Categoria: Razões trigonométricas

30 de dezembro de 20196 de abril de 2020

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Matemática – Geometria plana – Trigonometria. (Exercícios).

Tabela resumo das relações trigonométricas

Lista das principais relações trigonométricas

$\color{blue}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

$\color{blue}{tg\alpha = {{sen\alpha}\over cos\alpha}}$

$\color{blue}{ctg\alpha = {{cos\alpha}\over sen\alpha}}$

$\color{blue}{ctg\alpha = {1\over tg\alpha}}$

$\color{blue}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$\color{blue}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$ \color{blue}{csc\alpha = \sqrt{1 + ctg^2\alpha}}$

$ \color{blue}{sec\alpha = \sqrt{1 + tg^2\alpha}}$

$ \color{blue}{cos\alpha = {(1 + tg^2\alpha)}^{-{1\over2}}}$

$ \color{blue}{sen\alpha = {(1 + ctg²\alpha)}^{-{1\over2}}}$

$ \color{blue}{{a\over sen\alpha} = {b\over sen\beta} = {c\over sen\gamma} = 2r}$

$ \color{blue}{a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cdot cos\alpha}$

$ \color{blue}{b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cdot cos\beta}$

$ \color{blue}{c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cdot cos\gamma}$

$ \color{blue}{sen{(\alpha\pm\beta)} = sen\alpha\cdot cos\beta \pm sen\beta\cdot cos\alpha}$

$ \color{blue}{cos{(\alpha\pm\beta)} = cos\alpha\cdot} cos\beta\mp sen\alpha\cdot sen\beta$

$ \color{blue}{tg{(\alpha\pm\beta)}={{1\pm tg\beta\cdot ctg\alpha}\over{ctg\alpha\mp tg\beta}}}$

$ \color{blue}{ctg{(\alpha\pm\beta)} = {{ctg\alpha\mp tg\beta}\over{1\pm tg\beta\cdot ctg\alpha}}}$

$\color{blue}{sec{(\alpha\pm\beta)} = {1\over{cos\alpha\cdot cos\beta\mp sen\beta\cdot sen\alpha}}}$

$\color{blue}{csc{(\alpha\pm\beta)} = {1\over{sen\alpha\cdot cos\beta\pm sen\beta\cdot cos\alpha}}}$

$ \color{blue}{sen{(2\alpha)} = 2\cdot sen\alpha\cdot cos\alpha}$

$ \color{blue}{cos{(2\alpha)} = cos^2\alpha – sen^2\alpha}$

$ \color{blue}{tg{(2\alpha)} = {2\over{ctg\alpha – tg\alpha}}}$

$ \color{blue}{ctg{(2\alpha)} = {{ctg\alpha – tg\alpha}\over 2}}$

$ \color{blue}{csc{(2\alpha)} = {(2sen\alpha\cdot cos\alpha)}^{-{1\over 2}}}$

$ \color{blue}{sec{(2\alpha)} = {(cos^2\alpha – sen^2\alpha)}^{-{1\over 2}}}$

Vamos exercitar.

01. Um dos ângulos agudos de um triângulo tem como $sen\alpha = {\sqrt{5}\over 4}$. Determine: a) o cosseno desse ângulo; b) a tangente e cotangente desse ângulo; c) a secante e cossecante desse ângulo.

a) A relação fundamental nos diz que:

$\color{navy}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

Se $sen\alpha = {\sqrt{5}\over 4}$, teremos:

${\left(\sqrt{5}\over4\right)}^2 + cos^2\alpha = 1$$\Leftrightarrow$$ {5\over{16}} + cos^2\alpha = 1$

$cos^2\alpha = 1 – {5\over{16}}$$\Leftrightarrow$$cos^2\alpha = {{16 – 5}\over {16}}$

$\sqrt{cos^2\alpha} =\sqrt{{11}\over{16}}$$\Leftrightarrow$$cos\alpha = {\sqrt{11}\over\sqrt{16}}$

$\color{maroon}{cos\alpha = {\sqrt{11}\over 4}}$

b) dispondo do seno e cosseno, podemos facilmente determinar a tangente e cotangente.

$\color{navy}{tg\alpha = {sen\alpha\over cos\alpha}}$

$tg\alpha = \left[\left({\sqrt{5}\over 4}\right)\over\left({\sqrt{11}\over 4}\right)\right]$$\Leftrightarrow$$tg\alpha = {\left(\sqrt{5}\over 4\right)}\cdot{\left(4\over \sqrt{11}\right)}$

$tg\alpha = {{\sqrt{5}}\over{\sqrt{11}}}$$\Leftrightarrow$$tg\alpha = \left({{\sqrt{5}\cdot\sqrt{11}}\over{\sqrt{11}}^2}\right)$

$\color{maroon}{ta\alpha = {\sqrt{55}\over{11}}}$

$\color{navy}{ctg\alpha = {cos\alpha\over sen\alpha}}$

$ctg\alpha = \left[{\left({\sqrt{11}\over 4}\right)\over\left({\sqrt{5}\over 4}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha = \left[{\left(\sqrt{11}\over 4\right)}\cdot\left({4\over\sqrt{5}}\right)\right]$

$ctg\alpha = \left[{\sqrt{11}\over\sqrt{5}}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha = \left[\left({\sqrt{11}\cdot\sqrt{5}}\right)\over\left({\sqrt{5}}^2\right)\right]$

$\color{maroon}{ctg\alpha = {\sqrt{55}\over 5}}$

c) faltam apenas a secante e cossecante. Isso é fácil.

$\color{navy}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$csc\alpha = \left[{1\over{\left(\sqrt{5}\over 4\right)}}\right]$

$csc\alpha = \left[{\left(4\over\sqrt{5}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$csc\alpha = \left[{\left(4\cdot\sqrt{5}\right)\over{\sqrt{5}^2}}\right]$

$\color{maroon}{csc\alpha = {4\cdot\sqrt{5}\over 5}}$

$\color{navy}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$sec\alpha = \left[{1\over\left({\sqrt{11}\over 4}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\alpha = \left[{\left(4\over\sqrt{11}\right)}\right]$

$sec\alpha = \left[{\left(4\cdot\sqrt{11}\right)\over{\sqrt{11}^2}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\alpha = {4\cdot\sqrt{11}\over 11}$

$\color{maroon}{sec\alpha = {4\cdot\sqrt{11}\over 11}}$

02. Se a $tg\beta = \frac{\sqrt{5}}{5}$, determine a cotangente, a secante e cossecante.

$\color{BlueViolet}{ctg\beta = \frac{1}{tg\beta}}$

$ctg\beta = \left[\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\beta = \left[\frac{5}{sqrt{5}}\right]$

$ctg\beta = \left[\left(\frac{5\cdot\sqrt{5}}\right){\sqrt{5}^2}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\beta = \left[\frac{5\cdot \sqrt{5}}{5}\right]$

$\color{Bittersweet}{ctg\beta = \sqrt{5}}$

$\color{navy}{sec\beta = \sqrt{1 + tg^2\beta}}$

$sec\beta =\left[ \sqrt{1 + {\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta =\left[\sqrt {1 + \left\(\frac{5}\over{25}\right)}\right]$

$sec\beta = \left[\sqrt{\left({{25} + 5}\right)\over {25}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta =\left[\sqrt {{30}\over{25}}\right]$

$\color{Bittersweet}{sec\beta = \frac{\sqrt{30}}{5}}$

$\color{navy}{csc\beta = \sqrt{1 + ctg^2\beta}}$

$csc\beta = \left[\sqrt{1 + \sqrt{5}^2}\right]$$\Leftrightarrow$$csc\beta = \sqrt{1 + 5}$

$\color{Bittersweet}{csc\beta = \sqrt{6}}$

03. Considerando $sen\alpha = {1\over2}$ e $sen\beta = {\sqrt{2}\over2}$, determine: a) $sen{(\alpha + \beta)}$; b) $cos{(\alpha + \beta)}$; c) $tg{(\alpha + \beta)}$; d) $ctg{(\alpha + \beta)}$; e) $sec{(\alpha + \beta)}$; f) $csc{(\alpha + \beta)}$

a) seno de ${(\alpha + \beta)}$

$\color{navy}{sen{(\alpha + \beta)} = {sen\alpha\cdot cos\beta + sen\beta\cdot cos\alpha}}$

Temos que determinar primeiramente o cosseno dos dois ângulos, aplicando a relação fundamental, além da tangente e cotangente.

$\color{navy}{sen^2\alpha + cos^2\alpha = 1}$

$({1\over2})^2 + cos^2\alpha + 1$

${1\over 4} + cos^2\alpha = 1$$\Leftrightarrow$$cos^2\alpha = 1 – {1\over4}$

$cos^2\alpha = {{4 – 1}\over 4}$$\Leftrightarrow$${cos^2\alpha} = {3\over 4}$

$\sqrt{cos^2\alpha} = \sqrt{3\over4}$

$\color{maroon}{cos\alpha = {\sqrt{3}\over 2}}$

$\color{BlueViolet}{sen^2\beta + cos^2\beta = 1}$

$ \left({\sqrt{2}\over 2}\right)^2 + cos^2\beta = 1$$\Leftrightarrow$$ {\not{2}^1\over \not{4}^2} + cos^2\beta = 1$

$cos^2\beta = 1 – {1\over2} = {{2 – 1}\over 2}$

$cos^2\beta = {1\over 2}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{cos^2\beta} = \sqrt{1\over{2}}$

$cos\beta = {1\over\sqrt{2}} = {{1\cdot\sqrt{2}}\over{\sqrt{2}}^2}$

$\color{maroon}{cos\beta = {\sqrt{2}\over2}}$

$\color{navy}{tg\alpha = {{sen\alpha}\over{cos\alpha}}}$

$tg\alpha = \left({{1\over 2}\over{\sqrt{3}\over 2}}\right)$$\Leftrightarrow$$tg\alpha = \left({{1\over 2}\cdot{2\over\sqrt{3}}}\right)$=${1\cdot\sqrt{3}\over\sqrt{3}^2}$

