Buscas na internet.
Pesquisando na internet, descobri que nos últimos dias a procura pelo assunto potenciação, por parte dos internautas, aumentou quase 100%. Isso significa que estou atacando um dos assuntos procurados. Vamos seguir mais um pouco. Apresentar mais alguns detalhes sobre o assunto.
- Vamos ver como se faz uma multiplicação de potências iguais.
- Assim: $\color{Blue}{3^2\times 3^2\times 3^2\times 3^2 = (3^2)^4}$
- Temos agora uma potência de potência, isto é, três elevado ao quadrado, elevado a quarta potência.
- Vamos aplicar no começo, a regrinha da multiplicação de potências de mesma base.
- Teremos:$\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Blue}{3^{(2+2+2+2)} = 3^8}}$
Se observarmos bem, os expoentes na expressão $\color{Blue}{{[(3)^2]}^4}$, vemos que, se multiplicarmos os expoentes $\color{Blue}{2\times 4= 8}$ ou seja a soma dos expoentes das potências iguais.
Dessa forma pode-se afirmar que:
- “Para elevar uma potência a outra potência, basta conservar a base e multiplicar os expoentes”.
- Vamos exercitar um pouco?
- $\color{Blue}{[(4)^2]^3 = 4^{(2\times 3)} = 4^6}$
- $\color{Blue}{[(7)^3]^3 = 7^{(3\times 3)} = 7^9}$
- $\color{Blue}{[(11)^4]^2 = (11)^(4\times 2) = (11)^8}$
- $\color{Blue}{{[(5)^4]^5} = 5^{(4\times 5)} = 5^{20}}$
Fica muito simples perceber que a operação potenciação apresenta bem mais possibilidades de aplicações úteis, do que meramente substituir uma multiplicação por uma expressão mais simples, mais curta. Começam a pintar várias novidades. O que vimos até aqui é apenas um pequeno vislumbre do que é possível. Mas vamos devagar. Um degrau de cada vez.
Vamos recordar o que já vimos até aqui?
- Transformar potências em multiplicações de fatores iguais.
- $\color{Blue}{7^3 = ?}$
- $\color{Blue}{5^2 = ?}$
- $\color{Blue}{8^6 = ?}$
- $\color{Blue}{3^4 = ?}$
- $\color{Blue}{2^5 = ?}$
- Escrever na forma de potências as multiplicações.
- $\color{Blue}{3\times3\times3\times3\times5\times5\times5 = ?}$
- $\color{Blue}{5\times5\times5\times5\times5\times5 = ?}$
- $\color{Blue}{4\times4\times4\times4\times4\times4\times4\times4 = ?}$
- $\color{Blue}{{11}\times{11}\times{11}\times{11}\times{11} = ?}$
- $\color{Blue}{7\times7\times7\times7 = ?}$
- Escrever o resultado das potências.
- $\color{Blue}{3^3 = ?}$
- $\color{Blue}{5^3 = ?}$
- $\color{Blue}{2^5 = ?}$
- $\color{Blue}{7^1 = ?}$
- $\color{Blue}{6^0 = ?}$
- $\color{Blue}{(500)^0 = ?}$
- $\color{Blue}{(50)^1 = ?}$
- Efetuar as multiplicações de potências de mesma base.
- $\color{Blue}{{3^2}\times{3^4}\times{3^2}\times{3^3}\times{3^5} = ?}$
- $\color{Blue}{{5^4}\times{5^3} = ?}$
- $\color{Blue}{{4^0}\times{4^3}\times{4^5} = ?}$
- $\color{Blue}{{6^2}\times{6^3}\times{6^3}\times{6^2} = ?}$
- $\color{Blue}{{7^5}\times{7^1}\times{7^2} =?}$
- Efetuar as divisões das potências de mesma base.
- $\color{Blue}{{(5^8)}\div {(5^3)} = ?}$
- $\color{Blue}{{(13)^5}\div{(13)^2} = ?}$
- $\color{Blue}{{(4^7)}\div{(4^7)} = ?}$
- $\color{Blue}{{(6^3)}\div{(6^1)} = ?}$
- $\color{Blue}{{(8^6)}\div{(8^5)} = ?}$
- Vamos dar mais um passinho?
- E se o expoente for uma potência?
- $\color{Blue}{5^{3^2} = 5^9}$
- Trata-se agora de um expoente exponencial. Antes de elevarmos a base ao expoente, precisamos efetuar a potência desse expoente. Ou seja, precisamos efetuar o$\color{Brown}{3^2= 9}$ e depois elevar o 5 à nona potência. Teremos então: $\color{Brown}{5^9}$
Note que se multiplicássemos os expoentes ($\color{Brown}{3\times 2 =6}$, teríamos $\color{maroon}{5^{3\times 2} = 5^6}$, que é totalmente diferente. Notamos que a coisa fica um pouco mais complexa. Portanto cuidado. Potência de potência não é o mesmo que potência com expoente exponencial. Felizmente o uso dessa forma é menos comum, do que a primeira. Um pouco de exercício faz bem, né!
- Efetue as potências indicadas.
- $\color{Blue}{7^{5^2} = ?}$
- $\color{Blue}{5^{3^1} = ?}$
- $\color{Blue}{6^{4^3} = ?}$
- $\color{Blue}{8^{3^4} = ?}$
- $\color{Blue}{9^{2^3} = ?}$
- Adendo: leitor me enviou a seguinte pergunta, ou melhor questão: Realizar a divisão que ele encontrou num livro ou apostila e não entendeu como resolver.
-
Exercício de divisão - A divisão apresentada é a divisão de duas potências. Seria assim:
- $\color{Blue}{{{{{{2^3}^2}^1}^8}^7}^6}\div {{{{{{4^2}^2}^8}^0}^9}^6}$
- Vemos uma sucessão de potências em número de 6 (seis). À primeira vista parece algo difícil de resolver. Se fôssemos desenvolver tudo, iriamos fazer uma montanha de cálculos desnecessários. Não podemos esquecer que a matemática tem alguns atalhos que nos levam à resposta num piscar de olhos. Aquele problema gigante, se resolve num clic.
- Acompanhem o raciocínio. Na potência dividendo, temos no quarto expoente de cima para baixo o número 1(um). Isto significa que iremos elevar 1(um) ao expoente que existir acima dele e o resultado só pode ser 1(um). Continuando vamos ter:
- $\color{Blue}{2^1 = 2}$
- Para terminar temos $\color{Blue}{3^2 = 9}$
- Reduzimos o dividendo à potência $\color{Blue}{2^9}$
- No divisor vamos encontrar na terceira posição, do último expoente para baixo. Sabemos que qualquer expoente para 0(zero), resulta igual a 0(zero).
- O próximo expoente é 8, e vamos ter $\color{Blue}{8^0 = 1}$
- Na sequência temos o expoente 2 e fica $\color{Blue}{2^1 = 2}$
- Terminamos com $\color{Blue}{2^2 = 4}$
- Passamos a ter $\color{Blue}{4^4} = {(2^2)}^4 = {2^{2×4}} =2^8 $
- Efetuando a divisão $\color{Blue}{{2^9}\div{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 = 2}$.
- Este resultado comprova que a resposta indicada na figura é a correta.
- Andamos mais um passo. Se você for um dos que procuraram pelo assunto potenciação na internet e tiver interesse em aprofundar o assunto, entre em contato comigo nos endereços que constam abaixo do artigo. Estou a disposição para orientar e tirar suas dúvidas. Legal?
Curitiba, 31 de janeiro de 2015. (Republicação em 02/11/2017).
Décio Adams
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