Até aqui fizemos multiplicação, adição, subtração e divisão de polinômios. O que faremos agora é transformar um polinômio numa multiplicação de um termo algébrico por um polinômio, ou um polinômio por outro.
Começaremos pelo caso mais simples. Um polinômio em que todos os termos possuem um fator comum. Colocaremos este fator em “evidência” e multiplicado pelo que resta do polinômio.
Analisando os três termos do polinômio, observamos que todos eles tem em comum:
O fator numérico $3$.
Os fatores literais $ax^2$.
Para obtermos a fatoração do polinômio, iremos multiplicar o mesmo pelos fatores comuns $3ax^2$ e dividir todos os termos pelos mesmos. Vejamos como fica isso;
Note que se trata de um trinômio onde há dois termos que são quadrados: $16 $ e $x^2$. O termo do meio é igual ao produto das raízes dos outros dois termos, multiplicado por $2$. Então podemos fatorar esse trinômio em um produto notável que é o quadrado da soma das raízes dos dois termos quadrados.
Temos o primeiro termo $9x^2$ e o terceiro $25y^2$. O termo do meio é o dobro do produto das raízes quadradas dos outros dois termos, precedido do sinal (-). Logo, a expressão dada pode ser fatorada no quadrado da diferença entre essas raízes. Fica assim:
Antes de fazer exercícios, vejamos mais um exemplo.
\begin{align}\color{Sepia}{4x^2 – 9}\end{align}
Temos um binômio que representa a diferença entre dois quadrados. Como vimos isso permite que podemos fazer o caminho inverso e escrever na forma de um produto da soma pela diferença.
É muito utilizada a fatoração de polinômios que contenham fatores comuns em dois fatores, formando um produto de binômios ou binômio por trinômios. É denominada Fatoração por agrupamento. Fatoramos dois termos e depois os outros dois. Se for possível transformar o polinômio em um produto de binômios, deverão surgir dois fatores comuns entre as partes da primeira etapa. Colocamos em evidência e terminamos o processo.
Temos um fator comum entre os termos $10x + 6$, que é $2$. Também entre os termos $-15xy -9y$, o fator comum é $-3y$. Isso nos permite fatorar os termos dois a dois. Vejamos como fica:
No estudo da regra de três simples, usamos apenas duas grandezas que se relacionam. Sendo um dos valores desconhecido, é possível descobrir seu valor com o uso dos outros três valores conhecidos, formando uma proporção. A aplicação das regras das proporções nos fornece procedimentos para atingir nossa finalidade.
Quando o problema envolve três ou mais grandezas, a regra simples não nos ajuda. Mas podemos recorrer à chamada Regra de Três composta. Para isso é conveniente elaborar uma tabela com tantas colunas quantas forem as grandezas. Haverá grandezas diretamente proporcionais e as inversamente proporcionais, ocasionando a inversão da ordem em que aparecem no cálculo. Vamos tomar um exemplo.
Sabendo que $5$ torneiras iguais, totalmente abertas, enchem um tanque de $6000$ litros de água, em $4$ horas de fluxo. Se colocarmos $8$ torneiras iguais, enchendo um tanque de $10000$ litros, qual será o tempo para conclusão do processo?
Torneiras
Litros
Horas
5
6000
4
8
10000
X
Analisando o problema, notamos que, se o volume de água permanecer o mesmo, o número maior de torneiras tornará o tempo gasto menor. O que nos leva a concluir que o número de torneiras é inversamente proporcional ao tempo. Se o número de torneiras permanecer constante, haverá uma demora maior do que as 4 horas para encher o tanque de 10000 litros. Volume de água e tempo diretamente proporcionais. Então podemos escrever a proporção da seguinte forma.
$ {4\over X} ={8\over 5}\times{6000\over 10000}$
${4\over X} = {48000\over 50000}$
Multiplicando os extremos e os meios entre si, teremos:
$48000\times X = 4\times 50000$$\Leftrightarrow$$X = {200000\over 48000}$
$$\color{Brown}{X \simeq 4,17 horas}$$
2. Usando um ferro elétrico $1$ hora por dia, durante $20$ dias, o consumo de energia será de $10\, kW/h$. Se o mesmo ferro elétrico for usado $110$ minutos por dia durante $30$ dias, qual será o consumo?
tempo/dia
Dias
Consumo(kW/h)
60
20
10
110
30
x
As grandezas todas são diretamente proporcionais. Usando o ferro por mais dias, aumentará o consumo. Usando o mesmo ferro por mais tempo diariamente o consumo em 20 dias também aumentará. Então a proporção ficará:
$ 1200\times X = 10\times 3300$$\Leftrightarrow$$ X = {10\times 3300\over 1200}$
$$\color{Sepia}{X = 27,5\, kW/h}$$
3. Trabalhando $10$ horas por dia, durante $18$ dias, João recebeu $R\$ 2 100,00$. Se trabalhar $8$ horas por dia, quantos dias ele deverá trabalhar para receber $R\$ 2 700,00$?
Horas/dia
Dias
Remuneração
10
18
2.100,00
8
x
2.700,00
O número de horas diárias é inversamente proporcional ao número de dias. Os dias de trabalho são proporcionais ao valor da remuneração. Então devemos estabelecer a proporção:
4. Em uma empresa, $10$ funcionários produzem $3 000$ peças, trabalhando $8$ horas por dia durante $5$ dias. O número de funcionários necessários para que essa empresa produza $7 000$ peças em $15$ dias, trabalhando $4$ horas por dia, será de quanto?
Nº funcionários
Nº peças
h/dia
Dias
10
3000
8
5
X
7000
4
15
O número de peças é proporcional ao número de funcionários. O número de horas dia é inversamente proporcional ao número de funcionários. O número de dias é inversamente proporcional ao número de funcionários. Portanto a proporção fica sendo:
Serão 16 funcionários pois não existe fração de funcionário.
Exercitando.
01. (Unifor–CE) Se $6$ impressoras iguais produzem $1000$ panfletos em $40$ minutos, em quanto tempo $3$ dessas impressoras produziriam $2000$ desses panfletos?
02.(UFMG)- Uma empresa tem $750$ empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante $25$ dias. Se essa empresa tivesse mais $500$ empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias?
03.(Unifor–CE)Um texto ocupa $6$ páginas de $45$ linhas cada uma, com $80$ letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para $30$ o número de linhas por página e para $40$ o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.
04.(UFRGS-RS)-Se foram empregados $4\, kg$ de fios para tecer $14$ m de uma maquete de fazenda com $80\,cm$ de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir $350\,m$ de uma maquete de fazenda com $120\,cm$ largura?
05.Em $8 horas$, $20$ caminhões descarregam $160\,m^{3}$ de areia. Em $5 horas$, quantos caminhões serão necessários para descarregar $125\,m^{3}$?
06.Em uma fábrica de brinquedos, $8$ homens montam $20$ carrinhos em $5$ dias. Quantos carrinhos serão montados por $4$ homens em $16$ dias?
07.Dois pedreiros levam $9$ dias para construir um muro com $2\,m$ de altura. Trabalhando $3$ pedreiros e aumentando a altura para $4\,m$, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
08. Três torneiras enchem uma piscina em $10$ horas. Quantas horas levarão $10$ torneiras para encher $2$ piscinas?
09.Uma equipe composta de $15$ homens extrai, em $30$ dias, $3,6$ toneladas de carvão. Se a equipe for aumentada para $20$ homens, em quantos dias conseguirão extrair $5,6$ toneladas de carvão?
10.Vinte operários, trabalhando $8$ horas por dia, gastam $18$ dias para construir um muro de $300\,m$. Quanto tempo levará uma turma de $16$ operários, trabalhando $9$ horas por dia, para construir um muro de $225\,m$?
11.Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando $8\, horas$ por dia, a uma velocidade média de $50\,km/h$. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em $20$ dias, a uma velocidade média de $60\,km/h$?
12.Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz $5400\,m$ de tecido com $90\,cm$ de largura em $50\, minutos$. Quantos metros de tecido, com $1$ metro e $20$ centímetros de largura, seriam produzidos em $25\, minutos$?
Havendo dúvidas na resolução dos exemplos ou sobre o raciocínio a ser desenvolvido de modo geral, use um dos canais abaixo listados para pedir ajuda. Não fique na dúvida. Aproveite para esclarecer tudo sem problema algum.
As razões trigonométricas podem ser estudadas com mais detalhes no que é denominado círculo trigonométrico. Traçamos um círculo, cujo raio convencionamos sendo igual a unidade ($r = 1$). O centro desse círculo se localiza nas coordenadas $(0,0)$ de um plano cartesiano $XOY$. O ponto de intercessão desse círculo com o semi-eixo positivo de , $\overrightarrow{OX}$, é convencionado como sendo a origem dos arcos crescentes. O sentido positivo desses arcos é o anti-horário. Essa convenção é adotada no mundo inteiro.
