Normalmente essa palavra se refere a habilidade humana de raciocinar, pensar, elaborar teorias e conceitos. Aqui, na matemática, ela tem um significado ligeiramente diferente. Denominamos razãoà divisão indicada entre dois números. Facilmente ela é confundida com uma fração, o que aliás não chega a ser nada muito grave, contanto que saibamos algumas regras aplicáveis às razões. Vamos começar com um exemplo. O fato de poder ser representada da mesma forma como as frações, não atrapalha o desenvolvimento do assunto.
O que estou propondo é encontrar a fração que recebe o nome de geratriz da dízima periódica. Vamos começar com as dízimas denominadas simples, isto é, sem algarismos não repetidos. A parte periódica começa logo depois da vírgula. Vamos começar com um exemplo bem simples.
$\color{Brown}{0,33…= ?}$
$\mathbf{\color{Navy}{0,33 = {3\over 9}}}$
Temos uma fração cujos termos numerador e denominador tem divisor comum $\color{Navy}{3}$. Pode portanto ser simplificada para a forma irredutível, dividindo ambos os termos por$3$. Assim:
A geratriz é uma fração que tem como numerador o período (algarismos repetidos) e como denominador tantos algarismos 9, quantos forem os algarismos do período. No exemplo acima, havia apenas um algarismo no período, portanto, também usamos apenas um algarismo 9 no denominador. Se quiser tirar a prova basta dividir o numerador (1) pelo denominador (3) e encontrará a dízima periódica
Não há como simplificar, pois não existe divisor comum entre os termos da fração geratriz além da unidade. Por isso ela permanece assim. Já está na forma irredutível.
Pode parecer no primeiro momento que todas as frações são decimais ou números decimais, pois o resultado da divisão do numerador pelo denominador, via de regra, resulta em uma parte inteira, seguida da vírgula e uma ou mais casasdecimais. Para não deixar dúvidas, vejamos os exemplos.
$\color{Navy}{{3 \div 5} = 0,6}$
$\color{Navy}{{4 \div 7 } = 0,571428571428…}$
$\color{Navy}{{10 \div 8} = 1,25 }$
$\color{Navy}{{10 \div 7} = 1,428571428571…}$
Podemos notar que existem frações onde a divisão termina exata, isto é, o resto é zero. Há outras em que o resto nunca dá zero e os algarismos decimais se repetem em uma mesma sequência. É o caso dos exemplos 2 e 4. Aquelas frações em que a divisão dá exata, isto é resulta um número decimal exato, sem sobrar resto, são as frações decimais ou números decimais exatos.
As frações que resultam em divisão não exata com repetição de algarismos, sobrando sempre um resto diferente de zero, são frações e o resultado da divisão recebe o nome de dízima periódica. Esse nome vem do fato da repetição periódica dos algarismos resultantes no quociente. Teremos nesse caso sempre que optar por um valor arredondado, ou seja, aproximado, pois o número exato só é representado pela fração.
Ao estudar as quatro operações da aritmética, vimos que a divisão é a operação inversa da multiplicação. De onde poderíamos deduzir que, para dividir duas frações, basta dividir os numeradores entre si e os denominadores entre si. De fato, isso funciona, porém apresenta alguns problemas na hora de resolver. Mas existe uma maneira alternativa que é fácil de resolver e não apresenta dificuldades. Vamos ver um exemplo.
Escolhi essas frações por que nelas não aparece nenhum problema para fazer a divisão entre numeradores e denominadores. Assim, fica mais fácil explicar o modo alternativo que iremos utilizar na continuação. O segredo é transformar a divisão em uma multiplicação e, para isso, basta inverter os termos da fração divisor. Assim:
Vemos que o resultado é o mesmo e podemos portanto converter toda divisão de frações em multiplicação. Basta inverter a posição do numerador e denominador da fração divisor.
