Lista de exercícios
Resolvidos e comentados.
Uma pessoa, encontrou meus artigos sobre matemática (quatro operações, propriedades, potenciação e radiciação), que publiquei há um ano passado aproximadamente. Ali encontrou meus contatos e telefonou, para pedir ajuda. Trata-se de uma lista de exercícios sobre o assunto. Tentou me explicar por telefone e eu tentei lhe resolver, pela forma como entendi. Graças a Deus, eu tive a ideia de pedir que ele fizesse uma cópia (scanner) e me mandasse por e-mail, pois eu havia entendido erradamente e a resposta estaria errada. São ao todo 13 exercícios, alguns bastante simples de solucionar, outros exigem mais raciocínio, com aplicação de recursos aritméticos e algébricos.
Isso me induziu a resolver todos eles e elaborar este post com a solução e os comentários explicativos correspondentes. Assim ele poderá usar os exercícios para estudar e também outras pessoas poderão ter acesso, beneficiando-se do meu trabalho. Vou transcrever os exercícios como se encontram na folha que eu imprimi e depois passo a resolução detalhada.
Assinale a alternativa que completa ou responde corretamente o enunciado de cada questão a seguir. Registre os seus cálculos.
- – O valor da expressão $$\begin{align}{{(3^3)}^{-2}}\cdot{{3^3}^2} = {?}\end{align}$$. Estamos diante de uma multiplicação de dois fatores, onde o primeiro é uma potência de potência e o segundo é uma potência com expoente exponencial. Vamos desenvolver os dois fatores, para depois retornar a expressão toda. Na primeira, basta multiplicarmos os expoentes e transformar o fator em uma potência. Assim: $$\begin{align}{{3}^{(3)\cdot(-2)}} = {3}^{-6}\end{align}$$ No segundo fator, temos o expoente da base 3, elevado a um outro expoente. É necessário elevar esse expoente à potência (quadrado), para transformar o fator em uma única potência. Assim: $$\begin{align}{3}^{3\cdot 3} = {{3}^9}\end{align}$$ Resultou agora que passamos a ter a multiplicação de duas potências de mesma base. Para encontrar a resposta, basta efetuarmos a adição dos expoentes. Assim: $$\begin{align}{3^{-6}}\cdot {{3}^{9}} = {{3}^{(-6 + 9)}} &= {{3}^3} = 27\end{align} $$ Entre as alternativas propostas encontramos a letra D, cujo valor corresponde ao encontrado em nosso cálculo. Logo esta é a alternativa correta. A) $ {0} $ B) ${27}^{-1} $ C) $ {1} $ D) $ {27} $
- A quarta parte de ${4}^8 $ é igual a = ? . Para obtermos a quarta parte de um determinado número, basta dividí-lo por 4 (quatro), o que nos traz a uma divisão de potências de mesma base. $$ \begin{align} \frac {{4}^8} {{4}^1} \end{align}$$ A solução dessa operação se encontra, subtraindo o expoente do divisor, do expoente do dividendo. Assim: $$\begin{align}{4}^{(8 – 1)} = {4}^7 \end{align}$$ De onde concluiremos que a resposta correta é a alternativa B, entre as quatro apresentadas pelo exercício. A)${4}^2 $ B) ${4}^7 $ C) $ {1}^8 $ D) $ {1}^2 $