$\color{maroon}{tg\alpha = {\sqrt{3}\over 3}}$

$\color{navy}{ctg\alpha = {1\over tg\alpha}}$

$ctg\alpha = \left({1 \over{\sqrt{3}\over 3}}\right)$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha = {3\over\sqrt{3}} = {3\sqrt{3}\over{\sqrt{3}^2}}$

$\color{maroon}{ctg\alpha = \sqrt{3}}$

$\color{navy}{tg\beta = {sen\beta\over cos\beta}}$

$tg\beta =\left[{\left({\sqrt{2}\over 2}\right)\over\left({\sqrt{2}\over2}\right)}\right]$

$tg\beta = \left[{\left({\not{\sqrt{2}}^1\over\not{2}^1}\right)\cdot{\left({\not{2}^1\over\not{\sqrt{2}}^1}\right)}}\right]$

$\color{maroon}{tg\beta = 1}$

$\color{navy}{ctg\beta = {1\over tg\beta}}$

$ctg\beta = {1\over 1} = 1$

$\color{maroon}{ctg\beta = 1}$

$\color{blue}{csc\alpha = {1\over sen\alpha}}$

$ csc\alpha = {1\over {1\over 2}}$

$\color{maroon}{csc\alpha = 2}$

$\color{blue}{csc\beta = {1\over{sen\beta}}}$

$ csc\beta = {1 \over{\sqrt{2}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$csc\beta = {2\over\sqrt{2}}$

$csc\beta = {2\sqrt{2}\over\sqrt{2}^2}$$\Leftrightarrow$$csc\beta = {2\sqrt{2}\over 2}$

$\color{maroon}{csc\beta = \sqrt{2}}$

$\color{blue}{sec\alpha = {1\over cos\alpha}}$

$sec\alpha = {1\over{\sqrt{3}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$sec\alpha = {2\over\sqrt{3}}$

$sec\alpha = {2\cdot\sqrt{3}\over \sqrt{3}^2}$$\Leftrightarrow$$sec\alpha ={2\sqrt{3}\over 3}$

$\color{maroon}{sec\alpha = {2\cdot\sqrt{3}\over 3}}$

$\color{blue}{sec\beta = {1\over cos\beta}}$

$sec\beta = {1\over{\sqrt{2}\over 2}}$$\Leftrightarrow$$sec\beta = {2\over \sqrt{2}}$

$sec\beta = {2\cdot \sqrt{2}\over\sqrt{2}^2}$$\Leftrightarrow$$sec\beta = {2\sqrt{2}\over 2}$

$\color{maroon}{sec\beta = \sqrt{2}}$

$sen{(\alpha + \beta)} = {{1\over2}\cdot{\sqrt{2}\over 2}} + {{\sqrt{2}\over 2}\cdot {\sqrt{3}\over2}}$

$sen{(\alpha + \beta)} = {\sqrt{2}\over 4} + {\sqrt{6}\over 4}$

$\color{maroon}{sen{(\alpha + \beta)} = {{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}}$

b) cosseno de ${(\alpha + \beta)}$

$cos{(\alpha + \beta)} = {{\sqrt{3}\over 2}\cdot {\sqrt{2}\over 2} – {{1\over2}\cdot {\sqrt{2}\over 2}}}$

$cos{(\alpha + \beta)} = {{\sqrt{6}\over 4} – {\sqrt{2}\over 4}}$

$\color{maroon}{cos{(\alpha + \beta)} = {{\sqrt{6} – \sqrt{2}}\over4}}$

c) tangente de ${(\alpha + \beta)}$

$ \color{marine}{tg{(\alpha\pm\beta)}={{1\pm tg\beta\cdot ctg\alpha}\over{ctg\alpha\mp tg\beta}}}$

$tg{(\alpha + \beta)} = {{1 + {1\cdot\sqrt{3}}}\over{{\sqrt{3} – 1}}}$

$tg{(\alpha + \beta)} =\left[{\left({{1 + \sqrt{3}}}\right)\over\left({\sqrt{3} -1}\right)}\right]$

Racionalizando o denominador:

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{\left({\sqrt{3} + 1}\right)\over\left({\sqrt{3} – 1}\right)}\right]\cdot\left[{\left({\sqrt{3} + 1}\right)\over\left({\sqrt{3} + 1}\right)}\right]$

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{\left({\sqrt{3}^2 + 2\sqrt{3} + 1}\right)\over\left({\sqrt{3}^2 – 1^2}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{\left({3 + 2\sqrt{3} + 1}\right)\over\left({3 – 1}\right)}\right]$

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{{2\sqrt{3} + 4}\over{2}}\right]$

$\color{maroon}{tg{(\alpha + \beta)} = {\sqrt{3} + 2}}$

d) cotangente de ${(\alpha + \beta)}$

$\color{navy}{ctg{(\alpha + \beta)}= \left({{ctg\alpha – tg\beta}\over{1 + tg\beta\cdot ctg\alpha}}\right)}$

$ctg{(\alpha + \beta)} =\left[{\left({\sqrt{3} – 1}\right)\over{1 + \left({1\cdot\sqrt{3}}\right)}}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg{(\alpha + \beta)} = \left[{{(\sqrt{3} – 1)}\cdot{(\sqrt{3} – 1)}\over{(\sqrt{3} + 1)}\cdot {(\sqrt{3} – 1)}}\right]$

$ctg{(\alpha + beta)} = \left[{{(\sqrt{3} – 1)}^2\over{(\sqrt{3}^2 – 1^2)}}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg{(\alpha + \beta)} = \left[{
{(3 – 2\sqrt{3} +1)}\over 2}\right]$

$ctg{(\alpha + \beta)} = \left({{4 – 2\sqrt{3}}\over 2}\right) = {2 -\sqrt{3}}$

$\color{maroon}{ctg{(\alpha + \beta)} = {2 – \sqrt{3}}}$

e)secante ${(\alpha + \beta)}$

$\color{navy}{sec{(\alpha + \beta)} = \left[{{1} \over\left({{cos\alpha\cdot cos\beta} – {sen\alpha\cdot sen\beta}}\right)}\right]}$

$sec{(\alpha + \beta)} = \left[{{1}\over\left({{{\sqrt{3}\over 2}\cdot{\sqrt{2}\over 2}} – {{1\over 2}\cdot {\sqrt{2}\over 2}}}\right)}\right]= \left[{{1}\over\left({{\sqrt{6}\over 4} – {\sqrt{2}\over 4}}\right)}\right]$*

$sec{(\alpha + \beta)} = \left({{4}\over{\sqrt{6} – \sqrt{2}}}\right)$=$\left[{{4\cdot\left({\sqrt{6} + \sqrt{2}}\right)}\over{\left({\sqrt{6} – \sqrt{2}}\right)}\cdot\left({\sqrt{6} + \sqrt{2}}\right)}\right]$

$sec{(\alpha + \beta)} = \left[{{4\cdot\left({\sqrt{6} + \sqrt{2}}\right)}\over\left({6 – 2}\right)}\right] = \left[{{4\cdot\left({\sqrt{6} + \sqrt{2}}\right)}\over 4}\right]$

$\color{maroon}{sec{(\alpha + \beta)} = {\sqrt{6} + \sqrt{2}}}$

f) cossecante de ${(\alpha + \beta)}$

$\color{navy}{csc{(\alpha + \beta)} = \left({{1}\over{{sen\alpha\cdot cos\beta} + {sen\beta\cdot cos\alpha}}}\right)}$

$csc{(\alpha + \beta)} = \left[{{1}\over\left({{1\over 2}\cdot {\sqrt{2}\over 2} + {\sqrt{2}\over 2}\cdot{\sqrt{3}\over 2}}\right)}\right]$=$\left[{{1}\over\left({{\sqrt{2}\over 4} + {\sqrt{6}\over 4}}\right)}\right]$

$csc{(\alpha + \beta)} = \left[{{1}\over\left({{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}\right)}\right]$=$\left[{{4}\over\left({\sqrt{2} + \sqrt{6}}\right)}\right]$

$csc{(\alpha + \beta)} = \left[{{4\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)}\over\left({\sqrt{2} + \sqrt{6}}\right)\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)}\right]$=$\left[{{4\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)}\over\left({2 – 6}\right)}\right]$

$csc{(\alpha + \beta)} = \left[{{4\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)}\over {- 4}}\right]$=$\left[{{\sqrt{2} – \sqrt{6}}\over {-1}}\right]$

$\color{maroon}{csc{(\alpha + \beta)} = {\sqrt{6} – \sqrt{2}}}$

04. Sabe-se que $\color{blue}{cos\alpha ={1\over 2}}$ e $\color{blue}{sen\beta ={\sqrt{2}\over 2}}$. Determine: a) $\color{blue}{sen{(\alpha – \beta)}}$; b) $\color{blue}{cos{(\alpha – \beta)}}$; c) $\color{blue}{tg{(\alpha – beta)}}$; d)$\color{blue}{ctg{(\alpha – beta)}}$; e)$\color{blue}{csc{(\alpha – beta)}}$ e $\color{blue}{sec{(\alpha – beta)}}$.

Novamente começaremos por determinar o seno e o cosseno de $\alpha$ e $\beta$.