Se você procurar no dicionário o significado da palavra fração, deverá encontrar entre diferentes respostas uma que é relativa ao que pretendo apresentar nesse artigo. Denominamos fração a um número representado pela divisão indicada de dois números quaisquer. Ao primeiro chamamos numerador e é escrito acima de um traço horizontal ou inclinado para direita. Ao segundo chamamos denominadore é escrito abaixo do mesmo traço. Vejamos os exemplos:
No primeiro exemplo temos como numerador $\color{navy}{3}$ e denominador $\color{navy}{4}$. O numerador indica quantas partes do inteiro foram tomadas e o denominador, indica em quantas partes o inteiro foi dividido. Podemos representar isso graficamente assim:
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Fração três quartos de um inteiro.
Note que o circulo foi dividido em quatro partes iguais. Destas foi removida uma parte, restando três. Essa figura representa a fração
$\mathbf{\color{Navy}{3/4}}$ ou $\mathbf{\color{Navy}{\frac {3}{4}}}$
A parte que foi removida corresponde ao que falta para o inteiro e é representada pela fração
$\mathbf{\color{Navy}{1\over 4}}$
Obs.: Repare no detalhe do numerador, partes tomadas e do denominador, partes em que foi dividido o inteiro.
Não resta dúvida de que a expressão \[\bbox[4px,border:2px solid Olive]{\color{Navy}{\frac{1}{3^5} = 3^{-5}}}\]
Podemos converter denominador com determinado expoente,em um fator acima do traço de fração, ou seja parte do numerador, trocando sinal do expoente. Mais exemplos:
Não fica difícil entender que, o denominador com expoente negativo, passa para o numerador com o mesmo expoente, porém positivo. Vejam como:
$\color{Maroon}{\frac {1}{7^{-5}} = 7^5 }$
$\color{Maroon}{\frac{1}{{11}^{-4}} = {11}^4}$
Do mesmo modo, podemos transformar uma potência com expoente negativo, em fração cujo numerador é a unidade e o denominador a mesma potência com expoente positivo. Assim:
Para começar o assunto, vamos lembrar que potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Portanto iremos fazer uso do assunto visto no post anterior sobre a multiplicação. Vamos aos exemplos.
Note que o radicando agora tem como expoente o número 4, produto dos expoentes interno e externo. Como o expoente é maior que o índice, podemos decompor o radicando em uma multiplicação de potências de modo que uma tenha expoente múltiplo do índice. Assim:
Portanto podemos fazer sempre a multiplicação entre os expoentes interno e externo.
Façamos alguns exercícios aplicando o que foi visto acima. Simplifique os radicais.
$\color{Brown}{(\root 2\of {3^3})^4 = ?}$
$\color{Brown}{(\root 5\of {7^4})^3 = ?}$
$\color{Brown}{(\root 6\of {4^3})^4 = ?}$
$\color{Brown}{(\root 3\of {5^4})^3 = ?}$
$\color{Brown}{(\root 9\of {7^3})^5 = ?}$
O mesmo raciocínio se aplica a um produto de radicais, elevado a uma potência. Bastará multiplicar cada um dos expoentes internos pelo externo, como no exemplo abaixo.
Trabalhar com os radicais, usando as propriedades adequadas, permite quase sempre chegar a expressões bem mais simplificadas do que se apresentam inicialmente.
Obs.:Em caso de dúvidas sobre o conteúdo ou exercícios, faça contato por meio de um dos canais abaixo. Estou aberto a quaisquer perguntas sobre o assunto. Disponha.
Curitiba, 04 de março de 2015 (Reformulado e melhorado em 16 de julho de 2016). Revisto e republicado em 03/11/2017.
Pesquisando na internet, descobri que nos últimos dias a procura pelo assunto potenciação, por parte dos internautas, aumentou quase 100%. Isso significa que estou atacando um dos assuntos procurados. Vamos seguir mais um pouco. Apresentar mais alguns detalhes sobre o assunto.
Vamos ver como se faz uma multiplicação de potências iguais.
