Radiciação  e se representa na forma de um radical, onde temos:

  • Radicando é número cuja raiz estamos determinando.
  • Índice é o número que indica o expoente ao qual deve ser elevada a raiz para resultar o radicando.
  • Raiz é a base da potenciação que resulta no radicando.

Assim, usando o símbolo:\[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Blue}{ \root 5 \of {243} = 3}}\]

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01.012 – Matemática – Aritimética, operações com naturais. Potenciação II

Buscas na internet.

Pesquisando na internet, descobri que nos últimos dias a procura pelo assunto potenciação, por parte dos internautas, aumentou quase 100%. Isso significa que estou atacando um dos assuntos procurados. Vamos seguir mais um pouco. Apresentar mais alguns detalhes sobre o assunto.

  • Vamos ver como se faz uma multiplicação de potências iguais.
  • Assim: $\color{Blue}{3^2\times 3^2\times 3^2\times 3^2 = (3^2)^4}$
  • Temos agora uma potência de potência, isto é, três elevado ao quadrado, elevado a quarta potência.
  • Vamos aplicar no começo, a regrinha da multiplicação de potências de mesma base.
  • Teremos:$\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Blue}{3^{(2+2+2+2)} = 3^8}}$

Se observarmos bem, os expoentes na expressão $\color{Blue}{{[(3)^2]}^4}$, vemos que, se multiplicarmos os expoentes $\color{Blue}{2\times 4= 8}$ ou seja a soma dos expoentes das potências iguais.

Dessa forma pode-se afirmar que:

  • “Para elevar uma potência a outra potência, basta conservar a base e multiplicar os expoentes”.
  • Vamos exercitar um pouco?
    • $\color{Blue}{[(4)^2]^3 = 4^{(2\times 3)} = 4^6}$
    • $\color{Blue}{[(7)^3]^3 = 7^{(3\times 3)} = 7^9}$
    • $\color{Blue}{[(11)^4]^2 = (11)^(4\times 2) = (11)^8}$
    • $\color{Blue}{{[(5)^4]^5} = 5^{(4\times 5)} = 5^{20}}$

Fica muito simples perceber que a operação potenciação apresenta bem mais possibilidades de aplicações úteis, do que meramente substituir uma multiplicação por uma expressão mais simples, mais curta. Começam a pintar várias novidades. O que vimos até aqui é apenas um pequeno vislumbre do que é possível. Mas vamos devagar. Um degrau de cada vez.

Vamos recordar o que já vimos até aqui?

  • Transformar potências em multiplicações de fatores iguais.
    • $\color{Blue}{7^3 = ?}$
    • $\color{Blue}{5^2 = ?}$
    • $\color{Blue}{8^6 = ?}$
    • $\color{Blue}{3^4 = ?}$
    • $\color{Blue}{2^5 = ?}$
  • Escrever na forma de potências as multiplicações.
    • $\color{Blue}{3\times3\times3\times3\times5\times5\times5 = ?}$
    • $\color{Blue}{5\times5\times5\times5\times5\times5 = ?}$
    • $\color{Blue}{4\times4\times4\times4\times4\times4\times4\times4 = ?}$
    • $\color{Blue}{{11}\times{11}\times{11}\times{11}\times{11} = ?}$
    • $\color{Blue}{7\times7\times7\times7 = ?}$
  • Escrever o resultado das potências.
    • $\color{Blue}{3^3 = ?}$
    • $\color{Blue}{5^3 = ?}$
    • $\color{Blue}{2^5 = ?}$
    • $\color{Blue}{7^1 = ?}$
    • $\color{Blue}{6^0 = ?}$
    • $\color{Blue}{(500)^0 = ?}$
    • $\color{Blue}{(50)^1 = ?}$
  • Efetuar as multiplicações de potências de mesma base.
    • $\color{Blue}{{3^2}\times{3^4}\times{3^2}\times{3^3}\times{3^5} = ?}$
    • $\color{Blue}{{5^4}\times{5^3} = ?}$
    • $\color{Blue}{{4^0}\times{4^3}\times{4^5} = ?}$
    • $\color{Blue}{{6^2}\times{6^3}\times{6^3}\times{6^2} = ?}$
    • $\color{Blue}{{7^5}\times{7^1}\times{7^2} =?}$
  • Efetuar as divisões das potências de mesma base.
    • $\color{Blue}{{(5^8)}\div {(5^3)} = ?}$
    • $\color{Blue}{{(13)^5}\div{(13)^2} = ?}$
    • $\color{Blue}{{(4^7)}\div{(4^7)} = ?}$
    • $\color{Blue}{{(6^3)}\div{(6^1)} = ?}$
    • $\color{Blue}{{(8^6)}\div{(8^5)} = ?}$
  • Vamos dar mais um passinho?
    • E se o expoente for uma potência?
    • $\color{Blue}{5^{3^2} = 5^9}$
  • Trata-se agora de um expoente exponencial. Antes de elevarmos a base ao expoente, precisamos efetuar a potência desse expoente. Ou seja, precisamos efetuar o$\color{Brown}{3^2= 9}$ e depois elevar o 5 à nona potência. Teremos então: $\color{Brown}{5^9}$

Note que se multiplicássemos os expoentes ($\color{Brown}{3\times 2 =6}$, teríamos $\color{maroon}{5^{3\times 2} = 5^6}$, que é totalmente diferente. Notamos que a coisa fica um pouco mais complexa. Portanto cuidado. Potência de potência não é o mesmo que potência com expoente exponencial. Felizmente o uso dessa forma é menos comum, do que a primeira. Um pouco de exercício faz bem, né!