Temos que: $\color{brown}{cos\alpha = {1\over 2}}$

$\color{blue}{sen²\alpha + cos²\alpha = 1}$

Substituímos: $sen^2\alpha + {\left(1\over 2\right)}^2 = 1$$\Leftrightarrow$$sen^2\alpha + {1\over 4} = 1$

$sen^2\alpha = {1 – {1\over 4}}$$\Leftrightarrow$$sen^2\alpha = {3\over 4}$

$\sqrt{sen^2\alpha} = \sqrt{3\over 4}$$\Leftrightarrow$$sen\alpha ={\sqrt{3}\over\sqrt{4}}$

$\color{maroon}{sen\alpha = {\sqrt{3}\over 2}}$

Temos também que: $\color{blue}{sen\beta = {\sqrt{2}\over2}}$

Substituindo na relação fundamental: $\color{navy}{sen^2\beta + cos^2\beta = 1}$

$\left({\sqrt{2}\over 2}\right)^2+ cos^2\beta = 1$

$\left({\not{2}^1\over\not{4}^2}\right) + cos^2\beta = 1$$\Leftrightarrow$$cos^2\beta = {1 – {1\over 2}}$

$\sqrt{cos^2\beta} = {\sqrt{1\over 2}}$$\Leftrightarrow$$cos\beta = {\sqrt{1}\over\sqrt{2}}$

$cos\beta = {1\over\sqrt{2}}= {1\cdot\sqrt{2}\over\sqrt{2}^2}$

$\color{maroon}{cos\beta = {\sqrt{2}\over2}}$

Agora podemos determinar:

$\color{blue}{sen{(\alpha – \beta)} = {sen\alpha\cdot cos\beta – sen\beta\cdot cos\alpha}}$

$sen{(\alpha – \beta)}={{\sqrt{3}\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2} – {\sqrt{2}\over 2}\cdot{1\over 2}}$=${{\sqrt{6}\over 4} – {\sqrt{2}\over 4}}$

$\color{maroon}{sen{(\alpha – \beta)} = {{\sqrt{6} -\sqrt{2}}\over 4}}$

b)Também podemos determinar$\color{brown}{cos{(\alpha – \beta)}}$.

$\color{navy}{cos{(\alpha – \beta)} = {{cos\alpha\cdot cos\beta} + {sen\alpha\cdot sen\beta}}}$

$cos{(\alpha – \beta)} = {({1\over2})\cdot({\sqrt{2}\over 2})+({\sqrt{3}\over2})\cdot({\sqrt{2}\over 2})}$=${({\sqrt{2}\over4}) + ({\sqrt{6}\over 4})}$

$\color{maroon}{cos{(\alpha – \beta)} = {{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}}$

c) Vamos determinar $\color{blue}{tg{(\alpha – \beta)}}$

Começaremos por determinar:

$\color{blue}{tg\alpha}$; $\color{blue}{tg\beta}$; $\color{blue}{ctg\alpha}$ e $\color{blue}{ctg\beta}$

$\color{blue}{tg\alpha = {{sen\alpha}\over {cos\alpha}}}$

$tg\alpha = \left[{\left({\sqrt{3}\over 2}\right)\over\left({1\over2}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg\alpha = \left[{\left({\sqrt{3}\over2}\right)\cdot\left({1\over2}\right)}\right]$

$\color{maroon}{tg\alpha = {\sqrt{3}\over 4}}$

$\color{blue}{tg\beta = \left[{\left({sen\beta}\right)\over\left({cos\beta}\right)}\right]}$

$tg\beta =\left[{\left({\sqrt{2}\over 2}\right)\over\left({\sqrt{2}\over2}\right)}\right]$

$\color{maroon}{tg\beta = 1}$

$\color{blue}{ctg\alpha = {cos\alpha\over sen\alpha}}$

$ctg\alpha = \left[{\left({1\over2}\right)\over\left({\sqrt{3}\over2}\right)}\right]$ $\Leftrightarrow$$ ctg\alpha = \left[{\left({1\over 2}\right)\cdot\left({2\over \sqrt{3}}\right)}\right]$

$ctg\alpha = \left[{\left({1\cdot\not{2}}\right)\over\left({\not{2}\cdot\sqrt{3}}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$ctg\alpha = {1\over\sqrt{3}} = {{1\cdot\sqrt{3}}\over\sqrt{3}^2}$

$\color{maroon}{ctg\alpha = {\sqrt{3}\over 3}}$

$\color{navy}{ctg\beta ={{cos\beta}\over{sen\beta}}}$

$ctg\beta = \left[{\left({\sqrt{2}\over 2}\right)\over\left({\sqrt{2}\over 2}\right)}\right]$

$\color{maroon}{ctg\beta = 1}$

$\color{blue}{tg{(\alpha – \beta)} = \left[{\left({1 – tg\beta\cdot ctg\alpha}\right)\over\left({ctg\alpha + tg\beta}\right)}\right]}$

$tg{(\alpha – \beta)} =\left[{{1 + \left({1\cdot\sqrt{3}\over 3}\right)}}\over{\left({{\sqrt{3}\over 3} + 1}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg{(\alpha – \beta)} = \left[{{\left({1 + \sqrt{3}}\right)\over3}\over{\left({\sqrt{3}\over3} + 1}\right)}}\right]$

$tg{(\alpha – \beta)}=\left[{\left({{3 + \sqrt{3}}\over\not{3}}\right)\cdot\left({\not{3}\over\sqrt{3}}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg{(\alpha – \beta)} = \left[{{\left({3 +\sqrt{3}}\right)\cdot\sqrt{3}}\over{\sqrt{3} +{3}}}\right]$=$\left[{{3\sqrt{3} +\sqrt{3}^2}\over\sqrt{3}^2}\right]$

$tg{(\alpha – \beta)}=\left[{{3\sqrt{3} + 3}\over 3}\right]={\sqrt{3} + 1}$

$\color{maroon}{tg{(\alpha – \beta)} = {\sqrt{3} + 1}}$

d) Agora a cotangente $\color{blue}{(\alpha – \beta)}$

$ \color{blue}{ctg{(\alpha\pm\beta)} = {{ctg\alpha\mp tg\beta}\over{1\pm tg\beta\cdot ctg\alpha}}}$

$ctg{(\alpha – \beta)}=\left[{\left({{\sqrt{3}\over3} + 1}\right)\over\left({1 – 1\cdot{\sqrt{3}\over3}}\right)}\right]$=$\left[{\left({{\sqrt{3} + 3}\over3}\right)\over\left({{3 -\sqrt{3}}\over3}\right)}\right]$

$ctg{(\alpha -\beta)} = \left[{\left({{\sqrt{3} + 3}\over\not{3}}\right)\cdot\left({\not{3}\over{\sqrt{3} – 3}}\right)}\right]$

$ctg{(\alpha – \beta)}=\left[{({\sqrt{3} +3})\cdot({\sqrt{3} + 3})\over({\sqrt{3}-3})\cdot({\sqrt{3}+3})}\right]$

$ctg{(\alpha-\beta)}=\left[{({\sqrt{3}^2 + 6\cdot\sqrt{3} + 9})\over({\sqrt{3}^2 – 9})}\right]$

$ctg{(\alpha – \beta)} = {{12 + 6\sqrt{3}}\over{3 – 9}}$=${{12 + 6\sqrt{3}}\over{-6}}$

$\color{maroon}{ctg{(\alpha-\beta)} = {\sqrt{3} – 2}}$

e) Vamos à secante $\color{blue}{(\alpha-\beta)}$

$\color{blue}{sec{(\alpha\pm\beta)} = {1\over{cos\alpha\cdot cos\beta\mp sen\beta\cdot sen\alpha}}}$

$sec{(\alpha-\beta)}=\left[{1\over{{1\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2} +{\sqrt{3}\over2}\cdot {\sqrt{2}\over2}}}\right]$=$\left[{1\over{{\sqrt{2}\over4}+{\sqrt{6}\over4}}}\right]$

$sec{(\alpha-\beta)}=\left({4\over{\sqrt{2} + \sqrt{6}}}\right)$=$\left[{4\cdot\left({\sqrt{2}-\sqrt{6}}\right)\over{\left({\sqrt{2} +\sqrt{6}}\right)\cdot\left({\sqrt{2} -\sqrt{6}}\right)}}\right]$

$sec{(\alpha-\beta)}=\left[{4\cdot\left({\sqrt{2} -\sqrt{6}}\right)\over\left({\sqrt{2}^2 – \sqrt{6}^2}\right)}\right]$=$\left[{4\cdot\left({\sqrt{2} -\sqrt{6}}\right)\over{2 – 6}}\right]$

$sec{(\alpha-\beta)}=\left[{\not{4}\cdot\left({\sqrt{2} – \sqrt{6}}\right)\over {-\not{4}}}\right]$=${-{\left(\sqrt{2} – \sqrt{6}\right)}}$

$\color{maroon}{sec{(\alpha-\beta)} = {\sqrt{6} – \sqrt{2}}}$

f) é a vez da cossecante $\color{blue}{(\alpha-\beta)}$

$\color{navy}{csc{(\alpha-\beta)}=\left({1\over{sen\alpha\cdot cos\beta – sen\beta\cdot cos\alpha}}\right)}$

$csc{(\alpha-\beta)}=\left[{1\over\left({{\sqrt{3}\over2}\cdot{\sqrt{2}\over2}}-{{\sqrt{2}\over2}\cdot{1\over2}}\right)}\right]$=$\left[{1\over\left({{\sqrt{6}\over 4} – {\sqrt{2}\over 4}}\right)}\right]$

$csc{(\alpha-\beta)}=\left[{1\over\left({{\sqrt{6} – \sqrt{2}}\over4}\right)}\right]$=$\left[{4\over{\sqrt{6} -\sqrt{2}}}\right]$

$csc{(\alpha-\beta)}=\left[{4\cdot\left({\sqrt{6}+\sqrt{2}}\right)\over\left({\sqrt{6} – \sqrt{2}}\right)\cdot\left({\sqrt{6}+\sqrt{2}}\right)}\right]$

$csc{(\alpha-\beta)}=\left[{4\cdot\left({\sqrt{6}+\sqrt{2}}\right)\over\left({6 – 2}\right)}\right]$=$\left[{4\cdot\left({\sqrt{6} +\sqrt{2}}\right)\over 4}\right]$

$\color{maroon}{csc{(\alpha-\beta)}={\sqrt{6} +\sqrt{2}}}$

05. Sabe-se que um ângulo tem $sen\gamma={\sqrt{6}\over5}$. Determine: a) $sen{2\gamma}$; b)$cos{2\gamma}$; c)$tg{2\gamma}$; d)$ctg{2\gamma}$

a) Seno do ângulo duplo $\color{green}{sen{2\gamma}}$

Precisamos começar determinando o cosseno do ângulo.