- (Fuvest – SP). Se $\begin{align}{{4^{16}}}\cdot{{5}^{25}} = a\cdot{10^n}\end {align}$, com ${1\le a \lt 10} $, então n é igual a: A) ${24} $ B)${25} $ C) ${26} $ D) ${27} $ E) $ {28}$. Nesse exercício temos que aplicar um pouco mais de raciocínio. Não há como sair rapidamente. Várias transformações são necessárias. Começaremos por transformar a base 4(quatro) do primeiro fator em uma potência de base 2(dois). Assim teremos: $$\begin{align}{{4}^{16}}\cdot {{5}^{25}} = a \cdot {10^n}\end {align} $$ Fazendo a transformação resulta: $$\begin{align}{{({2}^{2})}^{16}}\cdot{{5}^{25}} = a\cdot {10^n}\end{align} $$ Efetuando a multiplicação dos expoentes do fator de base 2(dois), teremos: $$ \begin{align} {{2}^{32}} \cdot {{5}^{25}} = a \cdot{10^n} \end{align} $$ Temos no primeiro membro, duas potências com expoentes diferentes, mas as bases são 2 (dois) e 5 (cinco), cujo produto resulta 10(dez), base do segundo fator do segundo membro da igualdade, cujo expoente é n para o qual estamos procurando determinar o valor. Se podemos efetuar a multiplicação de potências de mesma base, somando os expoentes, também podemos fazer o inverso, transformando uma potência em produto de potências de mesma base, cuja soma dos expoentes seja igual ao primeiro expoente. Notamos que $ \begin{align} {7 + 25} = {32}\end{align}$ o que nos permite escrever a expressão: $ \begin{align} {{2}^{32}} = {{2}^7 \cdot{2}^{25}} \end {align} $. Temos então a expressão resultante: $$\begin{align}{{2}^7\cdot {2}^{25}} \cdot {{5}^{25}} = a\cdot {10^n} \end{align} $$ E agora vamos recorrer a outra propriedade. Quando estamos diante de uma multiplicação de duas potências de bases diferentes, mas de expoentes iguais, podemos colocar as bases em um parênteses, colocando o expoente no lado externo deste. É o que iremos fazer com o produto $\begin{align}{2}^7\cdot {(2 \cdot {5})}^{25} = a\cdot {10^n} \end{align} $. Efetuando a multiplicação dentro do parênteses, teremos: $$\begin{align}{2}^7\cdot {10}^{25} = a\cdot {10^n}\end {align} $$ Desenvolvendo a potência de base dois restante teremos: $$ \begin{align} {128}\cdot {10^{25}} = a\cdot {10^n} \end{align} $$ O número 128, pode ser convertido para notação científica, isto é, uma multiplicação de um número decimal, multiplicado por uma potência de 10(dez), cujo valor seja equivalente. Isto fica assim: $$\begin{align} {1,28}\cdot{10^2} \cdot {10^{25}} = a\cdot{10^n}\end{align} $$ Estamos novamente com uma multiplicação de potências de mesma base e vamos adicionar os expoentes: $$\begin{align} {1,28}\cdot {{10}^{(2 + 25)}} = a\cdot {10^n} \end{align} $$ $$\begin{align}{1,28}\cdot {10^{27}} = a\cdot {10^n} \end{align} $$ Estamos no fim do problema. Temos agora uma igualdade entre o produto de um número decimal (1,28) por uma potência de dez e no outro membro o símbolo da letra “a” multiplicado pela potência de 10, cujo expoente é “n”, cujo valor o problema nos está pedindo. Comparando os dois membros da igualdade, chegaremos a conclusão de que: a = 1,28, está dentro do intervalo para os valores de a e n = 27. De onde deduzimos que a resposta correta é a alternativa D.