Os eixos cartesianos $XOY$, dividem o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, denominadas quadrantes. Obedecendo ao sentido dos arcos crescentes, anti-horário, temos:
$0^{0}\leq\alpha\leq(90^{0})$$\rightarrow$ primeiro quadrante;
$(90^{0})\leq\alpha\leq(180^{0})$$\rightarrow$ segundo quadrante;
$(270^{0})\leq\alpha\leq(360^{0})$$\rightarrow$ quarto quadrante.
Isto completa uma volta ou seja o retorno à posição da origem dos arcos crescentes $(360^{0})\leqq(0^{0})$.
Imagine um ponto colorido existente na periferia de uma roda, que gira em torno de um eixo. Se ela girar no sentido dos arcos crescentes (anti-horário), esse ponto irá ocupar uma posição diferente a cada instante. O arco descrito tem a medida denominada pela letra $l$, e o raio do arco tem medida $r$, no círculo trigonométrico. A divisão do comprimento desse arco, pelo raio do círculo, nos dará a medida do ângulo em radianos.
$\alpha = \frac{l}{r}\, rad$
A unidade radiano, como se pode perceber, é definida em função dos elementos do arco. Podemos considerar essa unidade como a unidade natural de ângulos ou arcos. O arco tem o mesmo valor numérico do ângulo, por conta do fato de o raio do círculo trigonométrico ser unitário.
Já a unidade que é mais usada em alguns casos para medir os ângulos é o grau e sua subdivisão em minutos. Estes por sua vez são divididos em segundos. Assim, se um ângulo medir a graus, b minutos e c segundos, escreveremos essa medida da seguinte forma:
$$\alpha = a^{0}b’c”$$.
Em um círculo completo temos $360^{0}$. (Herança do sistema sexagesimal de numeração deixada pelos povos Fenícios e seus ancestrais).
Do estudo da circunferência, sabemos que ela, retificada, isto é, aberta e esticada, mede ${C = 2\pi\cdot r}$
O que nos permite estabelecer que uma volta completa do ponto sobre o círculo, terá descrito um arco de:
$(360^{0}) = 2\pi \,rad$
Expressão Geral dos arcos côngruos
É possível obter inúmeras determinações de um mesmo ângulo, todas elas diferindo entre si de um número inteiro de voltas completas sobre o círculo trigonométrico. Estes arcos são denominados arcos côngruos. Apenas para dar um exemplo, vejamos:
$\frac{1}{3}\cdot \pi \, rad= 2\pi + \frac{1}{3}\cdot\pi\, rad = 4\pi + \frac{1}{3}\cdot\pi\, rad = 6\pi + \frac{1}{3}\cdot\pi \, rad = 8\pi + \frac{1}{3}\cdot\pi \, rad =…..$
Os coeficientes são números pares, pois uma volta completa é igual a $360^{0} = 2\pi\, rad$.
Usando para simbolizar o número inteiro de voltas a letra grega $\kappa$, podemos escrever a expressão dos arcos côngruos, para qualquer arco, dessa forma:
$\alpha = 2\kappa\pi +\frac{n}{D}\cdot\pi \, rad$
O último termo da expressão geral $\frac{n}{D}\cdot\pi $ é a menor determinação positiva do arco. Podemos entender como sendo a parte do arco menor do que uma volta completa sobre o círculo. A razão $\frac{n}{D} \lt 2$ o que implica em $n\lt{2D}$.
O primeiro termo representa o arco total descrito por um ponto em ciclos, ao redor do eixo de rotação que passa pelas coordenadas $(0,0)$ e é perpendicular ao plano $XOY$, nesse ponto.
No caso de o arco ser medido em graus, iremos dividir sua medida por $360^{0}$. O quociente inteiro será o número de voltas $\kappa$ e o resto será $\alpha $, a menor determinação positiva. Resumindo as duas formas de escrever a expressão geral dos arcos côngruos, temos:
$\gamma = 2\kappa\pi + \frac{n}{D}\pi$
$\gamma = \kappa\cdot{360^{0}} + \alpha$
No círculo trigonométrico, fica bem mais simples visualizar e entender as razões trigonométricas. Para cada ângulo, temos um arco correspondente. O vértice sempre está sobre o centro do círculo. As coordenadas do ponto que representa a extremidade do arco, no plano cartesiano, representam os catetos de um triângulo retângulo. O raio unitário é a hipotenusa. Observemos a figura.
O arco $\widehat{AB}$, subtende o ângulo central $\alpha$. Os segmentos $\overline{BB_x}$ e $\overline{B_yO}$ têm a mesma medida e esta é o cateto oposto ao ângulo central subtendido pelo arco. Os segmentos $\overline{BB_y}$ e $\overline{B_xO}$, têm a mesma medida e representam o cateto adjacente ao ângulo central. O segmento $\overline{OB}$ é o próprio raio unitário do círculo trigonométrico e, como vimos, é a hipotenusa do ângulo central subtendido pelo arco.
Nessa nova figura, o arco $\widehat{AB}$ tem a extremidade $B$ no segundo quadrante e portanto o ângulo central subtendido pelo arco está compreendido no intervalo ${\frac{\pi}{2}\leq\alpha\leq{\pi}}$. Podemos notar que a projeção da extremidade sobre o eixo $X$, é um valor negativo, ou seja, o cateto adjacente para cálculo das razões trigonométricas é ${\overline{B_xO}\lt0}$.
Podemos notar que para cada arco do primeiro quadrante, existe um outro, cuja extremidade fica no segundo quadrante. São os denominados ângulos suplementares. Eles têm a característica de possuírem o mesmo valor para o seno e valores simétricos para o cosseno. Isso pode ser observado nas figuras ao lado e a seguir. Vejamos a primeira figura. Percebe-se facilmente que os arcos $\widehat{AB}$ e $\widehat{AC}$, subtendem dois ângulos que, somados totalizam $(180^{0}) = {\pi} rad$. As projeções dos pontos $B$ e $C$ sobre os eixos cartesianos, são $\overline{BB_x} = \overline{CC_x}$ e $\overline{CC_y}=-\overline{BB_y}$, de modo que os valores do seno para ambos são iguais, enquanto os valores do cosseno são simétricos. Isso é sempre válido, em qualquer situação, para ângulos suplementares.
Se fizermos essa observação para todos os pares de ângulos suplementares que possamos imaginar, verificaremos que sempre ocorrerá a mesma coisa. Portanto a razão $sen\alpha$ para todos os ângulos compreendidos entre $(0^{0})\lt\alpha\lt(180^{0})$ é positiva. Já a razão $cos\alpha$ é positiva no intervalo entre $0^{0}\leq\alpha\lt(90^{0})$ e negativa para o intervalo entre $(90^{0})\lt\alpha\leq(180^{0})$.
Vejamos como se comportam as razões trigonométricas do terceiro quadrante, isto é, para ângulos no intervalo entre $(180^{0}\leq\alpha\leq(270^{0})$.
Um arco de origem $(0^{0})$ e extremidade no terceiro quadrante do círculo trigonométrico, tem projeções ortogonais $\overline{B_{x}O}$ e $\overline{B_{y}O}$, ambas negativas e por tal motivo, tanto a razão “seno” quanto a razão “cosseno” é negativa.
Prolongando o segmento $\overline{BO}$ para o primeiro quadrante, determinamos o ângulo equivalente no primeiro quadrante. Esse procedimento denominamos redução ao primeiro quadrante. Isso nos permite memorizar mais facilmente os valores das razões trigonométricas, que são iguais em módulo. Os sinais veremos numa tabela resumo daqui a pouco.
Um arco $\widehat{AB}$, com extremidade no quarto quadrante, tem as projeções ortogonais com sinal positivo no eixo $X$ e negativo no eixo $Y$. Desse modo teremos a razão seno negativa e a razão cosseno positiva. O prolongando o raio $\overline{OB}$, até encontrar o círculo no segundo quadrante, no ponto $B’$,s podemos depois encontrar o correspondente no primeiro quadrante. O arco $\widehat{AB”}$ é simétrico do arco $\widehat{BA}$, implemento de $\widehat{AB}$
A seguir vamos construir uma tabela com os valores das principais razões trigonométricas em uma volta completa do círculo trigonométrico.