$\color{navy}{sen²\gamma + cos²\gamma = 1}$

$({\sqrt{6}\over 5})² + cos²\gamma = 1$$\Leftrightarrow$${6\over25} + cos²\gamma = 1$

$cos²\gamma = 1 – {6\over{25}}= {{25 -6}\over25}$

$\sqrt{cos²\gamma} = {\sqrt{{19}\over{25}}}$

$\color{blue}{cos\gamma = {\sqrt{19}\over5}}$

$\color{navy}{sen{(2\gamma)}= {2\cdot sen\gamma\cdot cos\gamma}}$

$sen{(2\gamma)}={2\cdot \left({\sqrt{6}\over 5}\right)\cdot\left({\sqrt{19}\over 5}\right)}$

$sen{(2\gamma)}= {2\cdot\left({\sqrt{114}\over{25}}\right)}$

$\color{maroon}{sen{(2\gamma)}= {2\sqrt{114}\over25}}$

b)$cos{(2\gamma)}$

$\color{navy}{cos{(2\gamma)}={cos^2\gamma – sen^2\gamma}}$

$cos{(2\gamma)}={\left({\sqrt{19}\over 5}\right)^2 – \left({\sqrt{6}\over 5}\right)^2}$

$cos{(2\gamma)}={{{19}\over{25}} – {6\over{25}}}={{13}\over{25}}$

$\color{maroon}{cos{(2\gamma)}={{13}\over{25}}}$

c)$\color{green}{tg{(2\gamma)}}$

Comecemos por determinar a $\color{red}{tg\gamma}$ e $\color{red}{ctg\gamma}$

$\color{blue}{tg\gamma = {{sen\gamma}\over {cos\gamma}}}$

$tg\gamma = \left[{({\sqrt{6}\over 5})\over({\sqrt{19}\over 5})}\right]$=$\left[{({\sqrt{6}\over \not{5}})\cdot({\not{5}\over\sqrt{19}})}\right]$

$tg{\gamma}=\left[{{\sqrt{6}\cdot\sqrt{19}}\over{\sqrt{19}\cdot\sqrt{19}}}\right]$= ${\sqrt{114}\over{19}}$

$\color{maroon}{tg\gamma = {\sqrt{114}\over{19}}}$

$\color{blue}{ctg\gamma = {1\over tg\gamma}}$

$ctg\gamma = \left[{1\over{\sqrt{114}\over{19}}}\right]$=$\left[{{19}\over\sqrt{114}}\right]$

$ctg\gamma=\left[{({19}\cdot\sqrt{114})\over({\sqrt{114}\cdot\sqrt{114}})}\right]$=$\left[{({{19}\cdot\sqrt{114}})\over{114}}\right]$

$\color{maroon}{ctg{(\gamma)}={\sqrt{114}\over 6}}$

$\color{navy}{tg{(2\gamma)}= {2\over{ctg\gamma – tg\gamma}}}$

$tg{(2\gamma)}=\left[{2\over{\left({\sqrt{114}\over 6}\right)-\left({\sqrt{114}\over{19}}\right)}}\right]$=$\left[{2\over\left({{{19}\sqrt{114} – 6\sqrt{114}}\over{114}}\right)}\right]$

$tg{(2\gamma)}=\left[{({2\cdot{114}})\over({{113}\cdot\sqrt{114}})}\right]$=$\left[{\left(2\cdot{114}\sqrt{114}\right)\over\left({113\sqrt{\left(114\right)}²}\right)}\right]$

$\color{maroon}{tg{(2\gamma)}= {2\sqrt{114}\over {113}}}$

d)$\color{green}{ctg{(2\gamma)}}$

$\color{blue}{ctg{(2\gamma)}={1\over tg{(2\gamma)}}}$

$ctg{(2\gamma)}=\left[{1\over({2\sqrt{114}\over {113}})}\right]$=$\left[{{113}\sqrt{114}\over{2\sqrt{114}^2}}\right]$

$ctg{(2\gamma)}=\left[{{{113}\sqrt{114}}\over 228}\right]$

$\color{maroon}{ctg{(2\gamma)}={{113}\sqrt{114}\over{228}}}$

Exercícios para treinar

01. Se um triângulo isósceles tem o ângulo oposto à base, medindo $\alpha = 60º$, determine o seno e o cosseno do ângulo resultante da justaposição de dois desses triângulos, como mostra a figura.

02. Sabendo que um ângulo $\beta$ mede mede 30º e o outro mede 45º. Determine a tangente e cotangente da soma desses dois ângulos.

03. Dois triângulos são colocados lado a lado, de modo a fazer coincidir um de seus vértices da base. O primeiro é equilátero e o segundo isósceles, onde o ângulo do vértice superior mede 45º. Determine: a) o seno do ângulo entre os lados dos dois triângulos $\color{red}{\alpha}$; b) o cosseno da soma do ângulo interno do equilátero e o lado do isósceles$\color{red}{(\alpha + \gamma)}$; c) o seno do ângulo formado entre a base do isósceles e o lado do equilátero$\color{red}{(\alpha + \beta)}$.

05. Sendo os ângulos $\color{red}{\alpha = 60º}$ e $\color{red}{\beta = 45º}$, determine: a) $cos{(\alpha – \beta)}$; b)$sen{(\alpha – \beta)}$; c)$tg{(\alpha – \beta)}$.

06. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que tgα=4/3 e α pertence ao primeiro quadrante($0\lt\alpha\lt90^{0}$.

07. Demostrar as seguintes igualdades trigonométricas:

a)$\left[{{1 – sen\alpha}\over cos\alpha}\right] = \left[{{cos\alpha}\over{1 + sen\alpha}}\right]$;

b) $\left[{{sen\alpha + ctg\alpha}\over{tg\alpha + cosec\alpha}}\right] = cos\alpha$;

c)${tag\alpha + ctg\alpha} = sec\alpha\cdot csec\alpha$;

d)$cos^2\alpha = sen^2\alpha\cdot cos^2\alpha + cos^4\alpha$

08. Faça a demonstração das igualdades trigonométricas:

a)$\color{blue}{2tg x\left({{1 + cos x}over 2}\right)} = sen x\cdot tg x$

b)$\color{blue}{\left({{tg\alpha + tg\beta}\over{ctg\alpha +ctg\beta}}\right) = tg\alpha\cdot tg\beta}$

09. Demonstrar as seguintes igualdades trigonométricas.

a)$\color{blue}{sec^2\alpha + csc^2\alpha = sec^2\alpha\cdot csc^2\alpha}$

b)$\color{blue}{\left({{sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen^2\alpha -cos^2\alpha}}\right) = sec^2\alpha\ cdot csc^2\alpha}$

c)$\color{blue}{{\left(sec\alpha – tg\alpha\right)^2 }=\left({{1-sen\alpha}\over{1+sen\alpha}}\right)}$

10. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas.

a)$\color{blue}{sen\alpha + cos\alpha = \left({{1 + tg\alpha}\over{sec\alpha}}\right)}$

b)$\color{blue}{\left({{cos\alpha + tg\alpha}\over{cos\alpha\cdot tg\alpha}}\right) = ctg\alpha + sec\alpha}$

c)$\color{blue}{\left({{2sen\alpha}\over{tg(2\alpha)}}\right) = cos\alpha – \left({sen²\alpha\over cos\alpha}\right)}$

11. Demonstrar as seguintes igualdades trigonométricas.

a)$\color{blue}{1 + sen\alpha\cdot tg\alpha = \left({{sen\alpha + ctg\alpha}\over{ctg\alpha}}\right)}$

b)$\color{blue}{tg\alpha + ctg\alpha = \left({1\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)}$

c)$\color{blue}{{\left(sen\alpha + cos\alpha\right)^2} +{\left(sen\alpha – cos\alpha\right)^2} = 2}$

12. Calcular as restantes razões trigonométricas sabendo que $ sen\alpha=3/5 $ e $0\lt\alpha\lt90$, isto é pertence ao primeiro quadrante.

13. Calcular as outras razões trigonométricas sabendo que o $cos\alpha=5/13$ e $ \alpha$ pertence ao primeiro quadrante.

14. Calcular as outras razões trigonométricas sabendo que $ tgα=4/3$ e $α$ pertence ao primeiro quadrante.

15. Calcular as demais razões trigonométricas sabendo que o $\color{Green}{ cos\alpha={4\over 5}}$ e $0< α<90^{0}$, isto é, pertence ao primeiro quadrante.

Irá seguir em pouco tempo um post com a resolução de todos esses exercícios para que possas conferir e tirar dúvidas.

Curitiba, 30 de dezembro de 2019

Décio Adams

30 de novembro de 20191 de março de 2020

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Matemática – Geometria – Razões trigonométricas.

Relações entre as razões trigonométricas.

Já vimos no post anterior as primeiras relações e iremos recordá-las agora, para depois complementar com mais algumas e resolver exercícios de aplicação.

Relação fundamental

$\color{green}{sen^{2}\beta + cos^2\beta = 1}$

tangente e cotangente

$\color{green}{tg\beta = {{sen\beta}\over{cos\beta}}}$

$\color{green}{ctg\beta = {{cos\beta}\over{sen\beta}}}$

cossecante e secante

$\color{green}{csc\beta = {1\over{sen\beta}}}$

$\color{green}{sec\beta = {1\over{cos\beta}}}$

Novas relações tiradas da fundamental

Dividindo a relação fundamental por $\color{red}{sen^2\beta}$ teremos:

${{sen^2\beta}\over{sen^2\beta}} + {{cos^2\beta}\over{sen^2\beta}} = {1\over{sen^2\beta}}$

Lembrando que $\color{navy}{{{cos\beta}\over{sen\beta}} = ctg\beta}$

$ {1 + ctg^2\beta = csc^2\beta}$$\Leftrightarrow$${\sqrt{csc^2\beta} = \sqrt{1 + ctg^2\beta}}$

$\color{maroon}{csc\beta = \sqrt{1 + ctg^2\beta}}$

Seguindo o mesmo raciocínio, agora dividindo a relação fundamental por $cos^2\beta$, e substituindo as razões equivalentes.

