O termo propriedade aqui não é usado no sentido de posse, como quando adquirimos um bem. Ele passa a ser nossa propriedade. Tem aqui o significado de alguma coisa que lhe é característica, própria, que faz parte. Lembro de ouvir muitas vezes os alunos perguntarem:
Para que serve isso, professor?
Nem sempre é fácil explicar, assim na hora, como se diz, “na lata” ou “na bucha”, para que serve determinado conteúdo. Mas, com certeza, ele será útil em um momento futuro e, quando for hora de usar, pode faltar tempo para voltar atrás e aprender. Por isso, esse assunto, aparentemente sem “razão de ser”, ou seja, inútil, é muito importante no desenvolvimento de conteúdos posteriores. Apenas para adiantar, é fundamental no aprendizado da álgebra. No momento oportuno vou mostrar como.
Agora iremos ter os dois fatores com mais de um algarismo. Estaremos dando mais um passo no rumo dos níveis mais altos da matemática. Agora teremos mais de uma linha abaixo do traço horizontal e teremos necessidade de adicionar as colunas conforme a posição de cada algarismo. Vejamos:
${12\cdot 78 = ?}$
78
X 12
Começamos multiplicando ${2\cdot 8 = 16}$. O 6, algarismo das unidades será escrito sob a coluna das unidades e 1, algarismo das dezenas, fica reservado para adicionar no próximo passo. Vamos multiplicar ${2\cdot 7 = 14}$ e adicionamos ${1}$ que é a dezena reservada ${14 + 1 = 15}$. Este número ${15}$ irá para a esquerda do ${6}$, formando na primeira linha o número ${156}$.
78
X 12
156
Agora iremos multiplicar ${10\cdot 78}$. Multiplicar por ${10}$, resulta o número ${780}$, que será colocado sob a primeira linha.78
X 12
156 (primeira linha)
780 (segunda linha)
936 – resultou: novecentos e trinta e seis.
Nas unidades temos o ${6}$ na primeira linha. Na coluna das dezenas ${5 + 8 = 13}$. O ${3}$ é colocado na coluna, reservando ${1}$ centena para adicionar na coluna própria. Nas centenas temos então ${1 + 1 + 7 = 9}$, completando assim o produto de ${12\cdot 78}$.
Vamos a mais um exemplo.
${35\cdot 136 = ?}$
136
X 35
Temos ${5\cdot 6 = 30}$
${5\cdot 3 = 15}$ ⇔ ${ 15 + 3 = 18}$ ⇒${10 + 8}$
${5\cdot 1 = 5}$ ⇒ ${5 + 1 = 6}$
Teremos na primeira linha o número 680.
Na segunda linha ${3\cdot 6 = 18}$ ⇒ ${10 + 8}$.
${3\cdot 3 = 9}$ ⇒ ${1 + 9 = 10}$ ⇒ ${10 + 0}$.
${3\cdot 1 = 3}$⇒ ${1 + 3 = 4}$
Na segunda linha formamos o número 408, que escrevemos abaixo da primeira linha, deixando a coluna das unidades vaga ou a completamos com um 0 (zero).
136
X 35
680
4080
4760 (quatro mil setecentos e sessenta) é o produto resultante.
Hora de exercitar novamente.
Efetue as multiplicações indicadas abaixo.
${24\cdot 169 = ?}$
${19\cdot 324 = ?}$
${42\cdot 275 = ?}$
${32\cdot 538 = ?}$
${65\cdot 417 = ?}$
${71\cdot 814 = ?}$
${84\cdot 742 = ?}$
${54\cdot 249 = ?}$
${66\cdot 461 = ?}$
${84\cdot 569 = ?}$
${32\cdot 803 = ?}$
Com estes exemplos resolvidos, você tem condições de se orientar em outras multiplicações semelhantes, bastará escolher números quaisquer e aplicar o mesmo raciocínio.
Curitiba, 15 de outubro de 2017. Atualizado em 20 de julho de 2018.
No post anterior, aprendemos a multiplicar os números com apenas um algarismo. Espero ter conseguido mostrar como se procede e que tenha dominado esse conteúdo. Havendo alguma dúvida, por favor, peça maiores explicações, fazendo um comentário expondo sua dificuldade. E quando os fatores forem números com mais de um algarismo, como iremos proceder? A operação é a mesma, apenas torna-se difícil fazer a representação concreta de conjuntos, depois contar os elementos para obter a resposta. Mas não se aflija. Novamente usaremos a escrita na forma de colunas e multiplicaremos todos os algarismos de um fator, por todos os algarismos do outro fator, escrevendo os resultados sob as colunas correspondentes. Se houver mais de uma linha, adicionaremos os valores de cada coluna, partindo da direita para a esquerda. A soma encontrada será o produto dos números. Nada melhor do que mostrar como se procede, com um bom exemplo resolvido.
