Equação do segundo grau com e sem solução
Vamos lembrar da Fórmula de Bhaskara e analisar com atenção uma parte dela. Vamos deter nossos olhos na parte que está sob o sinal de raiz quadrada, precedido dos sinais $\pm$.
$$\color{Indigo}{ x = {{-b \pm\sqrt{b^2 – 4ac}}\over 2a}}$$
Nossa atenção deve ser especial sobre essa parte da fórmula, pois sabemos do estudo das raízes de números relativos que, as raízes de índice par só existem para os números positivos e que isso se deve ao fato de só existirem números reais positivos, resultantes de qualquer outro número real elevado a um expoente par.
Como consequência, se a expressão existente sob o radical tiver um valor negativo, não vai haver solução da equação no conjunto dos números reais. Essa expressão é denominada discriminante e costuma ser representada pela letra grega Δ. Assim, teremos:
$$\color{Orchid}{ \Delta = b^2 – 4ac}$$
Isso nos mostra que antes de partirmos para aplicação da fórmula inteira, convém determinar o valor do discriminante e assim saberemos se existe ou não raiz ou solução para a equação com que estamos trabalhando. Iremos encontrar três possibilidades:
- Se o discriminante for positivo, haverá duas soluções reais e diferentes para a equação, como vimos no post anterior.
$\Delta \gt 0 $
$ x’ = {{- b + \sqrt \Delta}\over 2a} $
$ x” = {{ -b – \sqrt\Delta}\over 2a}$
- Se o discriminante for negativo, não haverá solução para a equação no conjunto dos números reais. Neste caso:
\begin{Large}{$ \Delta \lt 0 $\end{Large}
\end{Large}$ x’ \notin {R} $\\begin{Large}
\begin{Large}{\$ x” \notin{R} $\end{Large}
ou simplesmente
$$\color{Brown}{ x \notin {R} }$$
- Se o discriminante for nulo (zero), teremos duas raízes reais e iguais.
$ \Delta = 0 $
$ x’ = x” = {{-b \pm {0}}\over 2a} $
Vamos colocar isso em prática. Comecemos por uma equação do primeiro tipo.
$ x^2 -9x + 20 = 0 $
Comparando a equação com a forma geral
$ ax^2 + bx + c = 0 $
Verificamos que os coeficientes numéricos são:
$ a = 1$
$ b = – 9 $
$ c = 20 $
Substituindo no discriminante:
$\Delta = b²^2- 4\cdot a\cdot c $
$ \Delta = (-9)^2 – 4\cdot 1\cdot 20 $
$\Delta = 81 – 80 = 1 $
Como vemos
$\Delta = 1$
$ \Delta \gt 0 $
Podemos agora resolver o resto:
$ x = {{ – b\pm\sqrt \Delta}\over 2a}$
$ x = {{-(-9)\pm\sqrt{ 1}}\over {2\cdot 1}} $
$x = {{+9\pm {1}}\over 2}$
$ x’ = {{+9 + 1}\over 2} = {+10\over 2} = +5 $
$x” = {{+9 – 1}\over 2} = {+8\over 2} = +4 $
O que nos leva ao conjunto verdade da equação
$$\color{Maroon}{V = {\{ +4, +5\}}}$$
O discriminante deu positivo e temos duas raízes reais e diferentes.
Vamos agora ao segundo tipo.
$ x^2 – 3x +12 = 0 $
Os coeficientes numéricos são:
$ a = 1 $
$ b = – 3 $
$ c = 12 $
$\Delta = b^2 – 4ac $
$\Delta = (-3)^2 – 4\cdot 1\cdot 12 $
$ \Delta = 9 – 48 $
$\Delta = – 39 $
Temos pois
$\Delta \lt 0 $
Consequentemente
$ x \notin R $
O conjunto verdade desta equação é vazio:
$ V = \emptyset $
Vamos apenas substituir na fórmula, para ver como ficaria. Na prática isso é dispensável. Ao encontrarmos o discriminante negativo, podemos imediatamente responder que não há raízes reais para esta equação.
$ x = {{- b \pm\sqrt \Delta}\over 2\cdot a} $
$ x = {{-(-3)\pm\sqrt {-39}}\over 2\cdot 1} $
Vemos que não há solução para a parte da expressão
$\pm\sqrt{-39} $
Isso nos impossibilita de determinar as raízes da equação e portanto não há número real que a transforme em uma sentença verdadeira.
Agora é a hora de uma equação do terceiro tipo, isto é, cujo discriminante é 0(zero).
$x^2 + 4x + 4 = 0$
Os coeficientes numéricos são:
$ a = 1 $
$ b = 4$
$ c = 4$
Calculando o discriminante temos:
$\Delta = (+4)^2 – 4\cdot 1\cdot 4 $
$\Delta = 16 – 16 $
$\Delta = 0 $
Como vimos, o discriminante é nulo nessa equação. Substituindo os coeficientes na fórmula, teremos:
$ x = {{- 4 \pm\sqrt{0}}\over 2\cdot 1} $
$ x’ = x” = {- 4\over 2} $
$ x’ = x” = – 2 $
O conjunto verdade desta equação é
$$\color{Maroon}{V = {\{-2\}}}$$
Determine o conjunto verdade das equações do segundo grau, determinando primeiramente o discriminante para verificar o tipo de raízes, para depois obter seus valores.
a)$ x^2 – 5x + 6 = 0 $
b)$ x^2 +3x -28 = 0 $
c)$ x^2 -6x + 9 = 0 $
d)$ x^2 – 5x + 7 = 0 $
e)$ x^2 + 7x + 15 = 0 $
f)$ x^2 + 8x + 16 = 0 $
g)$ x^2 -4x – 77 = 0 $
Curitiba, 07 de maio de 2016. Republicado em 22 de dezembro de 2017.
Décio Adams
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