$ângulo$
sen
cos
tg
ctg
sec
csc
$0^{0}$
0
1
0
$\pm\infty$
1
$\infty$
$30^{0}=\frac{\pi}{6}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\sqrt{3}}$
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
2
$45^{0}=\frac{\pi}{4}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
1
1
${\sqrt{2}}$
${\sqrt{2}}$
$60^{0}=\frac{\pi}{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{2}$
${\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
2
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$90^{0}=\frac{\pi}{2}$
1
0
$\pm\infty$
0
indet
1
$120^{0}=\frac{2\pi}{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
${-\frac{1}{2}}$
$-{\sqrt{3}}$
${-\frac{\sqrt{3}}{3}}$
-2
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$135^{0}=\frac{3\pi}{4}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
${-\frac{\sqrt{2}}{2}}$
-1
-1
${-\sqrt{2}}$
${\sqrt{2}}$
$150^{0}=\frac{5\pi}{6}$
$\frac{1}{2}$
${-\frac{\sqrt{3}}{3}}$
${-\frac{\sqrt{3}}{3}}$
${-\sqrt{3}}$
$\frac{-2\sqrt{3}}{3}$
2
$180^{0}={\pi}$
0
-1
0
${\pm\infty}$
-1
indet
$210^{0}=\frac{7\pi}{6}$
${-\frac{1}{2}}$
${-\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\sqrt{3}}$
${-\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
-2
$225^{0}=\frac{5\pi}{4}$
${-\frac{\sqrt{2}}{3}}$
${-\frac{\sqrt{2}}{2}}$
1
1
${-{\sqrt{2}}}$
${-{\sqrt{2}}}$
$240^{0}=\frac{4\pi}{3}$
${-\frac{\sqrt{3}}{2}}$
${-\frac{1}{2}}$
${\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
-2
${-\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
$270^{0}=\frac{3\pi}{2}$
-1
0
${\pm\infty}$
0
Indet
${-\infty}$
$300^{0}=\frac{5\pi}{3}$
${-\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\frac{1}{2}$
${-\sqrt{3}}$
${-\frac{\sqrt{3}}{3}}$
2
${-\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
$315^{0}=\frac{7\pi}{4}$
${-\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
-1
-1
${\sqrt{2}}$
${-{\sqrt{2}}}$
$330^{0}=\frac{11\pi}{6}$
${-\frac{1}{2}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
${-\frac{\sqrt{3}}{3}}$
${-{\sqrt{3}}}$
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
-2
Já podemos exercitar alguma coisa. Vejamos:
01. Um ângulo central, subtendido pelo arco $\widehat{AB}$, de origem no ponto “zero” dos arcos crescentes, mede $\alpha = \frac{27}{4}\cdot\pi\, rad$. Encontre a menor determinação desse ângulo e reduza-o ao primeiro quadrante.
Para resolver essa questão vamos obter a sua expressão na forma geral dos arcos, dividindo a medida por $2\pi$. O maior quociente inteiro nos fornece o valor do $\kappa$, isto é, o número de voltas completas. Cada volta, podemos denominar “ciclo”.
A menor determinação positiva desse arco será um arco de $135^{0}$ e equivale ao arco de $45^{0}$ no primeiro quadrante.
02. Um arco começa na origem dos arcos crescentes e sua extremidade está a $3540^{0}$ desse ponto. Determine: a)a expressão geral dos arcos côngruos; b) a menor determinação do arco; c) o equivalente no primeiro quadrante.
Começamos pela determinação do número de ciclos e da menor determinação positiva.
$\frac{3540^{0}}{360^{0}} = 9 ciclos + 320^{0}$
$\kappa = 9 ciclos$$\Rightarrow$ número de voltas completas.
$\alpha = 320^{0}$$\Rightarrow$ menor determinação positiva do arco.
O arco tem dois ciclos completos e a menor determinação positiva é $\alpha = \pi\, rad$
08. Um arco tem a medida de $\gamma = \frac{15\pi}{4}\, rad$. Obtenha a sua menor determinação positiva e escreva a expressão geral dos seus arcos côngruos.
$\alpha = \frac{7}{4}\cdot\pi\, rad$$\rightarrow$ menor determinação positiva do arco.
09. Verifique se os ângulos $\gamma = \frac{25\pi}{3}\, rad$ e $\beta = \frac{37\pi}{3}\, rad$ são côngruos. Escreva a expressão geral dos arcos se forem côngruos.
Os arcos são côngruos e a expressão geral dos mesmos é:
$\zeta = 2\kappa\pi + 1\cdot\pi\, $
Exercícios para resolver.
01. (FEI) Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco de medida $\frac{38}{3}\cdot\pi\, rad $
02. (FEI) Quantos são os valores de m compreendidos entre 30 e 40, que tornam côngruos os arcos de medidas $(4m+10).180^{0}$ e $(3m-2).180^{0}$ ?
03. Sendo a medida de um arco 5845^{0}. Determine sua menor determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos.
04. Um arco mede ${43}{4}\pi\, rad$. Qual é a sua menor determinação positiva? Escreva a expressão geral dos arcos côngruos.
05. Dois arcos medem ${47}{3}\pi\, rad$ e ${33}{5}\pi\, rad$. Determina as menores determinações desses arcos, verifique se são côngruos e escreva as expressões gerais dos arcos côngruos.
Havendo dúvidas, peça ajuda por meio de um dos canais abaixo listados.
01. Um dos ângulos agudos de um triângulo tem como $sen\alpha = {\sqrt{5}\over 4}$. Determine: a) o cosseno desse ângulo; b) a tangente e cotangente desse ângulo; c) a secante e cossecante desse ângulo.
01. Se um triângulo isósceles tem o ângulo oposto à base, medindo $\alpha = 60º$, determine o seno e o cosseno do ângulo resultante da justaposição de dois desses triângulos, como mostra a figura.
02. Sabendo que um ângulo $\beta$ mede mede 30º e o outro mede 45º. Determine a tangente e cotangente da soma desses dois ângulos.
Triângulos contíguos, com um vértice comum.
03. Dois triângulos são colocados lado a lado, de modo a fazer coincidir um de seus vértices da base. O primeiro é equilátero e o segundo isósceles, onde o ângulo do vértice superior mede 45º. Determine: a) o seno do ângulo entre os lados dos dois triângulos $\color{red}{\alpha}$; b) o cosseno da soma do ângulo interno do equilátero e o lado do isósceles$\color{red}{(\alpha + \gamma)}$; c) o seno do ângulo formado entre a base do isósceles e o lado do equilátero$\color{red}{(\alpha + \beta)}$.
05. Sendo os ângulos $\color{red}{\alpha = 60º}$ e $\color{red}{\beta = 45º}$, determine: a) $cos{(\alpha – \beta)}$; b)$sen{(\alpha – \beta)}$; c)$tg{(\alpha – \beta)}$.
06. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que tgα=4/3 e α pertence ao primeiro quadrante($0\lt\alpha\lt90^{0}$.
07. Demostrar as seguintes igualdades trigonométricas:
12. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que $ sen\alpha=3/5 $ e $0\lt\alpha\lt90$, isto é pertence ao primeiro quadrante.
13. Calcular as outras razões trigonométricas sabendo que o $cos\alpha=5/13$ e $ \alpha$ pertence ao primeiro quadrante.
14. Calcular as outras razões trigonométricas sabendo que $ tgα=4/3$ e $α$ pertence ao primeiro quadrante.
15. Calcular as demais razões trigonométricas sabendo que o $\color{Green}{ cos\alpha={4\over 5}}$ e $0< α<90^{0}$, isto é, pertence ao primeiro quadrante.
Irá seguir em pouco tempo um post com a resolução de todos esses exercícios para que possas conferir e tirar dúvidas.
Já vimos no post anterior as primeiras relações e iremos recordá-las agora, para depois complementar com mais algumas e resolver exercícios de aplicação.
O triângulo $\Delta{ABCA}$ é inscrito na circunferência, cujo diâmetro mede $d = 2r$. Um segmento de reta que passa pelo vértice $\hat{B}$, pelo centro e encontra a circunferência no ponto $\hat{D}$. Unimos esse ponto com o vértice $\hat{C}$, onde se forma um ângulo reto.
O triângulo $\Delta{BCDB}$ é retângulo no vértice $C$. O segmento $\overline{BC}$ é cateto oposto ao ângulo $\Delta$. Por isso:
O vértice $\hat{A}$ é subtendido pelo mesmo arco $\hat{BC}$ assim como acontece com o ângulo $\Delta$. Donde se conclui que:
${{a\over sen\alpha} = 2r}$
Aplicando o mesmo raciocínio aos outros ângulos, teremos:
${{b\over sen\beta} = 2r}$
${{c\over sen\gamma} = 2r}$
Como consequência podemos estabelecer a lei dos cossenos, cujo enunciado fica assim:
Em qualquer triângulo o lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto e a razão constante é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.
Essa lei é especialmente útil na determinação dos demais elementos de um triângulo, conhecendo-se um ângulo e dois lados.
Leis dos cossenos
A altura relativa ao lado $b$, divide o triângulo em dois triângulos retângulos, onde podemos aplicar o Teorema de Pitágoras e cálcular do cosseno de um dos ângulos agudos do $\Delta{ABCA}$.
Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras nos dois triângulos retângulos formados pela altura $h$ em relação ao lado $b$
$a^2 = h^2 + n^2$ (I)
${c^2 = h^2 + m^2}$$\Leftrightarrow$${h^2 = c^2 – m^2}$ (II)
${h^2 = c^2 – m²}$ (II)
Temos que ${b = m + n}$$\Leftrightarrow$${n = b – m}$
O quadrado da medida de um ladode um triângulo qualquer é igual a soma dos quadrados dos outros lados, menos o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado.
Exercícios
01. A $csc\beta = {{3\sqrt{3}}\over5}$. Determine as demais razões trigonométricas desse mesmo ângulo.
Temos vários caminhos que nos levam aos resultados buscados. Vamos começar pela relação entre cossecante e cotangente.
