Mais um pouco desse assunto.

No último post analisamos as inequações que têm apenas um valor que torna nula a expressão. Creio que nem é necessário falar daquelas em que as raízes não pertencem ao conjunto dos Reais. Vamos ver como ficam as incompletas, do tipo

• $$a{x}^2+bx\ne 0$$
• $$a{x}^2+c\ne 0$$

Para começar vamos estudar a inequação

• $$2x^2–32<0$$. Não temos o termo com a variável $x$ apresentando o expoente $1$. Portanto podemos resolver a questão, pelo método abreviado.

$$2x^2–32=0$$ $$2x^2–32+32=0+32$$ $$2x^2=32$$

Podemos dividir ambos os membros por $2$, pois os números são pares.

$$\frac{2x^2}{2}=\frac{32}{2}$$ $$x^2=16$$ $$\sqrt{x^2}=\sqrt{16}$$ $$x=\pm 4$$

Temos pois

• $$x^{\prime }=–4$$
• $$x”=+4$$

De posse das raízes, também denominados “zeros” da inequação, vamos representar o resultado na Reta Real.

• Já sabemos que substituindo a variável $x$ por $\pm 4$, o resultado será zero $0$.
• Então vamos escolher três números situados, um à esquerda de $-4$, um no intervalo entre $(-4,+4)$ e o terceiro à direita de $+4$. Podem ser $-6$, $1$ e $7$.
• Agora vamos substituir esses números no lugar de $x$ e determinar o resultado, para sabermos os sinais da expressão e portanto identificar o conjunto verdade.
• Se $x=–6$, $$2x^2–32<0$$ $$2\cdot {(-6)}^2–32<0$$ $$2\cdot (36)–32<0$$ $$72–32<0$$ $$40<0$$ Esta sentença é falsa. 
• Se $x=1$, $$2\cdot {(1)}^2–32<0$$ $$2\cdot 1–32<0$$ $$2–32<0$$ $$-32<0$$ Esta sentença é verdadeira.
• Se $x=7$, $$2\cdot 7^2–32<0$$ $$2\cdot 49–32<0$$ $$98–32<0$$ $$66<0$$ Esta sentença é também falsa.

Os valores que irão formar o conjunto verdade, são compreendidos entre $-4$ e $+4$, excluídos estes, por causa da desigualdade $<0$.

Representando na Reta Real,  temos:

• $$V=\{x\in R|–4<x<+4\}$$
• Se a inequação fosse $2x^2–32\le 0$, os números $\pm 4$ estariam incluídos no conjunto verdade e a representação ficaria assim.

• $$V=\{x\in R|-4\le x\le +4\}$$

• Consequentemente $2x^2–32>0$, terá por conjunto verdade todos os números reais menores que $-4$ ou maiores que $+4$.
• Representando na Reta Real

• $$V=\{x\in R|-4>x\vee x>+4\}$$

• E se $2x^2–32\ge 0$, teremos os números $\pm 4$, incluídos no conjunto verdade, ficando excluídos apenas os do intervalo entre esses números.

• $$V=\{x\in R|–4\ge x\vee x\ge +4\}$$

• É possível notar que aqui também vale a regra dos sinais que vimos para as inequações com duas raízes. O sinal é contrário do coeficiente $a$, para os números compreendidos entre essas raízes e é igual para os números externos do intervalo entre as raízes.
• Vejamos o caso $-2x^2+32<0$. Trocamos os sinais dos coeficientes e mantivemos o sentido da desigualdade. Vamos substituir $x$ pelos mesmos números de antes e ver o que acontece.
• Se $x=-6$, $$-2\cdot {(-6)}^2+32<0$$ $$-2\cdot 36+32<0$$ $$-72+32<0$$ $$–40<0$$ Vemos que o sinal é $-$, e portanto igual ao do coeficiente $a$. A sentença é verdadeira.
• Se $x=1$, $$-2\cdot 1^2+32<0$$ $$–2\cdot 1+32<0$$ $$-2+32<0$$ $$30<0$$ O sinal é $+$ e a sentença é falsa. Sinal contrário de $a$.
• Se $x=7$, $$-2\cdot 7^2+32<0$$ $$-2\cdot 49+32<0$$ $$-98+32<0$$ $$-66<0$$ Novamente o sinal é $-$ que é o mesmo de $a$, a sentença é verdadeira. 

Isso demonstra o acerto do que afirmamos acima.

• Seja a inequação $3x^2+12x>0$. Trata-se de um caso em que falta o termo independente da variável $x$. Podemos usar a fórmula ou recorrer à fatoração, abreviando o processo. Vamos pelo mais rápido.
• Ambos os termos do primeiro membro são divisíveis por $3x$. Colocando multiplicando e dividindo por esse fator, fica:

• $$3x\cdot \left(\frac{3x^2+12x}{3x}\right)>0$$ $$3x\cdot (x+4)>0$$

• O produto só é nulo se um dos fatores for nulo.

Então $3x=0$ $\Rightarrow$  $x=0$

Ou $x+4=0$ $\Rightarrow$ $x+4–4=0–4$ $\Rightarrow$ $x=-4$.

Na Reta Real,  ficamos assim:

Vamos determinar os sinais da inequação. Escolhendo números externos e internos ao intervalo entre as raízes $(-4;0)$, podemos usar $-8;-2;3$. Substituindo na inequação.

• Se $x=-8$, $$3x^2+12x>0$$ $$3\cdot {(-8)}^2+12\cdot (-8)>o$$ $$3\cdot 64–96>o$$ $$192–96>0$$ $$96>0$$ A sentença é verdadeira e o sinal é $+$, o mesmo do coeficiente $a$.
• Se $x=-2$, $$3\cdot {(-2)}^2+12\cdot (-2)>o$$ $$3\cdot 4–24>0$$ $$14–24>0$$ $$-10>0$$ A sentença é falsa e o sinal é contrário do coeficiente $a$.
• Se $x=3$, $$3\cdot 3^2+12\cdot 3>0$$ $$3\cdot 9+36>0$$ $$27+36>0$$ $$63>0$$ A sentença é verdadeira e o sinal é o mesmo do coeficiente $a$.

Também aqui verifica-se a validade da mesma conclusão anterior. Para números $n\in R$ situados fora do intervalo entre as duas raízes, o sinal é igual ao do coeficiente $a$ e para os situados dentro do intervalo o sinal é o contrário do coeficiente $a$. Isso nos permite determinar o conjunto verdade de uma inequação, apenas com a identificação das raízes e o sinal do coeficiente do termo em $x^2$.

No próximo post, vamos exercitar bastante esse assunto todo.

Curitiba, 04 de junho de 2016

Revisado e republicado em 11 de janeiro de 2017.

Décio Adams

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