Agora o bicho vai pegar

Vamos avançar mais um pouco com os produtos notáveis. Nem todos os livros apresentam esses tópicos, mas vale a pena conhecer, se você deseja ir um pouco mais longe, desenvolver mais suas aptidões.

– Vamos ver o Cubo da Soma de dois números

Os dois números, serão novamente representados por duas letras. Para manter a sequência adotada nos primeiros três casos, vamos usar novamente as letras $a$ e $b$ para isso.

$${(a+b)}^3$$

Podemos separar a potência de expoente 3 em um produto de potências de mesma base, com uma com expoente 2 e outra com expoente 1. Assim:

$${(a+b)}^2(a+b)$$

Como já sabemos o resultado do quadrado da soma, podemos agora fazer a multiplicação do trinômio quadrado perfeito resultante, pela soma dos números $a$ e $b$. 

$(a^2+2ab+b^2)(a+b)$

$(a^2)a+(2ab)a+(b^2)a+(a^2)b+(2ab)b+(b^2)b$

$a^3+2a^{2}b+b^{2}a+a^{2}b+2a{b}^2+b^3$

Temos agora um polinômio com seis termos, onde existem dois pares de termos semelhantes. Vamos agrupar estes termos e depois efetuar a adição de seus coeficientes numéricos.

$a^3+2a^{2}b+a^{2}b+2a{b}^2+a{b}^2+b^3$

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

O resultado é um polinômio de quatro termos e podemos enunciar a regra para sua obtenção da seguinte maneira:

“O cubo da soma de dois números é igual ao cubo do primeiro termo, mais o triplo do produto entre o quadrado do primeiro termo e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo, pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Para lembrar mais facilmente.

Na parte literal a variável do primeiro termo tem o expoente 3 no primeiro termo, expoente 2 no segundo termo, expoente 1 no terceiro termo e expoente 0 no quarto termo. A variável do segundo termo segue o inverso, isto é, seus expoentes estão em ordem crescente.

Vejamos um outro exemplo para resolver, aplicando essa regra.

$${(2x+3y)}^3$$

Para facilitar, vamos por partes. O primeiro termo é 2x  e o seu cubo é

$${(2x)}^3$$

$$8x^3$$

O triplo do quadrado do primeiro, multiplicado pelo segundo termo será:

$3\cdot (2^2{x}^2)(3y)$

$36x^{2}y$

O triplo do primeiro termo, multiplicado pelo quadrado do segundo será:

$3\cdot 2x\cdot (3^2{y}^2)$

$54x{y}^2$

O cubo do segundo termo será

${(3y)}^3$

$27y^3$

Falta apenas escrever os termos na ordem correta, para terminar:

$$8x^3+36x^{2}y+54x{y}^2+27y^3$$

Podemos dizer que esse polinômio de quatro termos é um cubo perfeito.

É a vez do Cubo da Diferença de dois números

Para manter a continuidade, vamos considerar os mesmos números (letras) e desenvolver o produto.

$${(a–b)}^3$$

Novamente desmembramos numa multiplicação de potências de mesma base.

${(a–b)}^2(a–b)$

$(a^2–2ab+b^2)(a–b)$

$a^{2}a–2aab+a{b}^2+a^2(-b)–2ab(-b)+b^2(-b)$

$a^3–2a^{2}b+a{b}^2–a^{2}b+2a{b}^2–b^3$

Agrupando os termos semelhantes e somando os coeficientes:

$a^3–2a^{2}b–a^{2}b+a{b}^2+2a{b}^2–b^3$

$$a^3–3a^{2}b+3a{b}^2–b^3$$

Se compararmos esse polinômio com o que foi obtido no caso do cubo da soma de dois números, veremos que eles são exatamente iguais, exceto dois sinais (-) no segundo e quarto termos. Assim, podemos escrever a regra.

“O cubo da diferença entre dois números é dado pela cubo do primeiro termo, menos o triplo do produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Para lembrar mais facilmente.