02. Um triângulo tem o lado $a = 8,0\, cm$, um ângulo adjacente a ele mede $\beta = 45^{0}$ e o triângulo está inscrito em uma circunferência de raio $r = 8,0\, cm$. Pede-se determinar as medidas dos outros dois lados e os ângulo $\alpha$ e $\gamma$.
Imagine se deparar com uma expressão como essa: $y = sen{(\alpha + \beta)}$! ou então $y = cos{(\alpha + \beta)}$!
Simplesmente irá fazer a adição dos ângulos? Isso estará correto? No final do exercício dois acima foi usado esse recurso para obter um dos senos dos ângulos. E não foi assim. Há uma forma mais fácil de resolver essas situações.
Vejamos a demonstração de como fica essa questão. Essa demonstração normalmente não é cobrada do candidato ou aluno em provas, mas eu tenho uma aversão radical à simplesmente despejar uma fórmula e dizer apenas “é assim que se faz”. Sempre quero mostrar o “porquê?” Então me empenho em colocar tudo em pratos limpos.
Vamos inciar por desenhar um retângulo e um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a diagonal, à qual iremos atribuir a medida de uma unidade de comprimento.
Temos a diagonal $\overline{AB}$, que é a hipotenusa do triângulo retângulo $\Delta{ABCA}$.
Vamos baixar uma perpendicular ao prolongamento da base do retângulo, a partir do vértice $C$ do triângulo.
Traçada a perpendicular $\overline{CD}$, temos agora três triângulos retângulos: $\Delta{ABEA}$; $\Delta{ABCA}$ e $\Delta{ACDA}$.
No triângulo $\Delta{ABEA}$, o ângulo do vértice $A$ é igual a soma dos ângulos agudos $\alpha + \beta$ dos outros dois triângulos e podemos escrever, pela definição das razões trigonométricas:
Falta completar o quarto triângulo. Prolongamos a base superior do retângulo e o segmento $\overline{CD}$, formando $\Delta{CBFC}$, que é semelhante ao triângulo $\Delta{ACDA}$. São semelhantes pois ambos são retângulos e os lados são respectivamente perpendiculares. Por isso o ângulo com vértice no ponto $C$ é congruente ao ângulo $\alpha$.
Triângulos $\Delta{ACDA}$ e $\Delta{CBFC}$ são semelhantes. Tem lados perpendiculares e são retângulos.
Vamos deixar os exercícios para o próximo post, que será bem recheado deles. Se existir alguma dúvida sobre as demonstrações, por obséquio, pergunte para esclarecer. Não há necessidade de decorar esses procedimentos, mas entender de onde vem as expressões que depois serão utilizadas.
O nome desse assunto começa com uma palavra bem nossa conhecida trigo, o que pode nos sugerir algo bem diferente do que é na verdade. A origem da palavra trigonometria, vem da língua grega, aquela dos filósofos, matemáticos, geômetras e outras especialidades, que viveram nos tempos antigos, naquele país insular.
Nessa língua temos a palavra trígono, significando três ângulos ou seja triângulo. Na verdade já é uma palavra composta de duas partes: tri = três e gono = ângulo. Já estudamos algumas relações métricas nos triângulos, porém apenas relacionando os lados e as linhas como altura, mediana, bissetriz e mediatriz. Podemos também estabelecer relações entre os lados e os ângulos que eles formam. Esse é o assunto de que iremos falar agora e denomina-se trigonometria.
Trigonometria no triângulo retângulo.
É o estudo das relações existentes entre os ângulos de um triângulo retângulo e seus respectivos lados.
Vejamos como isso funciona.
Temos na figura um triângulo retângulo $\Delta{(ABCA)}$, junto com a sucessão de outros que lhe são semelhantes:
São semelhantes por terem todos um ângulo comum no vértice $\hat{A}$; todos têm um ângulo reto nos vértices $\hat{B}, \hat{B_{1}}, \hat{B_{2}}, \hat{B_{3}}$. Como consequência os outros ângulos agudos também são congruentes.
Quando estudamos triângulos semelhantes, vimos que eles têm os lados homólogos proporcionais. São os lados compreendidos entre dois ângulos congruentes nos dois triângulos.
Ao estudar as medidas desses lados, identificou-se a existência de uma razão constante entre os lados que são adjacentes ou opostos aos ângulos. Foi assim que surgiu a trigonometria. Poderíamos traçar uma infinidade de linhas paralelas à $\overline{BC}$, na figura acima e sempre teríamos a mesma proporção entre os respectivos lados.
Observando os triângulos da figura, vemos que os segmentos $\overline{AC}. \overline{AC_{1}}, \overline{AC_{2}}, \overline{AC_{3}}$ são as hipotenusas. Os segmentos $\overline{AB}, \overline{AB_{1}}, \overline{AB_{2}}, \overline{AB_{3}}$ são os catetos adjacentes ao ângulo $\hat{A} = \alpha$ e os segmentos $\overline{BC}, \overline{B_{1}C_{1}}, \overline{B_{2}C_{2}}, \overline{B_{3}C_{3}}$ são os catetos opostos ao mesmo ângulo agudo $\alpha$. As razões entre os lados de um triângulo retângulo, são o que denominamos razões trigonométricas, a saber:
Cosseno: é o quociente do cateto adjacente pela hipotenusa.
Esse valor é constante, para qualquer tamanho do triângulo.
Como vimos a tangente e a co-tangente são uma o inverso da outra. Isso nos permite concluir que:
$ctg\alpha = \frac{cos\alpha} {sen\alpha}$
Ainda existem duas outras razões trigonométricas. São elas a cossecante e a secante.
Cossecante é a denominação dada ao inverso do seno.
$csc\alpha =\frac {1}{sen\alpha}$
Equivale a $csc\alpha = \frac{hipotenusa}{cateto oposto}$
Secante é o inverso do cosseno de um ângulo.
$sec\alpha = \frac{1}{cos\alpha}$
Equivale a $sec\alpha = {{hipotenusa}\over{cateto adjacente}}$
Relação fundamental da trigonometria.
Para facilitar a escrita corrente de expressões que envolvem os lados de um polígono, é costume identificar os lados com a letra minúscula correspondente à letra maiúscula que identifica o vértice oposto.
Lembrando do estudo do triângulo retângulo, encontramos o Teorema de Pitágoras.
Vamos aplicar as definições das razões trigonométricas seno e cosseno ao triângulo acima.
$sen\alpha =\frac{c}{a}$$\Leftrightarrow$$ c = {a\cdot sen\alpha} $
Cancelando o fator comum a todos os termos $a²$, chegaremos à relação fundamental.
$1 = sen^2\alpha + cos^2\alpha$
Essa relação fundamental é, de certa forma, o equivalente trigonométrico do Teorema de Pitágoras. É denominada fundamental pela importância de suas aplicações no desenvolvimento de múltiplos raciocínios dentro do assunto.
É escusado dizer que os valores das razões trigonométricas são em sua quase totalidade representadas por números decimais. Não se pode ter a pretensão de guardar de memória tal quantidade de informações. Para isso existem as tabelas trigonométricas e o mais fácil é fazer uso de calculadoras eletrônicas para obter esses valores. Em geral usamos arredondar com duas ou três casas decimais, obedecendo os critérios de arredondamento.
Os valores mais comuns são escritos na forma de razões, onde algumas contém um termo irracional (radical).
$sen\alpha$
$cos\alpha$
$tg\alpha$
$ctg\alpha$
$csc\alpha$
$sec\alpha$
$0^{0}$
$0$
$1$
$0$
4$\infty$
$\infty$
$1$
$30^{04}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\sqrt{3}$
$2$
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$45^{0}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$1$
$1$
$\sqrt{2}$
$\sqrt{2}$
$60^{0}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\sqrt{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$2$
$90^{0}$
$1$
$0$
$\infty$
$0$
$1$
$\infty$
$120^{0}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$-\frac{1}{2}$
$-\sqrt{3}$
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$-2$
$135^{0}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$-1$
$-1$
$\sqrt{2}$
$-\sqrt{2}$
$150^{0}$
$\frac{1}{2}$
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$- \frac{\sqrt{3}}{3}$
$-\sqrt{3}$
$2$
$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$180^{0}$
$0$
$-1$
$0$
$-\infty$
$\infty$
$-1$
Atenção! Observe bem a tabela acima e verifique um detalhe importante. Definimos as razões entre os lados de um triângulo retângulo. Como foi visto na ocasião do estudo dos triângulos, a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a $180^{0}$. Então, se um dos ângulos é reto, $\alpha = 90^{0}$, teremos que a soma dos outros dois ângulos, que são agudos obrigatoriamente, será igual a $\beta + \zeta = 90^{0}$. Fica fácil verificar que o seno de um dos ângulos agudos é igual ao cosseno do outro, que é seu complemento.
$sen(60º) = cos(90º – 60º) = cos(30º)$
Isso equivale a afirmar que “o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complemento”
Há ainda outras igualdades que podemos inferir pela análise da tabela trigonométrica.
Exercícios
01. Um triângulo retângulo, tem a hipotenusa medindo $a = 15,0 cm$ e um de seus ângulos agudos mede $\zeta = 30^{0}$. Determine as medidas dos catetos oposto e adjacente, bem como a medida do outro ângulo agudo.
