Polinômios com uma variável
- Seja por exemplo dividir os polinômios
- $\color{navy}{(x^3 + 5x^2 + x – 10)}: {(x + 2)}$
- Vamos recorrer a colocação dos polinômios na “chave” como fazemos na divisão de números com vários algarismos. Assim:
Começamos com os polinômios colocados em ordem decrescente dos expoentes da variável. Dividimos o termo de maior grau do dividendo, pelo termo de maior grau do divisor. Multiplicamos o divisor pelo quociente $x^2$. O resultado devemos subtrair dos termos de mesmo grau do dividendo. Que resulta em $3x^2$.
- Para continuar baixamos o termo de maior grau seguinte. Ficamos com $3x^2 + x$. Dividimos o termo de maior grau por $x$ e multiplicamos pelo divisor, para depois subtrair do dividendo. O resto é $-5x$.
Baixamos o último termo $-10$, formando a expressão $-5x – 10$. Dividimos o termo de maior grau $-5x$ por $x$. Multiplicamos pelo divisor e subtraímos do dividendo. Os dois termos ficaram simétricos e o resto é zero. Podemos então escrever a igualdade que segue.
- $\color{brown}{(x^2 + x – 5)\cdot (x + 2) = x^3 + 5x^2 + x -10}$
- Vamos dividir os seguintes polinômios. $\color{navy}{(x^5 -3x^3 + 3x^2 +2x -3)\div(x^2 – 1)}$. Antes de colocar os polinômios na chave, precisamos verificar se estão completos, isto é, apresentam todos os coeficientes da variável. Se faltar algum termo, é preciso completar, usando o coeficiente $0$. Assim teremos: $\color{navy}{{(x^5 + 0x^4 + -3x^3 + 3x^2 + 2x -3)}\div{(x^2 + 0x -1)}}$.
O termo de maior grau do dividendo, pelo de maior grau do divisor nos dá $x^3$. O produto pelo divisor resulta em $x^5 + 0x^4 -x^3$. Subtraindo do dividendo, temos o resto $-2x^3$.
- Baixamos o próximo termo $3x^2$ e constatamos que temos somente um binômio. Para dividir, temos que baixar outro termo $2x$, formando um trinômio $-2x^3 +3x^2 + 2x$.
Vamos dividir $-2x^3$ por $x^2$ e resulta $-x$. Multiplicando e subtraindo do dividendo temos o resto $3x^2 + x$. Vamos continuar, colocando à direita do binômio o último termo do polinômio $-3$. Formamos o trinômio $3x^2 + x -3$. Vamos seguir dividindo.
Para concluir dividimos o termo $3x^2$ por $x^2$. Multiplicamos o divisor pelo resultado e subtraimos do dividendo, onde irá sobrar resto 0 (zero).
- $\color{brown}{(x^3 – 2x + 3)\cdot(x^2 -1) = (x^5 -3x^3 + 3x^2 +2x -3)}$
- Vamos exercitar
- Efetuar as divisões de polinômios abaixo relacionadas.
- $\color{maroon}{(5x^5 – 2x^4 -5x^3 +11x^2 + 5x -10)\div (x^3 – 3x^2 + 5) = ?}$
- $\color{maroon}{(x^3 – 3x^2 + 9x – 7)\div (x – 1) = ?}$
- $\color{maroon}{(3x^4 + 7x^3 + 4x^2 +9x – 5)\div (x^2 + 2x – 1) = ?}$
- $\color{maroon}{(2x^6 – 9x^4 + 10x^2 – 3)\div (x^2 – 3) = ?}$
- $\color{maroon}{(5x^3 +23x^2 – 5x + 25)\div (x +5) = ?}$
- $\color{maroon}{(x^3 – 2x^2 -13x -10)\div (x^2 + 3x + 2) = ?}$
- $\color{maroon}{(x^5 + x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x -1)\div (x^2 + 2x + 1) = ?}$
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Curitiba, 16 de julho de 2016. Revisto e republicado em 09 de outubro de 2019
Décio Adams
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