${18\cdot 4 = ?}$
18
X 4
Começamos da direita para esquerda, multiplicando ${4\cdot 8 = 32}$. O produto resultou em mais de uma dezena. Colocamos o algarismo das unidades (2), na direita, abaixo do quatro e reservamos as (3) dezenas para serem adicionadas ao resultado da multiplicação de ${4\cdot 1 = 4}$; adicionamos as dezenas reservadas ${4 + 3 = 7}$. Colocando o 7 à esquerda do dois, teremos o resultado da multiplicação.
18
x4
72 (setenta e dois é o produto: ${4\cdot 18 = 72}$).
Um outro exemplo: ${6\cdot 35 = ?}$
35
X 6
Começando novamente da direita: ${6\cdot 5 = 30}$. O algarismo das unidades é (0) e reservamos três dezenas para o próximo passo. Fazendo ${6\cdot 3 = 18}$. Adicionamos as três dezenas e temos ${18 + 3 = 21}$, que será escrito à esquerda do (0) das unidades. Teremos:
É isso que o Criador disse aos primeiros homens a caminhar sobre a Terra. Mas a nossa multiplicação aqui é um pouco diferente. Vamos multiplicar números, começando por entender o que significa essa operação. Observe o exemplo.
Note que o conjunto de dois elementos foi adicionado três vezes, ou seja, temos uma adição de parcelas iguais, onde cada parcela tem dois elementos. Sempre que surge a ocasião de simplificar a forma de escrever ou seja traduzir em palavras ou símbolos uma sentença matemática, nós o fazemos. Nesse caso, podemos fazer a multiplicação e fica assim:
${3\cdot {♦,♦,} = {3\cdot 2} = 6}$
Lemos aqui: “Tres vezes dois é igual a seis”. Os dois números multiplicados recebem o nome de fatores.
A multiplicação na verdade é nada mais nada menos que uma adição de parcelas iguais. É importante lembrar desse detalhe, pois será muito útil em situações que virão pela frente.
Observe que nos exemplos e exercícios anteriores, propositalmente eu coloquei números de modo que sempre o algarismo do minuendo é maior que o do subtraendo. O objetivo era mostrar como se procede nesse caso.
Agora, vamos ver o que fazer quando se trata de subtrair um número maior de um menor. Olha só:
46 – 29 =
4 6
– 2 9
Observe que na coluna das dezenas temos (6 – 9 = ?). Com o que aprendemos até aqui, não é possível subtrair 9 unidades de onde há somente 6 delas. O que as pessoas, principalmente nas comunidades menores, onde todos se conhecem, fazem se por acaso faltar açúcar para adoçar o café ou o chá? Alguém corre até a vizinha e pede uma xícara ou copo do produto emprestado. Quando comprar, devolve e pronto. Nós vamos fazer algo parecido. Veja o algarismo das dezenas. Ele tem unidades sobrando em relação ao subtraendo e pode emprestar uma dezena ao 6, formando então 16, o que torna possível a subtração ( 16 – 9 = 7).
Como o 4 emprestou uma dezenas de unidades ao seu “vizinho” 6, ele agora só possui mais 3 dezenas e a operação fica assim (3 – 2 = 1). Colocamos os dois algarismos nas colunas e formamos o número 17, que é a diferença dos números dados.
46
–
29
17
Subtraindo manualmente 3
607 – 259 =
6 0 7
-2 5 9
Subtraindo manualmente 4
348
Note que nas unidades temos (7 – 9 = ?). Não é possível. Precisamos emprestar do vizinho. Mas a casa vizinha está vazia, não mora ninguém (0). Vamos emprestar uma unidade de centenas do 6, nessa ordem. Uma centena tem dez dezenas e o (0) também vai precisar emprestar para poder subtrair dele o 5. Então pegamos uma das 10 dezenas e juntamos ao 7, formando 17 e as outras 9 dezenas ficam no lugar do (0) e podemos fazer a subtração (17 – 9=8). Depois (9 – 5 = 4) e por último (5 – 2 = 3). Não podemos esquecer que o 6 emprestou uma de suas centenas aos vizinhos “mais pobres” para que eles pudessem pagar a “conta” (kkkkkkk).
Colocamos os resultados nas suas colunas e temos
607 – 259 = 348.
3479 – 1684 =
3 4 7 9
-1 6 8 4
Na coluna das unidades temos (9 – 4 = 5). Na coluna das dezenas (7 – 8=?) o que é impossível. Vamos ver se o vizinho empresta uma centena. O vizinho tem 4 unidades de centena e pode emprestar uma. Fica (17 – 8 = 9). Agora nas centenas ficou (3 – 6 =?) é impossível. Novamente emprestamos do vizinho, mais rico, que tem 3 milhares e pode emprestar um. Ficamos com (13 – 6 = 7) e por último nos milhares ficamos com (2 – 1 = 1). Temos todos os algarismos para formar o número que é a diferença.
3 4 7 9
-1 6 8 4
Subtraindo manualmente 5
1 7 9 5
Vamos ver se ficou entendido. Se ficar alguma dúvida, pergunte que eu esclareço depois. Chegou a vez de fazer exercícios.
Efetue as subtrações.