${{sen^2\beta}\over{cos^2\beta}} + {{cos^2\beta}\over {cos^2\beta}} = {1\over {cos^2\beta}}$$\Leftrightarrow$$ tg^2\beta + 1 = sec^2\beta$

${\sqrt{sec^2\beta} = \sqrt{1 + tg^2\beta}}$

$\color{maroon}{sec\beta = \sqrt{1 + tg^2\beta}}$

Em $tg\beta = {{sen\beta}\over{cos\beta}}$, isolando $sen\beta$ e substituindo na relação fundamental.

$\color{Brown}{sen\beta = {tg\beta}\cdot{cos\beta}}$

${tg^2\beta}\cdot{cos^2\beta} + cos^2\beta = 1$$\Leftrightarrow$$cos^2\beta\cdot{(tg^2\beta + 1)} = 1$

$cos^2\beta = {1\over{tg^2\beta + 1}}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{cos^2\beta} = \sqrt{1\over{tg^2\beta + 1}}$

$cos\beta = \sqrt{1\over{tg\beta+1}}$

$\color{maroon}{cos\beta = \left({tg^2\beta + 1} \right) ^{-{1\over2}}}$

Procedendo da mesma forma com $ctg\beta = {{cos\beta}\over{sen\beta}}$

${ctg\beta}\cdot{sen\beta} = cos\beta $

$sen^2\beta + ({ctg\beta}\cdot{sen\beta})^2 = 1$

$sen^2\beta + {ctg^2\beta}\cdot{sen^2\beta} = 1$

$sen^2\beta\cdot({1 + ctg^2\beta}) = 1$$\Leftrightarrow$$ sen^2\beta = {1\over{1 + ctg^2\beta}}$

$\sqrt{sen^2\beta} = \sqrt{1\over{1 + ctg^2\beta}}$$\Leftrightarrow$$sen\beta = {1\over\sqrt{ctg^2\beta + 1}}$

$\color{maroon}{sen\beta = \left({ctg^2\beta + 1}\right)^{-{1\over 2}}}$

Lei dos senos.

O triângulo $\Delta{ABCA}$ é inscrito na circunferência, cujo diâmetro mede $d = 2r$. Um segmento de reta que passa pelo vértice $\hat{B}$, pelo centro e encontra a circunferência no ponto $\hat{D}$. Unimos esse ponto com o vértice $\hat{C}$, onde se forma um ângulo reto.

O triângulo $\Delta{BCDB}$ é retângulo no vértice $C$. O segmento $\overline{BC}$ é cateto oposto ao ângulo $\Delta$. Por isso:

$sen\Delta = {a\over \overline{BD}} = {a\over{2r}}$

$\color{Violet}{{a\over sen\Delta} = 2r}$

O vértice $\hat{A}$ é subtendido pelo mesmo arco $\hat{BC}$ assim como acontece com o ângulo $\Delta$. Donde se conclui que:

${{a\over sen\alpha} = 2r}$

Aplicando o mesmo raciocínio aos outros ângulos, teremos:

${{b\over sen\beta} = 2r}$

${{c\over sen\gamma} = 2r}$

Como consequência podemos estabelecer a lei dos cossenos, cujo enunciado fica assim:

Em qualquer triângulo o lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto e a razão constante é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.

$\color{maroon}{{a\over sen\alpha} = {b\over sen\beta} = {c\over sen\gamma} = 2r}$

Essa lei é especialmente útil na determinação dos demais elementos de um triângulo, conhecendo-se um ângulo e dois lados.

Leis dos cossenos

A altura relativa ao lado $b$, divide o triângulo em dois triângulos retângulos, onde podemos aplicar o Teorema de Pitágoras e cálcular do cosseno de um dos ângulos agudos do $\Delta{ABCA}$.

Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras nos dois triângulos retângulos formados pela altura $h$ em relação ao lado $b$

$a^2 = h^2 + n^2$ (I)

${c^2 = h^2 + m^2}$$\Leftrightarrow$${h^2 = c^2 – m^2}$ (II)

${h^2 = c^2 – m²}$ (II)

Temos que ${b = m + n}$$\Leftrightarrow$${n = b – m}$

${n = b – m}$ (III)

${{m\over c} = cos\alpha}$$\Leftrightarrow$${m = c\cdot cos\alpha}$

${m = c\cdot cos\alpha}$ (IV)

Substituindo (II), (III) e (IV) em (I), teremos:

$a^2 = {c^2 – m^2} + {(b – m)^2}$$\Leftrightarrow$$a^2= {c^2 – \left({c\cdot cos\alpha}\right)^2} + {b^2 – 2bm + m^2}$

$a^2 = c^2 – c^2\cdot cos^2\alpha + b^2 -2b\left(c\cdot cos\alpha\right) +\left({c\cdot cos\alpha}\right)^2$

Cancelando os termos simétricos e ordenando a expressão:

$a^2 = b^2 + c^2 – c^2cos^2\alpha – 2bc\cdot cos\alpha + c^2\cdot cos^2 \alpha$

$\color{maroon}{a^2= b^2 + c^2-2bc\cdot cos\alpha}$

Aplicando o mesmo raciocínio em relação aos outros ângulos, teremos:

$\color{maroon}{b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cdot cos\beta}$

$\color{maroon}{{c^2 = a^2 + b^2 – 2ac\cdot cos\gamma}}$

O quadrado da medida de um lado de um triângulo qualquer é igual a soma dos quadrados dos outros lados, menos o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado.

Exercícios

01. A $csc\beta = {{3\sqrt{3}}\over5}$. Determine as demais razões trigonométricas desse mesmo ângulo.

Temos vários caminhos que nos levam aos resultados buscados. Vamos começar pela relação entre cossecante e cotangente.

$csc\beta = {\sqrt{1 + ctg^2\beta}}$

Substituindo e elevando ao quadrado teremos:

$\left({3\sqrt{3}\over5}\right)^2 = {\left({\sqrt{1 + ctg^2\beta}}\right)^2}$

$ {{9\cdot 3}\over{25}}= {1 + ctg^2\beta}$$\Leftrightarrow$${{27}\over{25}} – 1 = ctg^2\beta $

${{27 – 25}\over{25}} = ctg^2\beta$$\Leftrightarrow$$ctg^2\beta = {2\over{25}} $

$\sqrt {ctg^2\beta} = {\sqrt{2\over{25}}}$

$\color{maroon}{ctg\beta= {\sqrt{2}\over 5}}$

Temos que $tg\beta = {1\over ctg\beta}$, o que nos fornece:

$tg\beta =\left[ {1\over\left({\sqrt{2}\over5}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg\beta = \left({5\over\sqrt{2}}\right)$

Racionalizando: $ tg\beta =\left({{5\cdot\sqrt{2}}\over\sqrt{2}²}\right)$

$\color{maroon}{tg\beta= {5\sqrt{2}\over 2}}$

Se $\color{navy}{sec\beta = \sqrt{1 + tg^2\beta}}$

$sec\beta =\left[{\sqrt{1 +\left({5\sqrt{2}\over2}\right)^2}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta =\left[\sqrt{1 + {{{25}\cdot 2}\over4}}\right]$

$sec\beta = \left[\sqrt{1 + {{25}\over2}}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta = \left[\sqrt{{2 + 25}\over 2}\right]$

$sec\beta =\left[\sqrt{{27}\over2}\right]$$\Leftrightarrow$$sec\beta= \left[\sqrt{{3^2\cdot 3}\over2}\right]$

$sec\beta = {3\cdot{\sqrt{3}}\over\sqrt{ 2}}$$\Leftrightarrow$$sec\beta = {{3\sqrt{6}}\over 2}$

$\color{maroon}{sec\beta = {{3\sqrt{6}}\over 2} }$

$sec\beta = {1\over cos\beta}$$\Leftrightarrow$$ cos\beta = {1\over sec\beta}$

$cos\beta = {1\over{{3\sqrt{6}}\over2}}$$\Leftrightarrow$$cos\beta = {2\over {3\sqrt{6}}}$

$cos\beta= {{{2\cdot\sqrt{6}}\over{3\cdot{\sqrt{6}}^2}}}$$\Leftrightarrow$$cos\beta = {{2\sqrt{6}}\over{3\cdot 6}}$

$\color{maroon}{cos\beta = {\sqrt{6}\over 9}}$

$csc\beta = {1\over sen\beta}$$\Leftrightarrow$$sen\beta = \left[{1\over\left({3\sqrt{3}\over5}\right)}\right]$

$sen\beta = {5\over{3\sqrt{3}}}$$\Leftrightarrow$$sen\beta = {{5\cdot\sqrt{3}}\over{3\sqrt{3}^2}}$

$\color{maroon}{sen\beta = {5\sqrt{3}\over9}}$

02. Um triângulo tem o lado $a = 8,0\, cm$, um ângulo adjacente a ele mede $\beta = 45^{0}$ e o triângulo está inscrito em uma circunferência de raio $r = 8,0\, cm$. Pede-se determinar as medidas dos outros dois lados e os ângulo $\alpha$ e $\gamma$.

Dados: $a = 8,0\, cm$; $\beta = 45^{0}$ e $r = 8,0\, cm$.

Lei dos senos: ${a\over sen\alpha} = {b\over sen\beta} = {c\over sen\gamma} = {2\cdot r}$

${a\over sen\alpha} = {2\cdot r}$$\Leftrightarrow$$sen\alpha = {a\over 2r}$

$sen\alpha = {8\over{2\cdot 8,0}}$$\Leftrightarrow$$sen\alpha ={1\over2}$

$sen\alpha = {1\over 2}$

$\color{maroon}{\alpha = 30^{0}}$

${b\over sen\beta} = {a\over sen\alpha}$$\Leftrightarrow$${b\over sen {45º}} = {8,0\over sen {30^{0}}}$

${b\over{\sqrt{2}\over 2}} = {8\over {1\over2}}$$\Leftrightarrow$$b = 8\cdot \frac{2\cdot\sqrt{2}}{2}$

$\color{maroon}{b = {8\cdot\sqrt{2}}cm}$

$\alpha + \beta + \gamma = 180^{0}$$\Leftrightarrow$$ 30^{0} + 45^{0} + \gamma = 180^{0}$

$\gamma = 180^{0} – 75^{0}$$\Leftrightarrow$$\gamma = 105^{0}$

$\color{maroon}{\gamma = 105^{0}$

${c\over sen\gamma} = 2\cdot r$

${c\over sen{(45^{0} + 60^{0})}} = 2\cdot 8 $

$\left[{c\over{(sen 45^{0}\cdot cos 60^{0} + sen 60^{0}\cdot cos 45^{0})}}\right] = 16$

$\left[{c\over{{(\sqrt{2}\over2}\cdot {1\over2}} +{{\sqrt{3}\over2}\cdot {\sqrt{2}\over2})}}\right] = 16$

$\left[{c\over{(\sqrt{2}\over 4} +{\sqrt{6}\over 4})}\right] = 16$$\Leftrightarrow$$\left[{c\over{{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}}\right] = 16$

$c = 16\cdot{{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\over 4}$

$\color{maroon}{c = 4\cdot\left[{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\right] cm}$

Soma de ângulos, seno e cosseno

Imagine se deparar com uma expressão como essa: $y = sen{(\alpha + \beta)}$! ou então $y = cos{(\alpha + \beta)}$!

