Agora o bicho vai pegar
Vamos avançar mais um pouco com os produtos notáveis. Nem todos os livros apresentam esses tópicos, mas vale a pena conhecer, se você deseja ir um pouco mais longe, desenvolver mais suas aptidões.
– Vamos ver o Cubo da Soma de dois números
Os dois números, serão novamente representados por duas letras. Para manter a sequência adotada nos primeiros três casos, vamos usar novamente as letras $\color{Red}a$ e $\color{Red}b$ para isso.
$$\color{Brown}{{( a + b)}^3}$$
Podemos separar a potência de expoente 3 em um produto de potências de mesma base, com uma com expoente 2 e outra com expoente 1. Assim:
$$\color{Sepia}{{{( a + b)}^2}{(a + b)}}$$
Como já sabemos o resultado do quadrado da soma, podemos agora fazer a multiplicação do trinômio quadrado perfeito resultante, pela soma dos números $\color{Red}a$ e $\color{Red}b$.
$\color{Brown}{{(a^2 + 2ab + b^2)}{(a + b)}}$
${(a^2)}{a} + {(2ab)}{a} +{(b^2)}{a} + {(a^2)}{b} + {(2ab)}{b} + {(b^2)}{b}$
$a^3 + 2a^2b + b^2a + a^2b + 2ab^2+ b^3$
Temos agora um polinômio com seis termos, onde existem dois pares de termos semelhantes. Vamos agrupar estes termos e depois efetuar a adição de seus coeficientes numéricos.
$a^3 + 2a^2b + a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 $
$$\color{NavyBlue}{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}$$
O resultado é um polinômio de quatro termos e podemos enunciar a regra para sua obtenção da seguinte maneira:
“O cubo da soma de dois números é igual ao cubo do primeiro termo, mais o triplo do produto entre o quadrado do primeiro termo e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo, pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.
Para lembrar mais facilmente.
Na parte literal a variável do primeiro termo tem o expoente 3 no primeiro termo, expoente 2 no segundo termo, expoente 1 no terceiro termo e expoente 0 no quarto termo. A variável do segundo termo segue o inverso, isto é, seus expoentes estão em ordem crescente.
Vejamos um outro exemplo para resolver, aplicando essa regra.
$$\color{Sepia}{{( 2x + 3y)}^3}$$
Para facilitar, vamos por partes. O primeiro termo é 2x e o seu cubo é
$$\color{Red}{{(2x)}^3}$$
$$\color{Red}{8 x^3}$$
O triplo do quadrado do primeiro, multiplicado pelo segundo termo será:
$ {3\cdot{(2^2x^2) (3y)}}$
$\color{Brown}{36 x^2y}$
O triplo do primeiro termo, multiplicado pelo quadrado do segundo será:
$ {3\cdot{2x}\cdot{(3^{2}y^{2})}}$
$\color{Brown}{54xy^{2}} $
O cubo do segundo termo será
${(3y)}^3$
$\color{Red}{27y^3}$
Falta apenas escrever os termos na ordem correta, para terminar:
$$\color{NavyBlue}{ 8x^3 + 36 x^{2}y + 54xy^{2} + 27y^3 }$$
Podemos dizer que esse polinômio de quatro termos é um cubo perfeito.
É a vez do Cubo da Diferença de dois números
Para manter a continuidade, vamos considerar os mesmos números (letras) e desenvolver o produto.
$$\color{Brown}{{( a – b )}^3}$$
Novamente desmembramos numa multiplicação de potências de mesma base.
$\color{Sepia}{{( a – b )}^{2} {(a – b)}}$
$ {(a^2 – 2ab + b^2)}{( a – b )} $
$ a^{2}{a} – 2a{a}b + a{b^{2}} + a^{2}{(-b)} – 2ab{(-b)} + b^{2}{(-b)} $
$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b +2ab^{2} – b^{3} $
Agrupando os termos semelhantes e somando os coeficientes:
$ a^{3} – 2a^{2} b – a^{2}b + ab^{2} + 2ab^{2} – b^{3} $
$$\color{NavyBlue}{ a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3}} $$
Se compararmos esse polinômio com o que foi obtido no caso do cubo da soma de dois números, veremos que eles são exatamente iguais, exceto dois sinais (-) no segundo e quarto termos. Assim, podemos escrever a regra.
“O cubo da diferença entre dois números é dado pela cubo do primeiro termo, menos o triplo do produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.
Para lembrar mais facilmente.