A ordem dos expoentes nas variáveis segue a mesma sequência do cubo da soma, apenas os termos pares (segundo e quarto), tem um sinal (-) negativo.

Para aplicar a regra, vamos a um exemplo.

$${(ax–by)}^3$$

O primeiro termo é ax e o segundo termo é by. Vamos agora aplicar a regra.

O cubo do primeiro termo é

${(ax)}^3$

$a^3{x}^3$

O triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo termo é

$3{(ax)}^2(by)$

$3a^{2}b{x}^{2}y$

O triplo do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo é

$3a{b}^{2}xy2$

O cubo do segundo termo é

${(by)}^3$

$b^3{y}^3$

Escrevendo na ordem correta e aplicando os sinais teremos

$$a^3{x}^3–3a^{2}b{x}^{2}y+3a{b}^{2}x{y}^2–b^3{y}^3$$

Produto do quadrado da soma, pela diferença de dois números.

$${(a+b)}^2\times (a–b)$$

Já sabemos que o quadrado da soma é um trinômio quadrado perfeito (trinômio soma). Podemos usar o resultado imediatamente.

$(a^2+2ab+b^2)(a–b)$

$a{a}^2+a(2ab)+a{b}^2+(-b)a^2+(-b)(2ab)+(-b)b^2$

$a^3+2a^{2}b+a{b}^2–a^{2}b–2a{b}^2–b^3$

$a^3+2a^{2}b–a^{2}b+a{b}^2–2a{b}^2–b^3$

$$a^3+a^{2}b-a{b}^2–b^3$$

Podemos enunciar a regra para obter o produto do quadrado de dois números pela sua diferença, como segue.

“O produto do quadrado da soma de dois números, pela sua diferença é dado pelo cubo do primeiro termo, mais o quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo, menos o primeiro multiplicado pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Vamos tentar por em prática? Seja:

$${(2x+y)}^2\cdot (2x–y)$$

$(4x^2+4xy+y^2)(2x–y)$

${(2x)}^3+{(2x)}^{2}y–2x{y}^2–y^3$

$$8x^3+4x^{2}y–2x{y}^2–y^3$$

Produto do quadrado da diferença entre dois números pela sua soma.

$${(a–b)}^2\cdot (a+b)$$

O procedimento é semelhante ao anterior.

$(a^2–2ab+b^2)(a+b)$

$a^{2}a+(-2ab)(a)+a{b}^2+a^{2}b+(-2ab)(b)+(b^2)b$

$a^3–2a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b–2a{b}^2+b^3$

$a^3-2a^{2}b+a^{2}b+a{b}^2-2a{b}^2+b^3$

$a^3–a^{2}b–a{b}^2+b^3$

$$a^3–a^{2}b–a{b}^2+b^3$$

“O produto entre o quadrado da diferença entre dois números e a sua soma, é igual ao cubo do primeiro termo, menos o produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, menos o produto entre o primeiro termo e o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Obs.: Para memorizar, fica bastante fácil. Basta observar que os termos são obtidos de mesmo modo, apenas há a diferença entre os sinais dos termos. Se conseguir criar um mecanismo que permita recordar essas sequências, terá meio caminho andado para lembrar dos enunciados. 

Vamos por em prática.

$(ma+n){(ma–n)}^2$

$(ma+n)[(ma{)}^2–2mna+n^2]$

$m^3{a}^3–m^{2}n{a}^2–m{n}^{2}a+n^3$$

Vamos deixar os exercícios para um momento próximo. Esses são trabalhosos, mas em momentos de aplicação, ajudam a economizar um bocado de tempo no desenvolvimento de expressões maiores. Sem esquecer de um assunto que vem pouco à frente, que é a fatoração, onde fazemos o processo inverso do que fazemos aqui.

Curitiba, 15 de abril de 2016. Republicado em 17 de dezembro de 2017. Atualizado em 07 de junho de 2018.

Décio Adams

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