Redução de termos semelhantes.
O que significa esse título?
Imagine uma expressão algébrica com vários termos, sendo alguns deles semelhantes. Já sabemos, nesta altura dos acontecimentos, que sempre devemos buscar a expressão mais simples que for possível estabelecer, para facilitar qualquer solução que tenhamos em mente.
Devemos ter em mente que, em uma mesma expressão, não é aceitável que uma mesma letra (símbolo) represente mais de um valor. Por exemplo se $$\begin{align}\color{Sepia}{{x} = 5}\end{align}$$ em um termo de uma expressão algébrica, em todos os lugares em que aparecer a letra $\color{Red}{x}$, ela terá sempre o valor $\color{Red}{5}$. Então, as partes literais de vários termos algébricos semelhantes, terão o mesmo valor. O que distingue os termos entre si, são seus coeficientes. Isto indica quantas parcelas iguais serão somadas ou subtraídas entre si nesta expressão. Desta forma nos é possível substituir vários termos semelhantes por um único termo, cujo coeficiente seja a soma dos coeficientes numéricos daqueles.
Vejamos como exemplo.
$$\color{Sepia}{2x + 5xy + 4x – 3x + 2xy + 6x – 3xy} $$
Vamos identificar e agrupar os termos semelhantes. Temos no caso, dois grupos. Os que tem na parte literal a letra $\color{Red}{x}$ e os que têm na parte literal as letras$\color{Red}{xy}$. Assim:
$$\color{Sepia}{{( 2x + 4x – 3x + 6x)} + {(5xy +2xy – 3xy)}} $$
$$\color{Sepia}{(2 + 4 – 3 + 6)\cdot x + (5 + 2 – 3)\cdot xy}$$
$$\color{Red}{9x + 4xy} $$
Podemos notar que uma expressão que continha sete termos, se reduziu a dois termos apenas, simplificando tremendamente a questão. A utilidade desse procedimento é muito grande na resolução de variados problemas encontrados na continuidade dos estudos matemáticos.
Vamos ver mais um exemplo.
$$\color{Sepia}{{3\over 2}\cdot xy^{2} + {5\over 2}\cdot xy^{2} + 4\cdot x^{3}\cdot y + xy^{2} – x^{3}\cdot y}$$
$$\color{Sepia}{({3\over 2}\cdot xy^{2} + {5\over 2}\cdot xy^{2} + xy^{2}) + (4\cdot x^{3}\cdot y – x^{3}\cdot y)} $$
$$\color{Sepia}{({3\over 2} + {5\over 2} + 1)\cdot xy^{2} + {(4 – 1)\cdot x^{3}\cdot y }}$$
Temos no caso a adição de duas frações com mesmo denominador, o que permite fazer a adição dos numeradores. Feito isso, podemos simplificar, transformando o resultado em inteiro.
$$\color{Red}{({8\over 2} + 1)\cdot xy^{2} + 3\cdot x^{3}\cdot y}$$
$$\color{Red}{(4 + 1)\cdot xy^{2} + 3\cdot x^{3}\cdot y}$$
$$\color{Red}{5\cdot xy^{2} + 3\cdot x^{3}\cdot y}$$
Na resolução da redução dos termos semelhantes, usamos todos os recursos já conhecidos anteriormente, no momento de adicionar os coeficientes.
Ordenação de uma expressão, em função dos expoentes de uma das letras da parte literal. Olhemos o exemplo.
$$\color{Sepia}{2\cdot a^{2} + 5a – 3\cdot a^{5} + a^{4} – 6\cdot a^{3} -4}$$
Vamos colocar em ordem decrescente os expoentes da letra a (variável).
$$\color{Sepia}{ – 3\cdot a^{5} + a^{4} – 6\cdot a^{3} + 2\cdot a^{2} + 5\cdot a – 4}$$
Em ordem crescente dos expoentes da letra.
$$\color{Red}{ -4 + 5a + 2\cdot a^{2} – 6\cdot a^{3} + a^{4} – 3\cdot a^{5}} $$
Obs.: Notemos que existe um termo nessa expressão, onde não aparece nenhuma letra. Neste caso, consideramos o expoente igual a 0(zero). O termo costuma ser denominado de termo independente de variável.
Exercícios.
- Reduza às expressões a sua forma mais simples, reunindo os termos semelhantes em um único termo. – a) $$\color{Red}{5ax – 7 by – 3cz + 4by -ax + 6cz}$$
b) $$\color{Red}{mr^2 + 2 r^3 – 5mr^2 – 4r^3 – 6 r}$$
c) $$\color{Red}{{2\over3}{uv} + 6 xy – 3 x^2 + {7\over 3}{uv} -2 xy}$$
d) $$\color{Red}{\sqrt 5{m^3} + pq + 2\sqrt 5{m^3} – 4pq – n}$$
e) $$\color{Red}{5 abc^2 + 3 abc^2 – a{b^3}c – 6a{b^3} – 4 abc^2 }$$
f)$$\color{Red}{12 {m^2}n + 15 mn^3 – 9{m^2}n + {m^2}n – 4mn^3 }$$
g) $$\color{Red}{7x{y^3} – 3{x^3}{z^2} + 4{x^3}{z^2} – 2xyz}$$
h)$$\color{Red}{{2\over5}mn^2 + {5\over3}{m^5} – {2\over3}m^5 + {8\over5}mn^2}$$
2. Coloque em ordem crescente e depois decrescente os expoentes da variável nas expressões abaixo. $$\color{Red}{2x^4 + 3x + x^2 – 5x^3 + 1}$$ $$\color{Red}{7a^6 – 3 a + 5a^3 – 6}$$ $$\color{Red}{4i – 3 i^3 – 2 i^4 + 3 i^2}$$ $$\color{Red}{{4\over7} x^3 – 2 x + 4x^5 + 6 x^2 – 7 + 5x^4}$$
Curitiba, 28 de março de 2016. Revisto e republicado em 05 de dezembro de 2017.
Décio Adams
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