- (FCC – SP) Se $ \begin{align} {A} = {[{6^2}\cdot {9^5}]}^{-4} \end{align}$ , então A é igual a: A) ${1}\over{4} $ B) ${3}^{-24}\cdot{2}^{-6}$ C) $ {1}\over{3}^{48}\cdot{2}^8 $ D) $ {1}\over{54}^{10} $ E) $ {54}^{-28} $. Iremos começar outra vez. Este é mais curto que o anterior. Temos, dentro do colchete, duas potências, cujas bases não são números primos. Podem ser decompostos e representados na forma de uma multiplicação ou potência. O número 6 pode ser decomposto em: $$ \begin{align} {6} = {2} \cdot {3} \end {align} $$ O número nove resulta em dois fatores iguais a 3 e nos dá uma potência: $$ \begin{align} {9} = {3\cdot 3} & = {3}^2 \end{align} $$ Isso nos permite escrever a expressão da seguinte forma: $$ {{[(2\cdot 3)}^2\cdot{(3^2)}^5]}^{-4} $$ Aplicando a propriedade distributiva da potência em relação à multiplicação, podemos escrever então: $$ {[{2^2}\cdot {3^2}\cdot {3^{10}}]}^{-4} $$ Agora multiplicamos as potências de mesma base (3), somando seus expoentes. $${[{2^2}\cdot{3^{(2 + 10)}}]}^{-4} $$ de onde resulta que: $$ {[{2^2}\cdot {3^{12}}]}^{-4}$$ O expoente (-4) abrange a expressão toda dentro do colchete e podemos aplicar a propriedade distributiva também aqui. $$\begin{align} {[{(2^2)}^{-4} \cdot{(3^{12})}^{-4}]} = {[2^{-8}\cdot 3^{-48}]} \end{align} $$ Resulta uma multiplicação de duas potências com expoentes negativos. Expoente negativo corresponde a uma fração de numerador unitário (1) e denominador igual a mesma potência, com expoente positivo. O que nos traz: $$ {1\over{3^{48}} \cdot 2^8} $$ Entre as alternativas apresentadas, a que corresponde ao resultado que encontramos é a da letra C.
- Simplificando a fração $$ \frac {{\sqrt {32} + 6}}{\sqrt {8} + 3} $$, obtemos: A) ${2}$ B) ${4}$ C) $ {6\cdot\sqrt {2} + 2}$ E) ${2\cdot\sqrt {2} +3} $ Existem dois caminhos para resolver essa questão. Vou pelo mais curto. Os radicandos (números dentro do simbolo de raiz) podem ser decompostos em fatores primos e expressos na forma de potências, para depois simplificar. Decompondo os números iremos encontrar: $$ \begin{align} {32} = {2^5} \end{align}$$ $$\begin{align} {8} = {2^3} \end{align} $$ Substituindo na expressão resulta a nova forma da expressão:$$\frac {\sqrt {2^5} + 6} {\sqrt {2^3} + 3} $$ Vamos decompor as potências em multiplicações, onde um fator tenha expoente múltiplo do índice da raiz e decompor as parcelas que são adicionadas aos radicais em fatores primos. $$\frac{\sqrt{{2^4}\cdot{2}} + 2\cdot 3}{\sqrt{{2^2}\cdot{2}} + 1\cdot 3} $$ Agora retiramos dos radicais a parte que tem raiz exata: $$\frac{4\cdot\sqrt{2} + 2\cdot 3} {2\cdot\sqrt {2} + 1\cdot 3} $$ Colocamos em evidência os fatores comuns do numerador e denominador, o que nos dá: $$\frac {2\cdot{(2\cdot\sqrt{2} + 3)}} {1\cdot{(2\cdot\sqrt {2} + 3)}} $$ Podemos observar que entre o numerador há uma parte comum e por isso ela pode ser cancelada. Ao fazer isso, vemos que nos resta apenas o número 2 e portanto a alternativa correta da questão é a letra A.
- Racionalizando o denominador da fração $$\frac{\sqrt{21} +\sqrt{6}}{\sqrt{3}} $$, obtemos: A)$\sqrt{7} + \sqrt{2} $ B) $\frac{\sqrt{21} + \sqrt{18}}{2} $ C) $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{2}}{3} $ D) ${3\cdot\sqrt{3}} $ Para racionalizar o denominador, neste caso basta multiplicar ambos os termos da fração (numerador e denominador) por uma raiz que torne o expoente e o índice no denominador, iguais. Podemos observar que o expoente do radicando no denominador é 1 e a raiz sendo de índice dois, basta multiplicar tudo por $\sqrt{3} $ Daí teremos: $$ \frac{{(\sqrt{21} + \sqrt{6})}\cdot\sqrt {3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt {3}}$$ Na sequência iremos efetuar as multiplicações, encontrando: $$ \frac{\sqrt{21}\cdot\sqrt {3} + \sqrt{6}\cdot\sqrt{3}} {\sqrt{3}^2} $$ Efetuando as multilicações, iremos encontrar: $$\frac{\sqrt {21\cdot 3} +\sqrt{6\cdot 3}}{3} $$ Exprimindo os radicandos do numerador em multiplicações de seus números primos teremos: $$ \frac{\sqrt{{3^2}\cdot{7}} +\sqrt{{3^2}\cdot{2}}}{3} $$ Extraimos a raiz das partes exatas e teremos: $$ \frac{3\cdot\sqrt 7 + 3\cdot\sqrt 2} {3} $$ Temos agora um fator comum em cada um dos termos da fração e isso permite cancelar o mesmo, ficando: $$ \sqrt {7} + \sqrt {2} $$ Verificando as alternativas da questão vemos que a correta é a da letra A.