$c = {{15,0}\cdot{\sqrt{3}\over2}}$$\Leftrightarrow$$ c = (7,5)\cdot\sqrt{3}cm$
Se um ângulo agudo mede $\beta = 30^{0}$ o outro medirá:
$\zeta = {90^{0} – 30^{0}} = 60^{0}$
02. Um triângulo retângulo tem em um de seus ângulos agudos $cos\beta =\frac{ \sqrt{5}}{5}$. Determine o valor do seno desse mesmo ângulo. Depois obtenha os valores da tangente, cotangente, cossecante e secante.
Iremos começar pela aplicação da relação fundamental para determinar o valor do seno.
03. Os catetos de um triângulo retângulo medem respectivamente $b = 8,0 cm$ e $c = 6,0 cm$. Determine: a) a tangente e a cotangente do ângulo agudo $\gamma$ formado pela hipotenusa e o cateto b; b) o seno e o cosseno desse mesmo ângulo; c) a secante e a cossecante desse ângulo; d) a medida da hipotenusa.
a)Sendo sendo os catetos os segmentos $b$ e $c$, temos que a tangente será dada por:
01. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 12,0 cm e um dos ângulos agudos adjacentes mede $\beta = 60^{0}$. Determine o seno do outro ângulo agudo, a tangente e a cotangente desse ângulo. Depois calcule as medidas dos dois catetos.
02. Em um triângulo retângulo sabe-se que a hipotenusa $a = 7\sqrt{2} cm$ e um dos catetos mede $b = 8,0 cm$. Determine o seno e cosseno do ângulo formado, a medida do outro cateto, as razões tangente, cotangente, secante e cossecante do ângulo.
03. Determine os valores de${x}, {y}, {w}, {z}$ em cada caso:
04. Em um triângulo retângulo, determine as medidas dos ângulos agudos e da hipotenusa, sabendo que um dos catetos mede $b = 3,0 cm$ e o outro mede$\sqrt{3} cm$.
05. (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de $30^{0}$ com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:
a) $6\sqrt{3}cm$
b) $12 m$
c) $13,6 m$
d) $9\sqrt{3} m$
e) $18 m$
06. (UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:
a) $2\sqrt{3}$
b) ${\sqrt{3}\over3}$
c) ${\sqrt{3}\over6}$
d) ${\sqrt{20}\over{20}}$
e) $3\sqrt{3}$
07. Uma pessoa observa um edifício de 270 m de altura, sob um ângulo de $30^{0}$ em relação à horizontal. Admitindo que o olho desse observador encontra-se no nível do chão, qual é a distância entre o edifício e o observador?
08. Um poste de iluminação tem 10 m de altura e em dado instante projeta uma sombra de 12 m. Determine as razões trigonométricas do ângulo de incidência dos raios solares em relação ao solo.
09. Uma corda é amarrada no topo de uma árvore que está para ser removida, mas precisa ser puxada para cair na posição em que não irá causar danos. Se a altura em que a corda é amarrada é de 15 m, determine o comprimento da corda para que ela não atinja os trabalhadores encarregados ao cair. O tronco será cortado rente ao chão.
10. Uma escada é construída entre dois andares de uma edificação. A altura entre os dois andares é de 3,0 m e a distância horizontal entre o primeiro pé do primeiro degrau e a soleira do andar superior é de 3,5 m. Determine a medida da escada do ponto em que ela começa e onde termina. Qual é o ângulo de inclinação da escada em relação à vertical?
11. (Vunesp) O cosseno do menor ângulo interno de um triângulo retângulo é $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Se a medida da hipotenusa desse triângulo é 4 unidades, então é verdade que um dos catetos desse triângulo mede, na mesma unidade,
a)$ 1$ b) $\sqrt{3}$ c) $2$ d) $3$ e) $\frac{\sqrt{3}}{3}$
11. (FGV) Na figura a seguir, o segmento BD é perpendicular ao segmento AC.
Se AB = 100m, um valor aproximado para o segmento DC é:
a) 76 m; b) 62 m; c) 68 m; d) 82 m; e) 90 m.
13. (FGV) A plateia de um teatro, vista de cima para baixo, ocupa o retângulo ABCD da figura a seguir, e o palco é adjacente ao lado BC. As medidas do retângulo são AB = 15m e BC = 20m.
Um fotógrafo que ficará no canto A da plateia deseja fotografar o palco inteiro e, para isso, deve conhecer o ângulo da figura para escolher a lente de abertura adequada.
O cosseno do ângulo da figura acima é:
a) 0,5 b) 0,6 c) 0,75 d) 0,8 e) 1,33
14. (Unoesc) Um homem de 1,80 m encontra-se a 2,5 m de distância de uma árvore, conforme ilustração a seguir. Sabendo-se que o ângulo α é de $42^{0}$, determine a altura dessa árvore.
15. (Enem-2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço:
a) $ A< 100 m^2$; b) $ 100m^2<A<300m^2$; c) $ 300m^2<A<500m^2$;. d) $ 500 m^2<A<700 m^2; e) $A > 700 m^2$.
Se existirem dúvidas sobre a solução dos exercícios ou sobre o conteúdo teórico, peça ajuda por um dos canais abaixo listados.
Recapitulando os polígonos regulares vistos até aqui, veremos que em todos eles existe um ponto central, onde ocorre a divisão da circunferência em triângulos congruentes.
No triângulo equilátero temos o baricentro.
As linhas que unem os vértices ao meio do lado oposto, se interceptam no centro geométrico. Cada lado subtende um ângulo central de 120º, o que perfaz uma volta completa de 360º.
O quadrado tem esse ponto determinado pelas duas diagonais, que são perpendiculares entre si, formando quatro ângulos de 90º.
É fácil perceber que as duas diagonais dividem o círculo, tanto inscrito, quanto o circunscrito em quatro partes iguais, cada uma subtendendo um ângulo central de 90º.
O pentágono regular também tem esse ponto. É o centro geométrico do polígono.
As linhas medianas, que unem os vértices ao meio dos lados opostos, formam cinco triângulos, que têm um vértice comum no ponto de intersecção dessas linhas. Cada um deles mede exatamente 72º.
Hexágono
Seguindo o mesmo critério, as linhas medianas irão dividir o hexágono em seis triângulos equiláteros. Cada um dos ângulos centrais mede então $60^{0}$. Os outros dois ângulos dos triângulos juntos medem $120^{0}$, sendo que são congruentes e portanto medem também $60^{0}$.
Podemos observar perfeitamente a existência de seis triângulos equiláteros, formando o hexágono regular.
Sendo triângulos equiláteros, sabemos que a altura, neste caso vem a ser o apótema do hexágono; o raio R é congruente ao lado do hexágono. Então podemos determinar o apótema pela expressão:
Cada um dos seis vértices do hexágono é formado por dois ângulos adjacentes de 60^{0}. Isso faz com que cada ângulo interno seja igual a 120^{0}.
Desta forma a soma dos ângulos internos do hexágono regular é dada por:
$S_{i6} = 6\cdot 120º$
$S_{i6} = 720º$
Círculos inscrito e circunscrito ao hexágono
O lado do hexágono é a medida do raio da circunferência circunscrita e o apótema é a medida do raio da circunferência inscrita. Veja a figura.
Os dois círculos devidamente traçados, dentro e fora do hexágono.
Exercício 1. Um hexágono tem lado medindo ${l = 2,0 m}$. Determinar: a) o raio da circunferência circunscrita; b) o raio da circunferência inscrita; c) a área de um dos triângulos equiláteros internos; d) a área total do hexágono.
a) o raio da circunferência circunscrita é congruente ao lado do hexágono
${R = 2,0 m}$
b)o raio da circunferência inscrita é o apótema do hexágono.
Exercício 2. Um hexágono regular está inscrito em uma circunferência de raio $R = 80,0 cm$. Determinar: a) o lado do hexágono; b) o apótema do hexágono; c) a área de um dos triângulos que formam o hexágono; d) a área total do hexágono;
a)as diagonais que unem os vértices dos ângulos internos opostos, determinam o centro da figura e dividem o hexágono em seis triângulos equiláteros. Assim ficamos com o lado igual ao raio da circunferência.
$l = R$$\Leftrightarrow$$ l = 80,0 cm$
b)o apótema coincide com a altura do triângulo equilátero.
É sem dúvida um dos polígonos com poucos lados que é mais difícil de construir. Isso pelo fato de a divisão dos $360^{0}$ por sete ser um número decimal não exato. Isso torna as medidas dos lados sempre aproximados, bem como os ângulos.
Vejamos
${360 \div 7 = 51,428571…^{0}}$ ou ${51^{0}25’42,857…”}$
Nem mesmo fazendo a divisão em graus, minutos e segundos o resultado é exato, mas difere muito pouco disso.
Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é de $180^{0}$, teremos que os dois ângulos restantes de cada triângulo será:
Temos aí a dificuldade de construir esse polígono, mesmo usando instrumentos de desenho.
O processo de construção do heptágono regular requer o uso de instrumentos de desenho, como régua, esquadro e principalmente compasso. Usei a ideia aplicando as opções do paint e consegui fazer algo que se aproxima da figura correta.