Se observarmos bem, os expoentes na expressão $\color{Blue}{{[(3)^2]}^4}$, vemos que, se multiplicarmos os expoentes $\color{Blue}{2\times 4= 8}$ ou seja a soma dos expoentes das potências iguais.
Dessa forma pode-se afirmar que:
“Para elevar uma potência a outra potência, basta conservar a base e multiplicar os expoentes”.
Fica muito simples perceber que a operação potenciação apresenta bem mais possibilidades de aplicações úteis, do que meramente substituir uma multiplicação por uma expressão mais simples, mais curta. Começam a pintar várias novidades. O que vimos até aqui é apenas um pequeno vislumbre do que é possível. Mas vamos devagar. Um degrau de cada vez.
Vamos recordar o que já vimos até aqui?
Transformar potências em multiplicações de fatores iguais.
Trata-se agora de um expoente exponencial. Antes de elevarmos a base ao expoente, precisamos efetuar a potência desse expoente. Ou seja, precisamos efetuar o$\color{Brown}{3^2= 9}$ e depois elevar o 5 à nona potência. Teremos então: $\color{Brown}{5^9}$
Note que se multiplicássemos os expoentes ($\color{Brown}{3\times 2 =6}$, teríamos $\color{maroon}{5^{3\times 2} = 5^6}$, que é totalmente diferente. Notamos que a coisa fica um pouco mais complexa. Portanto cuidado. Potência de potência não é o mesmo que potência com expoente exponencial. Felizmente o uso dessa forma é menos comum, do que a primeira. Um pouco de exercício faz bem, né!
Efetue as potências indicadas.
$\color{Blue}{7^{5^2} = ?}$
$\color{Blue}{5^{3^1} = ?}$
$\color{Blue}{6^{4^3} = ?}$
$\color{Blue}{8^{3^4} = ?}$
$\color{Blue}{9^{2^3} = ?}$
Adendo: leitor me enviou a seguinte pergunta, ou melhor questão: Realizar a divisão que ele encontrou num livro ou apostila e não entendeu como resolver.
Exercício de divisão
A divisão apresentada é a divisão de duas potências. Seria assim:
Vemos uma sucessão de potências em número de 6 (seis). À primeira vista parece algo difícil de resolver. Se fôssemos desenvolver tudo, iriamos fazer uma montanha de cálculos desnecessários. Não podemos esquecer que a matemática tem alguns atalhos que nos levam à resposta num piscar de olhos. Aquele problema gigante, se resolve num clic.
Acompanhem o raciocínio. Na potência dividendo, temos no quarto expoente de cima para baixo o número 1(um). Isto significa que iremos elevar 1(um) ao expoente que existir acima dele e o resultado só pode ser 1(um). Continuando vamos ter:
$\color{Blue}{2^1 = 2}$
Para terminar temos $\color{Blue}{3^2 = 9}$
Reduzimos o dividendo à potência $\color{Blue}{2^9}$
No divisor vamos encontrar na terceira posição, do último expoente para baixo. Sabemos que qualquer expoente para 0(zero), resulta igual a 0(zero).
O próximo expoente é 8, e vamos ter $\color{Blue}{8^0 = 1}$
Na sequência temos o expoente 2 e fica $\color{Blue}{2^1 = 2}$
Terminamos com $\color{Blue}{2^2 = 4}$
Passamos a ter $\color{Blue}{4^4} = {(2^2)}^4 = {2^{2×4}} =2^8 $
Efetuando a divisão $\color{Blue}{{2^9}\div{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 = 2}$.
Este resultado comprova que a resposta indicada na figura é a correta.
Andamos mais um passo. Se você for um dos que procuraram pelo assunto potenciação na internet e tiver interesse em aprofundar o assunto, entre em contato comigo nos endereços que constam abaixo do artigo. Estou a disposição para orientar e tirar suas dúvidas. Legal?
Curitiba, 31 de janeiro de 2015. (Republicação em 02/11/2017).