Simplesmente irá fazer a adição dos ângulos? Isso estará correto? No final do exercício dois acima foi usado esse recurso para obter um dos senos dos ângulos. E não foi assim. Há uma forma mais fácil de resolver essas situações.

Vejamos a demonstração de como fica essa questão. Essa demonstração normalmente não é cobrada do candidato ou aluno em provas, mas eu tenho uma aversão radical à simplesmente despejar uma fórmula e dizer apenas “é assim que se faz”. Sempre quero mostrar o “porquê?” Então me empenho em colocar tudo em pratos limpos.

Vamos inciar por desenhar um retângulo e um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a diagonal, à qual iremos atribuir a medida de uma unidade de comprimento.

Temos a diagonal $\overline{AB}$, que é a hipotenusa do triângulo retângulo $\Delta{ABCA}$.

Vamos baixar uma perpendicular ao prolongamento da base do retângulo, a partir do vértice $C$ do triângulo.

Traçada a perpendicular $\overline{CD}$, temos agora três triângulos retângulos: $\Delta{ABEA}$; $\Delta{ABCA}$ e $\Delta{ACDA}$.

No triângulo $\Delta{ABEA}$, o ângulo do vértice $A$ é igual a soma dos ângulos agudos $\alpha + \beta$ dos outros dois triângulos e podemos escrever, pela definição das razões trigonométricas:

$sen{(\alpha + \beta)} = {{\overline{BE}}\over\overline{AB}}$ (I)

$cos{(\alpha + \beta)} = {{\overline{AE}}\over\overline{AB}}$ (II)

Vamos destacar o triângulo $\Delta{ACDA}$ e analisar as razões seno e cosseno.

O triângulo destacado está em azul claro.

Observando seus lados, temos:

$sen\alpha = {{\overline{CD}}\over\overline{AC}}$

$sen\alpha\cdot\overline{AC} = \overline{CD}$ (III)

$cos\alpha = {{\overline{AE}}\over\overline{AC}}$

$cos\alpha\cdot\overline{AC} = \overline{AE}$ (IV)

Agora vamos destacar o triângulo $\Delta{ABCA}$ e analisar as razões seno e cosseno.

No $\Delta{ABCA}$ surgem os indícios do que irá ocorrer no fechamento do raciocínio.

Neste triângulo, veremos:

$sen\beta = {{\overline{BC}}\over\overline{AB}}$

$sen\beta = {{\overline{BC}}\over 1}$$\Leftrightarrow$$sen\beta =\overline{BC}$ (V)

$cos\beta = {{\overline{AC}}\over 1}$$\Leftrightarrow$$cos\beta = \overline{AC}$ (VI)

Falta completar o quarto triângulo. Prolongamos a base superior do retângulo e o segmento $\overline{CD}$, formando $\Delta{CBFC}$, que é semelhante ao triângulo $\Delta{ACDA}$. São semelhantes pois ambos são retângulos e os lados são respectivamente perpendiculares. Por isso o ângulo com vértice no ponto $C$ é congruente ao ângulo $\alpha$.

Triângulos $\Delta{ACDA}$ e $\Delta{CBFC}$ são semelhantes. Tem lados perpendiculares e são retângulos.

Aqui temos: $sen\alpha = {{\overline{BF}}\over\overline{BC}}$ (VII)

$cos\alpha = {{\overline{CF}}\over\overline{BC}}$ (VIII)

Resumo:

$sen{(\alpha + \beta)} = {{\overline{BE}}\over\overline{AB}}$ (I)

$cos{(\alpha + \beta)} = {{\overline{AE}}\over\overline{AB}}$ (II)

$sen\alpha\cdot\overline{AC} = \overline{CD}$ (III)

$cos\alpha\cdot\overline{AC} = \overline{AE}$ (IV)

$sen\beta =\overline{BC}$ (V)

$cos\beta = \overline{AC}$ (VI)

Substituindo (V) em (VII) e (VIII):

$sen\alpha = {{\overline{BF}}\over sen\beta}$

${sen\alpha\cdot sen\beta} = \overline{BF}$ (IX)

$cos\alpha = {{\overline{CF}}\over sen\beta}$

${cos\alpha\cdot sen\beta} = \overline{CF}$ (X)

Substituindo (VI) em (III) e (IV), fica:

${sen\alpha\cdot\cos\beta} = \overline{CD}$ (XI)

${cos\alpha\cdot\ cos\beta} = \overline{AE}$ (XII)

Na figura principal, observamos que os segmentos:

$\overline{BE} = \overline{CD} + \overline{CF}$

$\overline{AE} = \overline{AD} – \overline{ED}$

Olhando as expressões (I) e (II), podemos deduzir que:

$\overline{BE} = sen{(\alpha + \beta)}$

$\overline{AE} = cos{(\alpha + \beta)}$

De onde podemos tirar que:

$sen{(\alpha + \beta)}= {sen\alpha\cdot cos\beta + sen\beta\cdot cos\alpha}$

$cos{(\alpha + \beta)} = {cos\alpha\cdot cos\beta – sen\alpha\cdot sen\beta}$

Se em lugar de $\alpha + \beta$, tivéssemos $\alpha – \beta$, bastaria trocar os sinais +/- nas expressões, ficando:

$sen{(\alpha \pm \beta)} = {sen\alpha\cdot cos\beta \pm sen\beta\cdot cos\alpha}$

$cos{(\alpha \pm \beta)} = {cos\alpha\cdot cos\beta \mp sen\alpha\cdot cos\beta}$

A partir dessas expressões podemos obter também a tangente e cotangente da soma de ângulos. Vejamos:

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{{sen{(\alpha +\beta)}}\over{cos{(\alpha + \beta)}}}\right]$

$tg{(\alpha + \beta)} = \left[{{sen\alpha\cdot cos\beta + sen\beta\cdot cos\alpha}\over{cos\alpha\cdot cos\beta – sen\alpha\cdot sen\beta}}\right]$

Dividindo todos os termos do segundo membro da equação por $sen\alpha\cdot cos\beta$, teremos:

$tg{(\alpha + \beta)} =\left[{{\left({{sen\alpha\cdot cos\beta}\over{sen\alpha\cdot cos\beta}}\right) + \left({{sen\beta\cdot cos\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\beta}}\right)}\over{\left({{cos\alpha\cdot cos\beta}\over{sen\alpha\cdot cos\beta}}\right) – \left({{sen\alpha\cdot sen\beta}\over{sen\alpha\cdot cos\beta}}\right)}}\right]$

$\color{maroon}{tg{(\alpha + \beta)} = {{1 + tg\beta\cdot ctg\alpha}\over{ctg\alpha – tg\beta}}}$

Sendo $ctg{(\alpha + \beta)} = {1\over tg{(\alpha + \beta)}}$, podemos escrever que:

$\color{maroon}{ctg{(\alpha + \beta)} = {{ctg\alpha – tg\beta}\over{1 + ctg\beta\cdot tg\alpha}}}$

Arco duplo – Seno, cosseno e …

As relações da soma e diferença de ângulos, são úteis na obtenção dos chamados “arcos duplos ou triplos”.

${sen(2\alpha)} = ?$

Lembrando que $2\alpha = \alpha + \alpha$

$sen(2\alpha) = sen\alpha\cdot cos\alpha + sen\alpha\cdot cos\alpha$

$\color{maroon}{sen(2\alpha) = 2\cdot sen\alpha\cdot cos\alpha}$

$cos(2\alpha) = cos\alpha\cdot cos\alpha – sen\alpha\cdot sen\alpha$

$\color{maroon}{cos(2\alpha) = cos^2\alpha – sen^2\alpha}$

$tg(2\alpha) = \left({{2sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{cos^2\alpha – sen^2\alpha}}\right)$

$tg(2\alpha) =\left[{\left({{2sen\alpha\cdot cos\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)\over\left({{cos²\alpha – sen²\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}\right)}\right]$$\Leftrightarrow$$tg(2\alpha) = \left[{2\over{{{cos^2\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}} – {{sen^2\alpha}\over{sen\alpha\cdot cos\alpha}}}\right]$

$\color{Maroon}{tg(2\alpha) = {2\over{ctg\alpha – tg\alpha}}}$

Como $ctg(2\alpha) = {1\over{tg(2\alpha)}}$

temos que:

$\color{maroon}{ctg(2\alpha) = {{ctg\alpha – tg\alpha}\over 2}}$

$csc(2\alpha) = {1\over sen(2\alpha)}$

$csc(2\alpha) = {1\over{2sen\alpha\cdot cos\alpha}}$

$\color{maroon}{sec(2\alpha) = {1\over{cos^2\alpha – sen^2\alpha}}}$

Vamos deixar os exercícios para o próximo post, que será bem recheado deles. Se existir alguma dúvida sobre as demonstrações, por obséquio, pergunte para esclarecer. Não há necessidade de decorar esses procedimentos, mas entender de onde vem as expressões que depois serão utilizadas.

Curitiba, 30 de novembro de 2019

Décio Adams

23 de novembro de 201928 de fevereiro de 2020

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Matemática – Trigonometria.