As imprecisões devem-se ao fato de não ser possível manter a exatidão das formas que o programa oferece. Precisamos usar muito de nossa acuidade visual.
O heptágono, traçando-se um segmento que une os vértices ao meio dos lados opostos, fica dividido em sete triângulos isósceles, cujo ângulo central é o determinado acima $51,428571…º$ o que resulta em ângulos de $64,28572…º$ adjacentes aos lados do heptágono. O apótema dividirá esses ângulos internos em dois triângulos retângulos congruentes.
O triângulo ao lado simboliza um dos sete triângulos em que fica dividido o heptágono. Vamos estabelecer a relação entre o lado do polígono e o raio da circunferência, bem como o apótema.
Cada um dos dois triângulos retângulos que obtemos com o traçado do apótema têm como lados o raio R, l/2 e o apótema. R é a hipotenusa. Logo:
Exercício 1. Um heptágono é inscrito num círculo de raio $R = 1,2 m$. Determine: a) o lado do heptágono; b) o apótema do heptágono; c) a área de cada triângulo isósceles que formam o heptágono; d) a área do heptágono.
Exercício 2. O apótema de um heptágono é igual a $a = 0,50 m$. Determine: a) o lado do apótema; b) a área de um dos triângulos internos; c) o raio do círculo circunscrito ao heptágono; d) a área do heptágono.
$a = {0,50}m$
$a\simeq{0,9}R$$\Leftrightarrow$$ R = {a\over{0,9}}$
Quantas diagonais podemos traçar em um polígono de n lados?
Vimos que uma diagonal une dois vértices não consecutivos. Assim, tomando um vértice, os dois que lhe ficam consecutivos são excluídos, tal como o próprio vértice. Isso nos permite traçar, a partir de um vértice, tantas diagonais quantos forem os vértices, menos 3:
${D_{v} = n_{v} – 3}$ $\Rightarrow$ diagonais de um vértice.
Cada diagonal une dois vértices, o que nos leva a ter que dividir o número total aparente por dois.
Vimos que as diagonais dividem o polígono em triângulos isósceles, que se inscrevem em um círculo com o qual coincidem os vértices. Dessa forma os ângulos centrais, que tem vértice no centro do círculo, tem a medida obtida pela divisão da volta completa pelo número de lados.
$\hat{a}_{c} = {360\over n}$
Prolongando um lado além do vértice, temos um ângulo externo, que têm a mesma medida do ângulo central dos triângulos. Cada ângulo interno é suplementar do ângulo central dos triângulos.
A soma dos ângulos internos é igual a medida de um ângulo interno multiplicada pelo número de vértices, que é igual ao número de lados.
$S_{a_{i}} = n\cdot{180^{0} – {360^{0}\over n}}$
$S_{a_{i}}= {180^{0}\cdot n – 360^{0}}$
Exemplo 1. Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono de nove lados?
$S_{a_{9}} = {180^{0}\cdot n – 360^{0}}$
$S_{a_{9}} = 180^{0}\cdot 9 – 360^{0}$
$S_{a_{9}}= 1620^{0} – 360^{0} = 1240^{0}$
Exemplo 2. Determine a soma dos ângulos internos de um polígono de 12 lados.
$S_{a_{12}} = 180º\cdot 12 – 360 $
$S_{a_{12}} = 2160º – 360º = 1800º$
Exercícios para resolver.
01. Os hexágonos são polígonos que apresentam seis lados, seis ângulos internos e seis vértices. A respeito dos hexágonos regulares inscritos em uma circunferência, assinale a alternativa correta.
a) Um hexágono é chamado regular quando ele possui ângulos iguais, lados congruentes e não existe a necessidade de que seja convexo para isso.
b) Um hexágono regular inscrito tem a medida do apótema igual à medida do raio do círculo que o circunscreve.
c) Um hexágono regular inscrito tem a medida do lado igual à medida do raio do círculo que o circunscreve.
d) Um hexágono regular é chamado inscrito quando todos os seus lados são tangentes a uma circunferência.
e) Um hexágono regular inscrito possui apótema e lado iguais.
02. Qual é a medida do lado $l$ de um hexágono regular cujo apótema mede$a = 3,0 cm$?
a) $2\sqrt{3} cm$
b) $2 cm$
c) $\sqrt{3} cm$
d) $3\sqrt{3} cm$
e) $6\sqrt{3} cm$
03. Determine a medida do apótema de um hexágono regular, sabendo que a medida de seu lado é igual a $l =2\sqrt{3} cm.
a) $2\sqrt{3} cm$
b)$1 cm$
c) $2 cm$
d) $3 cm$
e) $\sqrt{3} cm$
04. Determine a medida do apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de diâmetro igual a $D= 12 cm$.
a) $2\sqrt{3} cm$
b) $3\sqrt{2} cm$
c) $3\sqrt{3} cm$
d) $6\sqrt{2} cm$
e) $6\sqrt{3} cm$
05. (FUVEST-2014). Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.
a) $S\simeq1600 m²$;
b)$S\simeq1800 m²$;
c)$S\simeq2000 m²$;
d)$S\simeq2200 m²$
e)$S\simeq2400 m²$
06. Determine o apótema de um hexágono regular cujo lado mede $l = 200\sqrt{3}cm$. Depois calcule a área do hexágono.
07. Determine a área de um hexágono regular cujo lado mede $l = 4,0 cm$. Determine o perímetro desse polígono.
Havendo dúvidas, pergunte. Os canais estão à disposição para quando você precisar.
É um quadrilátero que tem pelo menos dois lados paralelos, sendo os outros inclinados em relação a eles.
Na figura temos dois trapézios isósceles, onde os lados não paralelos são congruentes e dois que são retângulos em uma extremidade. São dois ângulos retos, um agudo e outro obtuso. Nos primeiros são dois agudos e dois obtusos.
O perímetro é a soma dos quatro lados. Os lados paralelos são geralmente denominados bases, sendo um a base maior e o outro a base menor.
Há também os trapézios escalenos, onde os lados não paralelos não são congruentes e todos os seus ângulos são diferentes entre si.
Diagonais dos trapézios, como nos outros polígonos, unem dois vértices não consecutivos. No caso dos trapézios isósceles elas são congruentes.
Os ângulos adjacentes às bases são congruentes para cada uma das duas bases.
Área do trapézio
É sempre possível determinar uma base média, entre as bases maior e menor. Isso permite formar um retângulo cujo comprimento é a média das bases e o outro lado é a altura do trapézio. Assim:
$S_{t}= {{{B + b}\over2} \cdot h}$
A área do trapézio é igual à média das bases multiplicada pela altura.
Um trapézio isósceles tem os lados paralelos medindo $B= 8,0 cm$ e o outro $b= 4,0 cm$. A altura do polígono é de $h=3,0 cm$. Determine a área deste trapézio.
$S_{t}= {{{B + b}\over2} \cdot h}$
$S_{t}={{{{8,0}+{4,0}}\over{2}}\cdot {3,0}}$
$S_{t}= {6,0}\cdot{3,0} = 18,0 cm²$
2. Um trapézio isósceles, mede em sua base maior $B = 30,0 cm$. Se os ângulos que os lados oblíquos formam com a base são de $\theta = 45º$, quanto medem os ângulos obtusos que eles formam com a base menor? Se a altura é $h=10,0 cm$, quanto medem os lados não paralelos e qual é a área do trapézio?
Os lados não paralelos são duas transversais que interceptam duas retas paralelas. Formam de cada lado um par de ângulos alternos internos. Estes são, como vimos no estudo desse assunto, ângulos suplementares. Portanto: Um trapézio isósceles, mede em sua base maior $B = 30,0 cm$. Se os ângulos que os lados oblíquos formam com a base são de $\theta = 45º$, quanto medem os ângulos obtusos que eles formam com a base menor. Se a altura é $h=10,0 cm$, quanto medem os lados não paralelos e qual é a área do trapézio?
Os lados não paralelos são duas transversais que interceptam duas retas paralelas. Formam de cada lado um par de ângulos alternos internos. Estes são, como vimos no estudo desse assunto, ângulos suplementares. Portanto:
$S = {40,0\over2}\cdot 10$$\Leftrightarrow$$ S = 200,0 cm²$
3. Dada a figura poligonal a seguir:
A figura é composta de dois trapézios retângulos e um triângulo, cuja área é fornecida. Observe e determine o que pede o exercício.
Sendo a área do triângulo $\Delta{(AEDA)}$ igual a $S=800,0cm²$ e é de $3\over 5$ a razão entre as áreas dos triângulos $\Delta{(AMEA)}$ e $\Delta{((DMED)}$ determine:
a)primeiramente a altura $\overline{ME}$ do triângulo;
01. Calcule a área de um trapézio de altura 5 cm e bases de 8 cm e 3 cm.
02. Determine a medida da base menor de um trapézio de 100 cm2 de área, 10 cm de altura e base maior de 15 cm.
03. Qual a altura de um trapézio com área de 50 cm2, base maior de 6 cm e menor de 4 cm?
04. Calcule a área de um trapézio de bases medindo 10 cm e 5 cm e altura 6 cm.
05. Determine a medida da base maior de um trapézio com 150 cm2 de área, 10 cm de altura e base menor medindo 12 cm.
06. Num trapézio de 8,0 cm de altura, a base maior é o dobro da base menor. Determine a medida dessas bases sabendo que a área desse trapézio é 180 cm^2.