- O valor da expressão $\sqrt{240} + \sqrt{180} – \sqrt{80} – \sqrt{60} $ é: A) $ {4\cdot\sqrt{20}} $ B) ${14\cdot\sqrt{10}}$ C)$\sqrt{5} +\sqrt{15} $ D) ${2\cdot{(\sqrt{15} +\sqrt{5})}}$ O processo começa por decompor todos os radicandos em fatores primos, onde iremos encontrar: $$ \sqrt {{2^4}\cdot{3}\cdot{5}} +\sqrt{{2^2}\cdot{3^2}\cdot{5}} – \sqrt{{2^4}\cdot{5}} – \sqrt{{2^2}\cdot{3}\cdot{5}} $$ Extraindo as raizes que são exatas, encontramos: $${4\cdot\sqrt{3\cdot 5}} + {6\cdot\sqrt{5}} – {4\cdot\sqrt{5}} -{2\cdot\sqrt{3\cdot 5}} $$ Vamos agrupar os termos semelhantes: $$ {4\cdot\sqrt{15} – 2\cdot\sqrt{15}} + {6\cdot\sqrt{5} – 4\cdot\sqrt{5}} $$ Podemos agora efetuar as operações e teremos: $$ {2\cdot\sqrt{15} + 2\cdot\sqrt{5}}$$ Pondo o fator comum 2(dois) em evidência: $$ {2\cdot{(\sqrt{15} +\sqrt{5})}}$$ Assim podemos constatar que a alternativa correta é a da letra D
- A metade de ${8^2}$ é: A) $ {8}$ B) ${4}$ C)$ {4^2}$ D)${2^5}$ Obtemos a metade de um número dividindo-o por dois. Neste caso, isso nos dará uma divisão de potências de mesma base, pois 8 é múltiplo de 2 e pode ser decomposto em seus fatores primos resultanto $ {2^3} $ Daí teremos que: $$\begin{align} {({2^{3}})^2} = {2^6} \end{align} $$ Dividindo por, dois teremos: $$ \begin{align} {{2^6}\over {2}} = {2^{6 – 1} } & = {2^5}\end{align} $$ Olhando as alternativas dadas, encontramos a resposta certa na alternativa D
- O valor de x na igualdade $$\begin{align} {10^{(2x – 1)}} = {0,001}\end{align}$$ é: A)${-2} $ B) ${- 1}$ C) ${1}$ D)${2}$ A resolução consiste em converter o número decimal do segundo membro da igualdade, em uma potência de dez (notação científica). Para cada casa após a vírgula, contamos uma unidade no expoente negativo da potência. Por isso podemos reescrever a igualdade assim: $$\begin{align}{10^{(2x – 1)}} = {10^{-3}} \end{align}$$ São duas potências de base 10 e para haver uma igualdade entre elas, os expoentes devem ser necessariamente iguais. Por isso: $$ \begin{align}{(2x – 1) } = {-3}\end{align} $$ Isolando x no primeiro membro fica: $$ \begin{align}{2x} = {1 – 3} \end{align} $$ $$ \begin{align} {x} = {-2\over 2} \end{align} $$ $$\begin{align}{ x }= {-1}\end{align} $$. Isso nos mostra que a alternativa correta é a da letra B.