Trigonometria

O nome desse assunto começa com uma palavra bem nossa conhecida trigo, o que pode nos sugerir algo bem diferente do que é na verdade. A origem da palavra trigonometria, vem da língua grega, aquela dos filósofos, matemáticos, geômetras e outras especialidades, que viveram nos tempos antigos, naquele país insular.

Nessa língua temos a palavra trígono, significando três ângulos ou seja triângulo. Na verdade já é uma palavra composta de duas partes: tri = três e gono = ângulo. Já estudamos algumas relações métricas nos triângulos, porém apenas relacionando os lados e as linhas como altura, mediana, bissetriz e mediatriz. Podemos também estabelecer relações entre os lados e os ângulos que eles formam. Esse é o assunto de que iremos falar agora e denomina-se trigonometria.

Trigonometria no triângulo retângulo.

É o estudo das relações existentes entre os ângulos de um triângulo retângulo e seus respectivos lados.

Vejamos como isso funciona.

Temos na figura um triângulo retângulo $\Delta{(ABCA)}$, junto com a sucessão de outros que lhe são semelhantes:

$\Delta{(AB_{1}C_{1}A)} \land\Delta{(AB_{2}C_{2}A)}\land \Delta{(AB_{3}C_{3}A)}$.

São semelhantes por terem todos um ângulo comum no vértice $\hat{A}$; todos têm um ângulo reto nos vértices $\hat{B}, \hat{B_{1}}, \hat{B_{2}}, \hat{B_{3}}$. Como consequência os outros ângulos agudos também são congruentes.

Quando estudamos triângulos semelhantes, vimos que eles têm os lados homólogos proporcionais. São os lados compreendidos entre dois ângulos congruentes nos dois triângulos.

Ao estudar as medidas desses lados, identificou-se a existência de uma razão constante entre os lados que são adjacentes ou opostos aos ângulos. Foi assim que surgiu a trigonometria. Poderíamos traçar uma infinidade de linhas paralelas à $\overline{BC}$, na figura acima e sempre teríamos a mesma proporção entre os respectivos lados.

Observando os triângulos da figura, vemos que os segmentos $\overline{AC}. \overline{AC_{1}}, \overline{AC_{2}}, \overline{AC_{3}}$ são as hipotenusas. Os segmentos $\overline{AB}, \overline{AB_{1}}, \overline{AB_{2}}, \overline{AB_{3}}$ são os catetos adjacentes ao ângulo $\hat{A} = \alpha$ e os segmentos $\overline{BC}, \overline{B_{1}C_{1}}, \overline{B_{2}C_{2}}, \overline{B_{3}C_{3}}$ são os catetos opostos ao mesmo ângulo agudo $\alpha$. As razões entre os lados de um triângulo retângulo, são o que denominamos razões trigonométricas, a saber:

Cosseno: é o quociente do cateto adjacente pela hipotenusa.

Esse valor é constante, para qualquer tamanho do triângulo.

$cos \alpha = \frac{cat. adj.}{hip} = \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} =\frac{\overline{AB_{1}}}{\overline{AC_{1}}} = \frac{\overline{AB_{2}}}{\overline{AC_{2}}} = \frac{\overline{AB_{3}}}{\overline{AC_{3}}}$

Seno é o quociente do cateto oposto ao ângulo pela hipotenusa.

$sen\alpha = \frac{cat. op.}{hip} =\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{B_{1}C_{1}}}{\overline{AC_{1}}}= \frac{\overline{B_{2}C_{2}}}{\overline{AC_{2}}}=\frac{\overline{B_{3}C_{3}}}{\overline{AC_{3}}}$

Tangente é o quociente do cateto oposto ao ângulo, pelo cateto adjacente.

$tg\alpha = \frac{cat. op.}\over{cat. adj.} = \frac{\overline{BC}}{\overline{AB}} =\frac{\overline{B_{1}C_{1}}}{\overline{AB_{1}}} = \frac{\overline{B_{2}C_{2}}}{\overline{AB_{2}}} = \frac{\overline{B_{3}C_{3}}}{\overline{AB_{3}}}$

Co-tangente é o quociente do cateto adjacente pelo cateto oposto do ângulo.

$ctg\alpha = \frac{cat. adj.}{cat. op.} = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{AB_{1}}}{\overline{B_{1}C_{1}}}=\frac{\overline{AB_{2}}}{\overline{B_{2}C_{2}}} = \frac{\overline{AB_{3}}}{\overline{B_{3}C_{3}}}$

Se observarmos bem, notaremos que a Co-tangente é igual ao inverso da tangente, o que podemos exprimir assim:

$ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}$

Mais uma relação entre as razões trigonométricas:

$cos\alpha = {\overline{AB}\over\overline{AC}}$$\Leftrightarrow$$\overline{AB} = {\overline{AC}\cdot {cos\alpha}}$

$sen\alpha =\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}$$\Leftrightarrow$$\overline{BC} = {\overline{AC}\cdot {sen\alpha}}$

$tg\alpha = \frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac {{\overline{AC}\cdot sen\alpha}}{\overline{AC}\cdot {cos\alpha}}$

$tg\alpha = \frac{sen\alpha}{cos \alpha}$

Como vimos a tangente e a co-tangente são uma o inverso da outra. Isso nos permite concluir que:

$ctg\alpha = \frac{cos\alpha} {sen\alpha}$

Ainda existem duas outras razões trigonométricas. São elas a cossecante e a secante.

Cossecante é a denominação dada ao inverso do seno.

$csc\alpha =\frac {1}{sen\alpha}$

Equivale a $csc\alpha = \frac{hipotenusa}{cateto oposto}$

Secante é o inverso do cosseno de um ângulo.

$sec\alpha = \frac{1}{cos\alpha}$

Equivale a $sec\alpha = {{hipotenusa}\over{cateto adjacente}}$

Relação fundamental da trigonometria.

Para facilitar a escrita corrente de expressões que envolvem os lados de um polígono, é costume identificar os lados com a letra minúscula correspondente à letra maiúscula que identifica o vértice oposto.

Lembrando do estudo do triângulo retângulo, encontramos o Teorema de Pitágoras.

Vamos aplicar as definições das razões trigonométricas seno e cosseno ao triângulo acima.

$sen\alpha =\frac{c}{a}$$\Leftrightarrow$$ c = {a\cdot sen\alpha} $

$cos\alpha = \frac{b}{a}$$\Leftrightarrow$$b = {a\cdot cos\alpha}$

$a^2 = b^2 + c^2$$\Leftrightarrow$$a^2 ={(a\cdot cos\alpha)}^2 + {(a\cdot sen\alpha)}^2$

Distribuindo o expoente dos termos do segundo membro da igualdade, teremos:

$a^2 = {a^2\cdot cos^2\alpha} + {a^2\cdot sen^2\alpha}$

Cancelando o fator comum a todos os termos $a²$, chegaremos à relação fundamental.

$1 = sen^2\alpha + cos^2\alpha$

Essa relação fundamental é, de certa forma, o equivalente trigonométrico do Teorema de Pitágoras. É denominada fundamental pela importância de suas aplicações no desenvolvimento de múltiplos raciocínios dentro do assunto.

É escusado dizer que os valores das razões trigonométricas são em sua quase totalidade representadas por números decimais. Não se pode ter a pretensão de guardar de memória tal quantidade de informações. Para isso existem as tabelas trigonométricas e o mais fácil é fazer uso de calculadoras eletrônicas para obter esses valores. Em geral usamos arredondar com duas ou três casas decimais, obedecendo os critérios de arredondamento.

Os valores mais comuns são escritos na forma de razões, onde algumas contém um termo irracional (radical).

	$sen\alpha$	$cos\alpha$	$tg\alpha$	$ctg\alpha$	$csc\alpha$	$sec\alpha$
$0^{0}$	$0$	$1$	$0$	4$\infty$	$\infty$	$1$
$30^{04}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$	$2$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$45^{0}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
$60^{0}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$2$
$90^{0}$	$1$	$0$	$\infty$	$0$	$1$	$\infty$
$120^{0}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$-2$
$135^{0}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$-1$	$\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$
$150^{0}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$	$2$	$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$180^{0}$	$0$	$-1$	$0$	$-\infty$	$\infty$	$-1$

Atenção! Observe bem a tabela acima e verifique um detalhe importante. Definimos as razões entre os lados de um triângulo retângulo. Como foi visto na ocasião do estudo dos triângulos, a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a $180^{0}$. Então, se um dos ângulos é reto, $\alpha = 90^{0}$, teremos que a soma dos outros dois ângulos, que são agudos obrigatoriamente, será igual a $\beta + \zeta = 90^{0}$. Fica fácil verificar que o seno de um dos ângulos agudos é igual ao cosseno do outro, que é seu complemento.

$sen(60º) = cos(90º – 60º) = cos(30º)$

Isso equivale a afirmar que “o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complemento”

Há ainda outras igualdades que podemos inferir pela análise da tabela trigonométrica.

Exercícios

01. Um triângulo retângulo, tem a hipotenusa medindo $a = 15,0 cm$ e um de seus ângulos agudos mede $\zeta = 30^{0}$. Determine as medidas dos catetos oposto e adjacente, bem como a medida do outro ângulo agudo.

$sen\beta = {b\over a}$$\Leftrightarrow$$ sen(30^{0}) = {b\over{15,0}}$

$b = {{15,0}\cdot {1\over2}}$$\Leftrightarrow$$b = 7,5 cm$

$cos\beta = {c\over a}$$\Leftrightarrow$$ {\sqrt{3}\over2} = {c\over{15,0}}$

$c = {{15,0}\cdot{\sqrt{3}\over2}}$$\Leftrightarrow$$ c = (7,5)\cdot\sqrt{3}cm$

Se um ângulo agudo mede $\beta = 30^{0}$ o outro medirá:

$\zeta = {90^{0} – 30^{0}} = 60^{0}$

02. Um triângulo retângulo tem em um de seus ângulos agudos $cos\beta =\frac{ \sqrt{5}}{5}$. Determine o valor do seno desse mesmo ângulo. Depois obtenha os valores da tangente, cotangente, cossecante e secante.