07. Determine a altura de um trapézio de $45,0\, cm^2$ de área, base maior medindo 11.0 cm e base menor com 7,0 cm de comprimento.
08. Calcule a área colorida em azul da figura abaixo, usando as áreas do retângulo e do trapézio.
A figura é um retângulo do qual foi recortado um trapézio. Basta usar as duas fórmulas de cálculo das áreas e calcular a diferença.
09. Analise a figura poligonal e divida-a em partes das quais seja possível calcular a área e obter o total da área da figura.
É possível dividir a figura de várias formas em polígonos cujas áreas temos capacidade de calcular. A soma dessas áreas será a área da figura.
10. A figura é composta por dois polígonos. Determine as suas áreas e a área total da figura.
Havendo dúvidas, recorra por meio de um dos canais abaixo para esclarecer. Não tenha acanhamento.
Depois de termos visto o Teorema de Pitágoras, podemos aplicar esse conhecimento na determinação de elementos notáveis dos triângulos equiláteros.
Como foi visto acima, é o único triângulo classificado como figura geométrica regular. Isso implica em que o traçado de suas alturas, bissetrizes dos ângulos, medianas e mediatrizes sejam coincidentes, interceptando-se em um mesmo ponto que é o centro geométrico do triângulo ou seja é o baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro. Iremos estabelecer modos de determinação das medidas da altura, do apótema e do raio da circunferência circunscrita.
Esses três segmentos traçados a partir dos vértices, representam todas as linhas mencionadas acima. Altura, bissetriz, mediana e mediatriz de cada lado e vértice. Interceptam-se no CG da figura.
O ponto $M$, divide o lado $\overline{BC}$ em dois segmentos congruentes, equivalentes à metade do lado do triângulo. Portanto $\overline{MC} = {{l}\over{2}}$, determinando assim um triângulo retângulo $\Delta{(AMCA)}$, onde podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.
$\overline{AC} = l $ $\Rightarrow$ hipotenusa.
$\overline{AM} = h $ $\Rightarrow$ altura do triângulo e é um dos catetos.
Vejamos as circunferências inscrita e circunscrita num triângulo equilátero.
Temos aí uma circunferência inscrita num triângulo equilátero. Note que o raio da mesma é o apótema do triângulo. Este equivale à ${1\over3}$ da altura do triângulo. Aqui, além da inscrita, temos também a circunferência circunscrita, cujo raio é exatamente igual ao dobro do apótema, ou seja ${2\over3}$ da altura do triângulo.
Perímetro
Denominamos perímetro a soma das medidas de todos os lados de um polígono. Se imaginarmos fazer uma cerca ao redor do polígono usando arame, qual seria o comprimento de um fio desse produto para dar uma volta completa? Com certeza todos dirão que é só somar os lados. Pronta a resposta. Por isso dizemos que:
Perímetro de um triângulo equilátero é a soma de seus três lados.
$ p = l + l + l$ $\Leftrightarrow$$ p = 3\cdot l$
Vamos exercitar um bocado.
Um triângulo equilátero tem uma circunferência inscrita, cujo raio mede $7,0 cm$. Pede-se determinar o raio da circunferência circunscrita, a altura do triângulo e a medida do lado. Calcule também a área do triângulo.
$ r = a = {1\over2}\cdot{R}$ $\Leftrightarrow$$ 7 = {R\over2}$
2. Uma circunferência de raio $R = 30,0 cm$ é circunscrita a um triângulo equilátero. Pede-se determinar o raio da circunferência inscrita, a altura e o lado do triângulo, além de sua área.
$R = 30,0 cm$
$a = {R\over2}$
$a ={{(30,0)}\over{2}} = 15,0 cm$
$r = a = 15,0 cm$
$h = R + a$ $\Leftrightarrow$ $ h = 30,0 + 15,0 = 45,0 cm$
3. Um triângulo equilátero tem o lado medindo $ l = 27,0 m$. Pede-se determinar o raio da circunferência circunscrita, o raio da circunferência inscrita, a altura e a área da figura.
$r = {{(27,0)\sqrt{3}}\over 6}$$\Leftrightarrow$$ r = {{(9,0)\sqrt{3}}\over 2} m$
$h = {{l\sqrt{3}}\over 2}$
$h = {{(27,0)\sqrt{3}}\over 2}$$\Leftrightarrow$$ h = (13,5)\sqrt{3} m$
$S_{3}= {{b\cdot h}\over2}$
$S_{3} = {{(27,0)\cdot(13,5)\sqrt{3}}\over 2}$
$S_{3} = 182,25\sqrt{3} m²$
4. Um proprietário de terras, deseja cercar uma área em forma de triângulo equilátero, com 5(cinco) fios de arame liso. Se um dos lados da área mede $l = 200,0 m$, quantos metros de fio ele irá gastar para completar a cerca?
Se $p = 3\cdot l$$\Leftrightarrow$$ p = 3\cdot{200,0} = 600,0 m$
Cada fio de arame consumirá $600,0 m$ do material. Se ele quer colocar 5(cinco) fios, irá gastar:
Se um círculo de raio $r = 12,0 cm$ está inscrito em um triângulo equilátero, determine: a) o raio do círculo circunscrito; b) a altura do triângulo; c) o lado do triângulo; d) a área do triângulo.
Um triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência de raio $R = 25,0 cm$. Calcule o raio do círculo inscrito nesse triângulo, a altura do triângulo e o seu lado.
Um triângulo equilátero tem altura de $h = 18,0 cm$. Quer-se saber quanto mede o raio da circunferência inscrita, o lado do triângulo e a sua área. É possível circunscrever um círculo perfeito a esse triângulo? Se for, qual é seu raio.
O perímetro de um triângulo equilátero (soma dos lados) é $p = 54,0 cm$. Determine sua altura, o apótema, o raio da circunferência circunscrita e a área do triângulo.
Um triângulo equilátero, justapõe-se a outro igual a ele, formando um losango. Sendo as diagonais desse losango de medidas $d = 12,0 cm$ e $D ={(8,0)\sqrt{3}}cm$, determine sua área, a medida dos lados, o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita aos vértices mais distantes.
Um homem possui no terreno de sua casa uma sobra onde pretende colocar cerca murada. A forma é de um triângulo equilátero e vai precisar de 24 unidades de tijolos de 25,0cm, para cada fileira de um lado. Se quer fazer o muro com 8 (oito) fileiras de tijolos, quantos tijolos irá precisar para completar a obra?
Dois irmãos são sócios em 50% para cada um de um terreno em forma de triângulo equilátero. Eles querem construir suas casas e para isso precisam demarcar as parcelas que cabem a cada um. Visando proteger o terreno de intrusos, quando ali forem colocar o material para a construção, querem construir muros de todos os lados e também na divisória. Se o lado do terreno mede $l = 50,0 m$, quantos metros de muros terão que construir? Se o código de edificações em área residencial da prefeitura permite ocupar 40% da área, qual é a área máxima que cada um deles poderá ocupar com a sua moradia?
A diagonal menor de um losango, divide a figura em dois triângulos equiláteros. Se $d = 15,0 m$, determine a área de cada triângulo e a área do losango. Determine a diagonal maior da figura resultante. Determine o raio da circunferência que poderá ser inscrita na figura completa.
No caso de haver dificuldades, não hesite. Peça ajuda por meio de qualquer um dos canais abaixo.
Já temos uma noção inicial de triângulos. Podemos dar mais um passo em frente. Vamos estudar os quadriláteros. Os quadriláteros, como diz o nome, são formados por quatro lados. O quadrilátero regular é o quadrado, ou seja, é formado por quatro lados congruentes e tem quatro ângulos internos que medem ${90}^0$ cada. Os lados são paralelos dois a dois.
São os quatro tipos de paralelogramos convexos possíveis de ser traçados.
Existe uma denominação genérica para os polígonos de quatro lados paralelos. São os paralelogramos. O quadrado é um exemplo de paralelogramo, mas existem vários outros.
Paralelogramo: – figura geométrica de quatro lados, paralelos dois a dois.
Quadrado: – é um paralelogramo que tem os quatro lados congruentes, formando ângulos retos, isto é, iguais a ${90}^0$.
Losango: – é um paralelo gramo que tem os quatro lados congruentes e paralelos dois a dois, porém apenas os ângulos opostos são necessariamente congruentes.
Retângulo: – é o paralelogramo que tem os lados congruentes e paralelos dois a dois, formando ângulos retos (${90}^{0}$).
O que é uma diagonal?
Diagonal é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos de um polígono.
Dessa forma, os paralelogramos possuem apenas um par de diagonais que se interceptam no centro da figura. As diagonais dividem o paralelogramo em quatro triângulos. Nos quadrados e losangos os triângulos são congruentes, pois as diagonais formam entre si ângulos retos. Nos retângulos e demais paralelogramos as diagonais formam ângulos suplementares e os triângulos são congruentes dois a dois.