73 – 32 =
92 – 57 =
167 – 86 =
462 – 349 =
853 – 537 =
651 – 423 =
1567 – 925 =
3749 – 1567 =
20534 – 12528 =
5781 – 4059 =
6724 – 2549 =
17243 – 8934 =
304752 – 95863 =
Prova real
Dissemos no começo do texto que a subtração é a operação inversa da adição. Se isso é verdadeiro, deve ser possível tirar a prova, isto é, verificar se o resultado está correto. Vamos ver como é que se faz isso?
Se: 607 – 259 = 348, então
Prova real da subtração
348 + 259 = 607
Se fizermos a soma do resto (diferença) com o subtraendo, encontraremos o minuendo. Isso sempre será verdadeiro e vale a mesma coisa, apenas em sentido inverso para tirar a prova da soma.
Faça a prova real dos resultados da lista de exercícios deixada acima. Assim você comprova que fez a subtração da forma correta.
Se houver dúvidas, entre em contato por meio de um dos canais abaixo e peça ajuda. Não fique em dificuldades, peça auxílio para sanar o problema.
Começaremos por dizer que a subtração é a operação inversa da adição. Se na adição nós juntamos, reunimos os elementos de mais de um conjunto, na subtração fazemos o contrário. Retiramos, diminuimos os elementos de um conjunto(subtraendo), dos elementos de outro conjunto(minuendo) normalmente maior. Por exemplo:
Na forma de conjuntos, basta contar os elementos a serem subtraidos(subtraendo), retirando-os do conjunto (minuendo) e teremos um conjunto que é igual a diferença entre os dois. No exemplo temos 7 elementos no minuendo e 3 no subtraendo. Restaram 4 elementos no conjunto diferença. Para conferir se está certo, basta contar os elementos do resto, junto com os elementos do subtraendo e deveremos encontrar o minuendo. Você pode usar os dedos das suas mãos, dos pés, outros objetos para formar os conjuntos que ajudarão a efetuar essas operações. Com isso logo, logo, saberá de cor e salteado a diferença entre esses números pequenos, ficando mais fácil obter o resultado.
Você deve ter notado que os exemplos e exercícios vistos até aqui nessa etapa, todos foram escolhidos de forma que a soma dos algarismos de cada coluna ficasse menor do que uma dezena. Isso facilitou nossa atividade. Mas na vida prática, isto não acontece dessa forma. Constantemente teremos adições, de vários números e as somas das colunas irão ultrapassar, e muito, a uma dezena. O que faremos neste caso?
Números com vários algarismos. Mais de dois números.
Vamos ver agora como se procede com mais de dois números. Sejam os números.
35 + 21 + 43 =
3 5
+ 2 1
4 3
Fazendo adição à mão 3
9 9
Temos na coluna das unidades simples (5 + 1 + 3 = 9) e na coluna das dezenas (3 + 2 + 4 = 9). Escrevemos os dois resultados abaixo das colunas correspondentes, sob a reta horizontal e temos o resultado da adição, que dá noventa e nove (99). São nove dezenas e nove unidades simples.
413 + 324 + 252 =
4 1 3
+ 3 2 4
2 5 2
Fazendo adição à mão 4
9 8 9
Na coluna das unidades temos (3 + 4 + 2 = 9), na coluna das dezenas (1 + 2 + 5 =8) e na coluna das cebtebas simples temos ( + 4 + 3 + 2 = 9). Escrevendo os resultados abaixo das colunas correspondentes, teremos o resultado da adição que é 989. Nove centenas, oito dezenas e nove unidades simples. Facilmente entendemos que se houver mais números a serem adicionados, bastará escreve-los todos na forma de colunas e efetuar a adição, começando da direita (unidades) para esquerda. Novamente iremos exercitar o que vimos.
Efetue as adições, escrevendo em colunas os números (parcelas).
17 + 42 + 30 =
43 + 12 + 34 =
132 + 225 + 312 =
315 + 462 + 212 =
3125 + 2423 + 1321 =
1473 + 3012 + 4114 =
132 + 205 + 230 + 322 =
92 + 142 + 231 + 420 + 23 =
Realize as adições e confira, revisando para ter certeza de que o resultado é o que você encontrou. Se tiver dúvidas, entre em contato comigo por um dos canais abaixo listados.
Como já vimos anteriormente, os algarismos do sistema decimal de numeração, são em número de dez símbolos. Todos os demais números são escritos com estes símbolos, que passam a ter valores diferentes dependendo da ordem e classe em que estão colocados. Para resolver a adição de números com vários algarismos, de forma manual, começamos por escrever seus algarismos, formando colunas de modo que as ordens e classes fiquem na mesma coluna. Assim:
48 + 31 =
4 8
+
3 1
Fazendo adição à mão 1
7 9
Note que o 8 e o 1 estão ambos na coluna das unidades simples. ( 8 + 1 = 9) adicionamos os dois números e colocamos abaixo de uma linha horizontal traçada sob as colunas. O número 4 + 3 = 7 e também colocamos abaixo da coluna das dezenas de unidades. Dessa forma, resultou que a soma de 48 + 31 = 79. São sete dezenas e nove unidades.