  • Efetue as potências indicadas.
    • $\color{Blue}{7^{5^2} = ?}$
    • $\color{Blue}{5^{3^1} = ?}$
    • $\color{Blue}{6^{4^3} = ?}$
    • $\color{Blue}{8^{3^4} = ?}$
    • $\color{Blue}{9^{2^3} = ?}$
  • Adendo: leitor me enviou a seguinte pergunta, ou melhor questão: Realizar a divisão que ele encontrou num livro ou apostila e não entendeu como resolver.
  • Exercício de divisão
    Exercício de divisão
  • A divisão apresentada é a divisão de duas potências. Seria assim:
  • $\color{Blue}{{{{{{2^3}^2}^1}^8}^7}^6}\div {{{{{{4^2}^2}^8}^0}^9}^6}$
  • Vemos uma sucessão de potências em número de 6 (seis). À primeira vista parece algo difícil de resolver. Se fôssemos desenvolver tudo, iriamos fazer uma montanha de cálculos desnecessários. Não podemos esquecer que a matemática tem alguns atalhos que nos levam à resposta num piscar de olhos. Aquele problema gigante, se resolve num clic.
  • Acompanhem o raciocínio. Na potência dividendo, temos no quarto expoente de cima para baixo o número 1(um). Isto significa que iremos elevar 1(um) ao expoente que existir acima dele e o resultado só pode ser 1(um). Continuando vamos ter:
  • $\color{Blue}{2^1 = 2}$
  • Para terminar temos $\color{Blue}{3^2 = 9}$
  • Reduzimos o dividendo à potência $\color{Blue}{2^9}$
  • No divisor vamos encontrar na terceira posição, do último expoente para baixo. Sabemos que qualquer expoente para 0(zero), resulta igual a 0(zero).
  • O próximo expoente é 8, e vamos ter $\color{Blue}{8^0 = 1}$
  • Na sequência temos o expoente 2 e fica $\color{Blue}{2^1 = 2}$
  • Terminamos com $\color{Blue}{2^2 = 4}$
  • Passamos a ter $\color{Blue}{4^4} = {(2^2)}^4 = {2^{2×4}} =2^8 $
  • Efetuando a divisão $\color{Blue}{{2^9}\div{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 = 2}$.
  • Este resultado comprova que a resposta indicada na figura é a correta.
  • Andamos mais um passo. Se você for um dos que procuraram pelo assunto potenciação na internet e tiver interesse em aprofundar o assunto, entre em contato comigo nos endereços que constam abaixo do artigo. Estou a disposição para orientar e tirar suas dúvidas. Legal?

Curitiba, 31 de janeiro de 2015. (Republicação em 02/11/2017).

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01.011 – Matemática- Aritmética, operações com números naturais – Potenciação.

Não é que eu estava esquecendo!

  • Estão lembrados que a multiplicação é uma soma de parcelas iguais?

E se tivermos uma multiplicação de fatores iguais? Será que podemos pensar em uma forma de escrever isso de maneira mais resumida?

  • Por exemplo:   $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Blue}{3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3 = ?}}$
  • Muito simples. Basta irmos multiplicando o três tantas vezes quantas estiver indicado. Mas será que não tem outro jeito? Há muito tempo, pesquisei e não encontrei quando isso aconteceu, alguém olhou para essas expressões e pensou em uma maneira de encurtar a “tripa”. Como?
  • Foi criada a Potenciação, também conhecida como Exponenciação ou forma exponencial. Basta escrever o número de fatores iguais, um pouco acima, do lado direito daquele número que é repetido. Então como fica a expressão aí de cima?

\[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{3^6}}\]

  • Nessa forma de escrever, temos um número na forma exponencial. Lemos: três elevado a sexta potência, ou três elevado a seis.

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Não é que eu estava esquecendo!

  • Estão lembrados que a multiplicação é uma soma de parcelas iguais?

E se tivermos uma multiplicação de fatores iguais? Será que podemos pensar em uma forma de escrever isso de maneira mais resumida?

  • Por exemplo:   $\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Blue}{3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3 = ?}}$
  • Muito simples. Basta irmos multiplicando o três tantas vezes quantas estiver indicado. Mas será que não tem outro jeito? Há muito tempo, pesquisei e não encontrei quando isso aconteceu, alguém olhou para essas expressões e pensou em uma maneira de encurtar a “tripa”. Como?
  • Foi criada a Potenciação, também conhecida como Exponenciação ou forma exponencial. Basta escrever o número de fatores iguais, um pouco acima, do lado direito daquele número que é repetido. Então como fica a expressão aí de cima?

\[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Brown}{3^6}}\]

  • Nessa forma de escrever, temos um número na forma exponencial. Lemos: três elevado a sexta potência, ou três elevado a seis.

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