Iremos começar pela aplicação da relação fundamental para determinar o valor do seno.

$sen^2\beta + cos^2\beta = 1$$\Leftrightarrow$$sen^2\beta + \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1$

$sen^2\beta = 1 – \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2$$\Leftrightarrow$$ sen^2\beta = 1 – \frac{5}{25}$

$sen^2\beta = \frac{ 5 – 1}{5} = \frac{4}{5}$

$sen\beta = \sqrt{\frac{4}{5}}$$\Leftrightarrow$$sen\beta = {2\over\sqrt{5}}$

$sen\beta= \frac{2\cdot\sqrt{5}}{5}$

$tg\beta = \frac{sen\beta}{cos\beta}$$\Leftrightarrow$$tg\beta = {\left(\frac{\frac{2\cdot\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}\right)}$

$tg\beta = \frac{2\cdot\sqrt{5}}{5}\cdot\frac{5}{\sqrt{5}}$$\Leftrightarrow$$tg\beta= 2$

$tg\beta= 2$

$ctg\beta = \frac{1}{tg\beta}$$\Leftrightarrow$$ctg\beta = \frac{1}{2}$

$ctg\beta =\frac {1}{2}$

$csc\beta = \frac{1}{sen\beta}$$\Leftrightarrow$$csc\beta =\frac {1}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} $

$csc\beta = \frac{5\cdot\sqrt{5}}{2\cdot\sqrt{5}^2} = \frac{5\cdot\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$csc\beta = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$sec\beta = \frac{1}{cos\beta}$$\Leftrightarrow$$sec\beta= {1}\cdot \frac{5}{\sqrt{5}}$

$sec\beta = \frac{{5}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}^2}$

$sec\beta = \frac{\not{5}}{\not{5}}\cdot\sqrt{5}$

$sec\beta = \sqrt{5}$

03. Os catetos de um triângulo retângulo medem respectivamente $b = 8,0 cm$ e $c = 6,0 cm$. Determine: a) a tangente e a cotangente do ângulo agudo $\gamma$ formado pela hipotenusa e o cateto b; b) o seno e o cosseno desse mesmo ângulo; c) a secante e a cossecante desse ângulo; d) a medida da hipotenusa.

a)Sendo sendo os catetos os segmentos $b$ e $c$, temos que a tangente será dada por:

$tg\gamma = \frac{c}{b}$$\Leftrightarrow$$tg\gamma = \frac{6,0}{8,0} =\frac {3}{4}$

$tg\gamma = \frac{3}{4}$

$ctg\gamma = \frac{b}{c}$$\Leftrightarrow$$ctg\gamma = \frac{8,0}{6,0} = \frac{4}{3}$

$ctg\gamma = \frac{4}{3}$

b)Temos que

$sen^2\gamma + cos^2\gamma = 1$

Podemos dividir a expressão toda por $cos^2\gamma$

$\frac{sen^2\gamma}{cos^2\gamma} +\frac{cos^2\gamma}{cos^2\gamma} = \frac{1}{cos^2\gamma}$

Daí tiramos que:

$tg^2\gamma + 1 =\frac {1}{cos^2\gamma}$$\Leftrightarrow$$cos^2\gamma = \frac{1}{tg^2\gamma +1}$

$cos^2\gamma =\left[\frac{1}{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 1}\right]$ =$\left[\frac{1}{\left(\frac{9}{16}\right)+1}\right]$

$ cos^2\gamma = \left[\frac{1}{\left(\frac{9 + 16}{16}\right)}\right]$

$cos^2\gamma = \left[\frac{1}{\left(\frac{25}{16}\right)}\right] = \frac{16}{25}$

$\sqrt{cos^2\gamma} = \sqrt{\left(\frac{16}{25}\right)} =\frac {4}{5}$

$cos\gamma = \frac{4}{5} = 0,8$

Com procedimento semelhante teremos:

$sen^2\gamma + cos^2\gamma = 1$$\Leftrightarrow$$\frac{sen^2\gamma}{sen^2\gamma} + \frac{cos^2\gamma}{sen^2\gamma} = \frac{1}{sen^2\gamma}$

$ 1 + ctg^2\gamma = \frac{1}{sen^2\gamma}$$\Leftrightarrow$$sen^2\gamma = \left[\frac{1}{ 1 + cotg^2\gamma}\right]$

$sen^2\gamma = \left[\frac{1}{1 + (\frac{4}{3})^2}\right]$$\Leftrightarrow$$sen^2\gamma = \left[\frac{1}{1 +\frac{16}{9}}\right]$

$sen^2\gamma = \left[\frac{1}{\frac{9 + 16} {9}}\right]$$\Leftrightarrow$$sen^2\gamma = \left[\frac{1}{\frac{25}{9}}\right]$

$\sqrt{sen^2\gamma} = \left[\sqrt{\frac{9}{25}}\right]$$\Leftrightarrow$$sen\gamma = \frac{3}{5} = 0,6$

$sen\gamma = \frac{3}{5} = 0,6$

c) a cossecante é $csc\gamma =\frac{1}{sen\gamma}$

$csc\gamma = \left[\frac{1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\right]$

$csc\gamma =\frac{5}{3}$

A secante é $sec\gamma = \frac{1}{cos\gamma}$

$sec\gamma = \left[\frac{1}{\left(\frac{4}{5}\right)}\right]$

$sec\gamma = \frac{5}{4}$

d)a hipotenusa pode ser obtida de diversas formas. Vamos determiná-la a partir do seno do ângulo.

$sen\gamma =\frac {c}{a}$$\Leftrightarrow$$a = \frac{c}{sen\gamma}$

$a = \left[\frac{6,0}{\frac{3}{5}}\right]$$\Leftrightarrow$$a = \left[\frac{6,0\cdot 5}{3}\right]$

$a = \frac{30,0}{3}$

$a = 10,0 cm$

Exercícios para resolver.

01. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 12,0 cm e um dos ângulos agudos adjacentes mede $\beta = 60^{0}$. Determine o seno do outro ângulo agudo, a tangente e a cotangente desse ângulo. Depois calcule as medidas dos dois catetos.

02. Em um triângulo retângulo sabe-se que a hipotenusa $a = 7\sqrt{2} cm$ e um dos catetos mede $b = 8,0 cm$. Determine o seno e cosseno do ângulo formado, a medida do outro cateto, as razões tangente, cotangente, secante e cossecante do ângulo.

03. Determine os valores de ${x}, {y}, {w}, {z}$ em cada caso:

04. Em um triângulo retângulo, determine as medidas dos ângulos agudos e da hipotenusa, sabendo que um dos catetos mede $b = 3,0 cm$ e o outro mede$\sqrt{3} cm$.

05. (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de $30^{0}$ com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:

a) $6\sqrt{3}cm$

b) $12 m$

c) $13,6 m$

d) $9\sqrt{3} m$

e) $18 m$

06. (UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:

a) $2\sqrt{3}$

b) ${\sqrt{3}\over3}$

c) ${\sqrt{3}\over6}$

d) ${\sqrt{20}\over{20}}$

e) $3\sqrt{3}$

07. Uma pessoa observa um edifício de 270 m de altura, sob um ângulo de $30^{0}$ em relação à horizontal. Admitindo que o olho desse observador encontra-se no nível do chão, qual é a distância entre o edifício e o observador?

08. Um poste de iluminação tem 10 m de altura e em dado instante projeta uma sombra de 12 m. Determine as razões trigonométricas do ângulo de incidência dos raios solares em relação ao solo.

09. Uma corda é amarrada no topo de uma árvore que está para ser removida, mas precisa ser puxada para cair na posição em que não irá causar danos. Se a altura em que a corda é amarrada é de 15 m, determine o comprimento da corda para que ela não atinja os trabalhadores encarregados ao cair. O tronco será cortado rente ao chão.

10. Uma escada é construída entre dois andares de uma edificação. A altura entre os dois andares é de 3,0 m e a distância horizontal entre o primeiro pé do primeiro degrau e a soleira do andar superior é de 3,5 m. Determine a medida da escada do ponto em que ela começa e onde termina. Qual é o ângulo de inclinação da escada em relação à vertical?

11. (Vunesp) O cosseno do menor ângulo interno de um triângulo retângulo é $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Se a medida da hipotenusa desse triângulo é 4 unidades, então é verdade que um dos catetos desse triângulo mede, na mesma unidade,

a)$ 1$
b) $\sqrt{3}$
c) $2$
d) $3$
e) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

11. (FGV) Na figura a seguir, o segmento BD é perpendicular ao segmento AC.

Se AB = 100m, um valor aproximado para o segmento DC é:

a) 76 m;
b) 62 m;
c) 68 m;
d) 82 m;
e) 90 m.

13. (FGV) A plateia de um teatro, vista de cima para baixo, ocupa o retângulo ABCD da figura a seguir, e o palco é adjacente ao lado BC. As medidas do retângulo são AB = 15m e BC = 20m.

Um fotógrafo que ficará no canto A da plateia deseja fotografar o palco inteiro e, para isso, deve conhecer o ângulo da figura para escolher a lente de abertura adequada.

O cosseno do ângulo da figura acima é:

a) 0,5
b) 0,6
c) 0,75
d) 0,8
e) 1,33

14. (Unoesc) Um homem de 1,80 m encontra-se a 2,5 m de distância de uma árvore, conforme ilustração a seguir. Sabendo-se que o ângulo α é de $42^{0}$, determine a altura dessa árvore.

Use:

$Seno 42^{0} = 0,669$
$Cosseno 42^{0} = 0,743$
$Tangente de 42^{0} = 0,90$

a) 2,50 m;
b) 3,47 m;
c) 3,65 m;
d) 4,05 m;

e) Nda.

15. (Enem-2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.

Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço:

a) $ A< 100 m^2$;
b) $ 100m^2<A<300m^2$;
c) $ 300m^2<A<500m^2$;.
d) $ 500 m^2<A<700 m^2;
e) $A > 700 m^2$.

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Curitiba, 23 de novembro de 2019

Décio Adams