A figura nos mostra o que foi descrito acima. Os triângulos têm um vértice comum que é o centro da figura geométrica.
Em todas essas situações é possível aplicar o Teorema de Pitágoras para solucionar questões relativas aos lados e ângulos dos paralelogramos.
Aplicando o que foi visto em relação aos ângulos formados por paralelas e uma transversal conseguiremos mostrar que a soma dos ângulos internos de qualquer paralelogramo é igual a ${360}^{0}$.
Área de um quadrado
Para constatar que a área de um quadrado é igual à medida de seu lado, elevada ao quadrado, basta construir um quadrado e dividir com linhas horizontais e verticais. Notamos que o número de linhas de quadrinhos é igual ao de colunas, ou seja, basta multiplicar o lado por ele mesmo.
$S = {l}\cdot{l} = {l^2}$
O quadrado da figura foi divido em cinco linhas por cinco colunas, isto é, tem 25 unidades de área. Já o retângulo foi dividido em 5 linhas e 12 colunas. Multiplicando ${{5}\cdot{12}} = 60$. Isso nos dá 60 unidades de área.
Área do retângulo
Também aqui fazemos a divisão em linhas e colunas, multiplicando os resultados. Isso nos dá que:
$S = {b}\cdot {h}$
Retângulo áureo
Um retângulo que tem comprimento $a$ e largura $b$ de modo que $\frac{a}{b} = \frac{b}{a-b} = \Phi$ é denominado retângulo áureo.
Retângulos em razão áurea
Isso permite construir um segundo retângulo, de modo que a razão entre suas áreas seja igual à razão áurea.
Assim provamos ser um retângulo áureo. A solução dessa equação do segundo grau é:
$\Phi = \frac{1 +\sqrt{5}}{2} = 1,618$
Área do losango
Na figura podemos observar que se completamos um retângulo, usando as medidas das diagonais do losango, a área do mesmo será igual ao dobro do losango. Isto permite que façamos o cálculo da área, multiplicando as diagonais e dividindo o resultado por $2$
$ S = {{{d}\cdot{D}}\over{2}}$
À esquerda temos um losango, onde traçamos dois segmentos paralelos à cada diagonal, formando um retângulo. Desse retângulo percebemos que somente a metade faz parte do losango. Dividindo a área do retângulo por dois temos a área do losango. No paralelogramo, recortamos um triângulo em uma extremidade e o transferimos para a outra. Assim formamos um retângulo cuja área já sabemos calcular.
$S = {b}\cdot{h}$
Área de um triângulo
Deixei essa área para esse momento, pois fica mais fácil entender a fórmula a partir da área dos paralelogramos. Vejamos a figura.
Do lado esquerdo completou-se um retângulo, traçando um segmento $\overline{CD}$ paralelo ao lado $\overline{AB}$ e outro segmento $\overline{BD}$ paralelo ao segmento $\overline{AC}$. O lado $\overline{BC}$ divide o retângulo em dois triângulos iguais. Isso nos permite fazer o cálculo da área, dividindo a área do retângulo por dois. Na direita, também completamos um retângulo e fica fácil perceber que só a metade do retângulo faz parte do triângulo, levando ao mesmo modo de cálculo da área.
A área do triângulo, seja ele qual for, é calculada pelo produto da base pela altura, dividido por dois.
$S = {{{b}\cdot {h}}\over{2}}$
Apótema do quadrado.
No quadrado fica muito mais fácil determinar o apótema. Ele é um segmento que une o centro geométrico, intersecção das diagonais, ao meio de qualquer um dos lados. Isto nos leva a concluir que:
$a = {l\over 2}$
Raio da circunferência circunscrita
O raio da circunferência circunscrita, é o segmento que une o centro geométrico a qualquer um dos vértices ou seja, tem a medida da metade da diagonal.
Sendo $R = {d\over2}$ $\Leftrightarrow$$R = {{l\sqrt{2}}\over{2}}$
Pentágono
O nome dessa figura geométrica vem do grego penta = cinco. Portanto um polígono de cinco lados é um pentágono. Para ser um pentágono regular, é necessário que seus lados e seus ângulos internos sejam congruentes.
Cinco lados congruentes, formando ângulos internos também congruentes.As alturas em relação a um vértice e o lado oposto, as medianas dos lados, as mediatrizes dos lados e as bissetrizes dos ângulos internos se interceptam todas no mesmo ponto, que denominaremos centro do pentágono. O pentágono tem ao todo 5(cinco) diagonais. De cada vértice partem duas, mas a mesma diagonal une sempre dois vértices. É notável observar que as diagonais se interceptam entre si, formando no interior uma miniatura do pentágono, apenas em posição invertida (de cabeça para baixo).Os segmentos de reta que unem os vértices ao centro, determinam cinco triângulos isósceles. O ângulo do vértice central é obtido dividindo-se a circunferência ${360}^{0}$, em cinco partes iguais. Fazendo centro do compasso no ponto O, abertura até os vértices, podemos circunscrever uma circunferência ao pentágono.
O ângulo central $\alpha$, é obtido pela divisão da volta completa em 5(cinco) partes iguais.
$\alpha = {{{360}^{0}}\over{4}} = {72}^{0}$
O segmento $\overline{OP} = a$ é denominado apótema do pentágono e é o raio da circunferência inscrita na figura.
O triângulo $\Delta{(OCDO)}$ é um triângulo isósceles. Isso nos leva a concluir que os dois ângulos formados pelo lado $\overline{CD}$; os lados $\overline{OC}$ e $\overline{OD}$, são congruentes $\beta_{1} = \beta_{2} = \beta$. Como os ângulos internos do triângulo somam ${180}^0$, podemos concluir que:
Apótema – é o segmento $\overline{OP} = a$ e que corresponde à altura do triângulo $\Delta{(OCDO)}$. Este segmento divide o lado $\overline{CD}$ em dois, permitindo aplicar o Teorema de Pitágoras no $\Delta{(OMDO)}$, onde o segmento $\overline{OD} = R$ é a hipotenusa, o apótema $a$ e a metade do lado $\overline{CD} = m$ são os catetos. Temos então:
Com centro do compasso no centro do pentágono, abertura igual ao apótema, pode-se inscrever uma circunferência que tangencia o meio de todos os lados.
Medida do ângulo interno
Cada ângulo interno é formado por dois ângulos dos triângulos em que dividimos o pentágono. Vimos que cada ângulo mede $54^0$. Logo, o ângulo interno do pentágono mede
$\hat{i} = 2\cdot{54^0} = 108^{0}$
Sendo cinco ângulos internos $S_{5} = 5\cdot {108^0} = 540^0$
Exercitar é preciso!
Se um lote de esquina tem as medidas indicadas na figura a seguir, determine a área das duas partes que formam o L e a sua soma.
Podemos dividir o lote em dois retângulos. Um deles mede $(60,0)m X (25,0) m$ e o outro mede $(30,0)m X (25,0)m$.
Basta aplicarmos a forma de cálculo da área de um retângulo e teremos as duas áreas. Fazemos a soma e obtemos a área total do lote.
Os catetos do triângulo medem respectivamente $5,0 cm$ e $12,0 cm$
Agora é sua vez.
Um poste de iluminação, projeta uma sombra de 8,0 m, quando o sol está em determinada inclinação. Se a altura do poste é de 6,0 m, determine a distância entre a extremidade superior do poste e a extremidade da sombra projetada.
Um losango tem a diagonal menor medindo $d = 16,0 cm$. Se sua área é de ${S = 240,0 cm²$ qual é a medida de sua diagonal menor?
Um retângulo tem a diagonal medindo $ d = 20,0 cm$ e sua largura é de $l = 12,0 cm$. Determine a medida do comprimento e a área do retângulo.
Um triângulo retângulo tem hipotenusa igual a $a = 25,0 m$ e um de seus catetos mede $b = 20,0 m$. Determine a medida do outro cateto e também a área do triângulo.
Um quadrado está inscrito em uma circunferência de raio ${R = 5,0 m$. Determine o raio da circunferência que se inscreve exatamente no interior desse quadrado, a medida do lado desse quadrado e a área do mesmo.
Um retângulo mede $ b = 6,0 cm$ e $h = 10,0 cm$. Determine a medida de sua diagonal, o raio da circunferência que se inscreve totalmente no interior do mesmo, a área desse retângulo.
Um paralelo gramo tem comprimento de $c = 25,0 cm$. Sua área é de $S = 300,0 cm²$. Calcule sua largura e a medida dos lados menores.
O apótema de um quadrado mede $a = 6,0 m$. Determine a medida de seu lado, a medida das diagonais e sua área.
Um losango tem as diagonais medindo $d=12,0 cm$ e $D=16,0 cm$. Determine a área desse losango, a medida de seu lado e depois calcule o raio da circunferência que se pode inscrever no seu interior. (Desafio)
Se tiver dúvidas, venha depressa pedir auxilio por um dos canais abaixo.