- A notação científica de ${16^5}\cdot {5^{16}} $ é igual a: A) ${1,6\cdot{10^{15}}}$ B) ${1,6\cdot{10^{17}}}$ C) $ {8\cdot{10^{19}}}$ D) $ {8\cdot{10^{21}}} $ Vamos começar por transformar a base (16) do primeiro fator em potência de 2. Verificamos facilmente que isso resulta em $ {2^4}$ Agora podemos escrever: $$ {(2^4)}^5\cdot{5^{16}} $$ $$ {2^{20}}\cdot{5^{16}} $$ Vamos transformar o fator de base dois em um produto de potências de mesma base, sendo o expoente de uma delas igual ao do outro fator. $$ {{2^4}\cdot{2^{16}}\cdot {5^{16}}} $$ Agora podemos agrupar as potências de expoentes iguais: $$ {2^4}\cdot{(2\cdot 5)}^{16} $$ Efetuando: $$ {16}\cdot{10^{16}} $$ $$ {1,6\cdot{10}\cdot{10^{16}}} $$ $$ {1,6\cdot{10^{17}}} $$ Vemos então que a resposta correta é a alternativa B
- Para obter $ {8^6} $ devemos multiplicar $ {2^6} $ por: A) ${3}$ B) ${4}$ C) ${2^3} $ D) $ {2^{12}}$ Trata-se de determinar o fator que, multiplicado por ${2^6}$, fornece como produto ${8^6}$ A divisão é a operação inversa da multiplicação e se dividirmos o produto por um dos fatores, o quociente será o outro fator. Portanto: $$\frac{8^6}{2^6} $$ O número 8 é a terceira potência de 2 e por isso pode-se escrever: $$ \frac{{(2^3)}^6}{2^6} $$ $$\frac{2^{18}}{2^6} $$ Uma divisão de potências de mesma base, se resolve, subtraindo os expoentes e conservando a base. $$ {2^{(18 – 6)}} $$ $$ {2^{12} }$$ O que nos dá como resposta a alternativa D.
- A potência ${10^{(n + 2)}} $ é igual a quantas vezes ${10^n} $ ? A) ${2}$ B) $ {10}$ C) $ {20}$ D) ${100}$ É o mesmo caso da questão anterior. Vamos dividir o produto pelo fator fornecido. O resultado será o outro fator. $$\frac{10^{(n + 2)}}{10^n} $$ divisão de potências de mesma base, subtraimos os expoentes e conservamos a base. $$ {10}^{(n + 2 – n)} $$ $$ {10^2} $$ $$ {100}$$ A alternativa correta é portanto a letra D
- (UFMG) Simplificando-se a expressão $ \sqrt{9\cdot{10^{-6}}}\cdot\sqrt{0,0049}\cdot\sqrt{2,5\cdot{10^3}}$, obtém-se: A) ${105} $ B) ${10,5}$ C) ${1,05} $ D)${0,105} $ E)${0,0105}$ Temos aqui uma expressão em que todos os radicandos possuem raiz quadrada exata. Basta fazer algumas transformações e fica bem fácil. Observemos: $$ \sqrt{9\cdot{10^{-6}}}\cdot\sqrt{49\cdot{10^{-4}}}\cdot\sqrt{25\cdot{10^2}} $$ As potências todas tem expoentes divisíveis por dois e os coeficientes numéricos todos tem raiz quadrada exata. Assim: $$ {3\cdot{10^{-3}}}\cdot{7\cdot{10^{-2}}}\cdot{5\cdot{10}} $$ Agora multiplicamos os fatores e somamos os expoentes das potências de 10. $$ {(3\cdot {7}\cdot {5})\cdot {10^{(-3 -2 +1)}}}$$ $$ {105\cdot{10^{-4}}}$$ $$ {0,0105} $$ A alternativa com a resposta correta é a letra E.
Atualizado e republicado em 18 de novembro de 2017
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