A ordem dos expoentes nas variáveis segue a mesma sequência do cubo da soma, apenas os termos pares (segundo e quarto), tem um sinal (-) negativo.
Para aplicar a regra, vamos a um exemplo.
$$\color{Brown}{{( ax – by)}^{3}}$$
O primeiro termo é ax e o segundo termo é by. Vamos agora aplicar a regra.
O cubo do primeiro termo é
${(ax)}^{3} $
$\color{Sepia} {a^{3}x^{3}} $
O triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo termo é
$ {3{(ax)}^{2}{(by)}}$
$\color{Sepia}{{3a^{2}bx^{2}y }}$
O triplo do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo é
$ {3ab^{2}xy{2} }$
O cubo do segundo termo é
$ {(by)} ^{3} $
$b^{3}y^{3} $
Escrevendo na ordem correta e aplicando os sinais teremos
$$\color{NavyBlue}{{ a^{3}x^{3} – 3 a^{2}bx^{2}y + 3ab^{2}xy^{2} – b^{3}y^{3} }}$$
Produto do quadrado da soma, pela diferença de dois números.
$$\color{Brown}{{( a + b)}^{2}\times {(a – b)}}$$
Já sabemos que o quadrado da soma é um trinômio quadrado perfeito (trinômio soma). Podemos usar o resultado imediatamente.
${( a^{2} + 2ab + b^{2})} {(a – b)} $
$ {a}{a^{2}} + {a}{(2ab)} + {a}{b^{2}} +{(-b)}{a^{2}} + {(-b)}{(2ab)} + {(-b)}{b^{2}} $
$ a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b – 2ab^{2} – b^{3} $
$ a^{3} + 2a^{2}b – a^{2}b + ab^{2} – 2ab^{2} – b^{3} $
$$\color{NavyBlue}{a^{3} + a^{2}b -ab^{2} – b^{3}} $$
Podemos enunciar a regra para obter o produto do quadrado de dois números pela sua diferença, como segue.
“O produto do quadrado da soma de dois números, pela sua diferença é dado pelo cubo do primeiro termo, mais o quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo, menos o primeiro multiplicado pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.
Vamos tentar por em prática? Seja:
$$\color{Sepia}{{(2x + y)}^{2}\cdot{(2x – y)}}$$
${(4x^{2} + 4xy + y^{2})}{(2x – y)} $
$ {(2x)}^{3} + {(2x)}^{2}{y} – 2x{y^{2}} – {y^{3}} $
$$\color{Orchid}{ {8x^3 + 4x^{2}y – 2xy^2 – y^3 }}$$
Produto do quadrado da diferença entre dois números pela sua soma.
$$\color{Brown}{{( a – b )}^{2}\cdot{(a + b)}}$$
O procedimento é semelhante ao anterior.
${( a^{2} – 2ab + b^{2})} {(a + b)} $
$ a^{2}a + {(- 2ab)}{(a)} + ab^{2} + a^{2}b + {(- 2ab)}{(b)} + {(b^{2})}{b} $
$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b – 2ab^{2} + b^{3} $
$ a^{3} -2a^{2}b + a^{2}b + ab^{2} -2ab^{2} + b^{3} $
$ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3}$
$$\color{Indigo}{ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3} }$$
“O produto entre o quadrado da diferença entre dois números e a sua soma, é igual ao cubo do primeiro termo, menos o produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, menos o produto entre o primeiro termo e o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.
Obs.: Para memorizar, fica bastante fácil. Basta observar que os termos são obtidos de mesmo modo, apenas há a diferença entre os sinais dos termos. Se conseguir criar um mecanismo que permita recordar essas sequências, terá meio caminho andado para lembrar dos enunciados.
Vamos por em prática.
$ {( ma + n)} {(ma – n)}^{2} $
${( ma + n)}{[(ma)^{2} – 2mna + n^{2}]} $
$\color{Orchid}{ m^{3}a^{3} – m^{2}na^{2} – mn^{2}a + n^{3}}$$
Vamos deixar os exercícios para um momento próximo. Esses são trabalhosos, mas em momentos de aplicação, ajudam a economizar um bocado de tempo no desenvolvimento de expressões maiores. Sem esquecer de um assunto que vem pouco à frente, que é a fatoração, onde fazemos o processo inverso do que fazemos aqui.
Curitiba, 15 de abril de 2016. Republicado em 17 de dezembro de 2017. Atualizado em 07 de junho de 2018.
Décio Adams
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